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集合的概念


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集合的概念与运算

Eject Security Studio
2014-7-6 1

集合的概念与运算
? 具有某种共同属性的事物的全体叫做集合。集合 中的事物叫做元素。 ? 集合以大写字母表示,集合的定义写在括号中 全集:包含一切元素的集合称为全集, 用符号Ω表示; 空集:不包含任何元素的集合称为 空集,用符号Φ表示。 子集:若集合A的元素都是集合B的元 素,则称A是B的子集;

? ? ?

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集合的概念与运算
? 集合论中规定:空集Φ是全集Ω的子集。

? 集合之间的包含关系(即从属关系)用符号表示, 子集B包含于全集Ω,记为BΩ;
? 事故树分析就是研究某一个事故树中各基本事 件构成的各种集合,以及它们之间的逻辑关系, 最后达到最优化处理的一门技术。

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集合的概念与运算
? 补集:全集Ω中不属于集合A的全体元素构成 的集合为A的补集,记作A’或。
? 事故树分析时,事件不发生就是该事件发生的 补集。

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集合的概念与运算
集合之间的的运算:
? 交集:由两个集合的一切共有元素组成的新集 合,称之为交集。两个集合相交的关系用符号 ∩或·表示,如C=B1∩B2或C=B1·B2或C=B1B2; ? 并集:两个集合中元素的全体构成的新集合称 之为并集,并集的关系用符号∪或+表示,如 C=B1∪B2 C=B1+B2。

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集合的概念与运算
逻辑运算
? 逻辑运算的对象是命题。命题是具有判断性的 语言。 ? 成立的命题叫做真命题,其真值等于1; ? 不成立的命题叫做假命题,其真值等于0。 ? 这里的真值“1”和“0”并不是数字,而是表示 两个对立事物的符号。

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集合的概念与运算
?例如,命题“8-3=5”成立,这是真命 题,其真值为1;
?命题“2+3>5”不成立,这是假命题, 其真值为0。 ?逻辑代数也可进行运算,其基本运算 有三种,即逻辑加、逻辑乘、逻辑非。 ?其中逻辑加、逻辑乘用得较普遍。

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集合的概念与运算
①逻辑加。给定两个命题A、B,对它们进行逻 辑运算后构成的新命题为S,若A、B两者有 一个成立或同时成立,S就成立;否则S不成 立。则这种A、B间的逻辑运算叫做逻辑加, 也叫“或”运算。构成的新命题S,叫做A、 B的逻辑和。记作A∪B=S或记作A+B=S。 ? 逻辑加相当于集合运算中的“并集”。
? 根据逻辑加的定义可知:
?

1 + 1 = 1; 1+ 0= 1 ; 0 + 1= 1; 0+ 0= 0。

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集合的概念与运算
? ②逻辑乘。给定两个命题A、B,对它们进
行逻辑运算后构成新的命题P。若A、B同时 成立,P就成立,否则P不成立。则这种A、B 间的逻辑运算,叫做逻辑乘,也叫“与”运 算。构成的新命题P叫做A、B的逻辑积。记 作A∩B=P,或记作A· B=P,也可记作AB=P。

? 逻辑乘相当于集合运算中的“交集”。
? 根据逻辑乘的定义可知:

1 × 1 = 1 ; 1× 0 = 0: 0× 1= 0: 0 × 0= 0。

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集合的概念与运算
③逻辑非。给定一个命题A,对它进行逻辑运 算后,构成新的命题为F,若A成立,F就不 成立;若A不成立,F就成立。这种对A所进 行的逻辑运算,叫做命题A的逻辑非,构成 的新命题F叫做命题A的逻辑非。A的逻辑非 记作“”,读作“A非”。 ? 逻辑非相当于集合运算的求“补集”。
? 根据逻辑非的定义,可以知道:

=0; =1;

=1; =0

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集合的概念与运算
?
=A (对合律)

定理2:A+B=B+A,AB=BA (交换律)
定理3:A+(B+C) =(A+B)+C, A(BC) =(AB)C (结合律) 定理4:A+BC=(A+B)(A+C), A(B+C) =AB+AC (分配律)

定理5:A+A=A, A ·A = A
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(等幂律)

集合的概念与运算
? 推论:A+A+…+A=A, ? A·A·…·A=A ? A· =0 A+ =1 ? 定理7:A+0=A,A·1=A ? 定理8:A+1=1,A·0=0 ? 定理9:A+AB=A, ? A(A+B) =A (吸收律) ? 定理10:(A+B)′=A′·B′, ? (A·B) ′=A′+ B′ (德·摩根律)

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集合的概念与运算

?说明:在事故树分析中 ?“A+AB=A”,“A+A=A” ?和“A· A=A”几个法则用得较多。

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集合的概念与运算
?

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