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高中数学 1-2集合的表示课件 新人教A版必修1


第2课时 集合的表示

【课标要求】
1.能用集合语言描述具体问题,感受集合语言的意义和作 用. 2.理解并掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法. 【核心扫描】

1.集合的两种表示方法.(重点)
2.对描述法表示集合的理解.(难点)

新知导学
1.列举法 把集合的元素 一一列举

出来,并用花括号“{ 表示集合的方法叫做列举法. 温馨提示:运用列举法表示集合,应注意:(1)元素间用 “,”分隔,不能用其它符号代替;(2)元素不重复;(3)元 素间无顺序;(4)“{ }”表示“所有”、“整体”的含义, }”括起来

不能省略.

2.描述法 (1)定义:用集合所含元素的 共同特征 表示集合的方法

称为描述法.
(2)书写方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的 一般符号 及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在 .

竖线后写出这个集合中元素所具有的 共同特征

互动探究 探究点1 集合{1,2}与集合{(1,2)}相同吗?

提示

不同.集合{1,2}是含两个元素的数集,也可以写成

{x|x=1或x=2},集合{(1,2)}是含有一个元素的点集,也可以 写成{(x,y)|x=1,y=2}. 探究点2 集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗? 提示 虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质

上它们均表示大于3的所有实数,故表示同一个集合.

类型一

用列举法表示集合

【例1】 用列举法表示下列集合:
(1)小于10的正偶数组成的集合; (2)方程x(x2-1)=0的所有实数根组成的集合; (3)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合. [思路探索] 先分别求出满足要求的所有元素,然后用列举

法表示集合.



(1)小于 10 的正偶数有 2,4,6,8,所求集合为{2,4,6,8}.

(2)方程 x(x2-1)=0 的根为 0,± 1, 所求集合为{0,-1,1}.
?y=x, ? (3)方程组? ?y=2x-1 ? ?x=1, ? 的解是? ?y=1, ?

所求集合为{(1,1)}. [规律方法] 为{1}. 2.列举法简明、直观适用于元素个数较少的集合,用列举法 表示集合,要分清是数集还是点集,元素不能重复. 1.问题(3)中的集合是点集,易错认为数集,误写

【活学活用 1】 用列举法表示下列集合: (1)我国现有直辖市的全体; (2)绝对值小于 3 的整数集合; 2 4 (3)一次函数 y=x-1 与 y=- x+ 的图象交点组成的集合. 3 3 解 (1){北京,上海,天津,重庆};

(2){-2,-1,0,1,2}; 7 ? ?y=x-1, ?x=5, ? (3)方程组? 2 4 的解是? ?y=-3x+3 ?y=2, ? ? 5
??7 2?? ? ? 所求集合为??5,5??. ?? ? ?? ?

类型二

用描述法表示集合

【例 2】 用描述法表示下列集合: (1)满足不等式 3x+2>2x+1 的实数 x 组成的集合; (2)平面直角坐标系中第一象限内的点的集合; (3)所有正奇数组成的集合. [思路探索] 找准集合的代表元素 →

说明元素满足的条件 → 用描述法表示相应集合



(1){x|3x+2>2x+1}={x|x>-1}.

(2){(x,y)|x>0,y>0,且 x,y∈R}. (3){x|x=2k-1,k∈N*}. [规律方法] 1.点集的代表元素用有序实数对(x,y)表示;第(3) 题中, 易错写为{x|x=2k-1, k∈N}, 忽视集合 N 与 N*的差异. 2.用描述法表示集合,一般模式是{x∈I|p(x)},其中 x 是集合 的代表元素,I 是代表元素的范围,p(x)为集合中元素所具有的 共同特征,要注意竖线不能省略.

【活学活用2】 用描述法表示下列集合:

(1)被3除余2的正整数集合;
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合. 解 (1){x|x=3n+2,n∈N}.

(2){(x,y)|xy=0}.

类型三

列举法与描述法的综合运用

【例 3】 集合 A={x|kx2-8x+16=0},若集合 A 只有一个元 素,试求实数 k 的值,并用列举法表示集合 A. [思路探索] 明确集合A的含义 → 对k加以讨论 →

求出k值 → 写出集合A



(1)当k=0时,原方程为16-8x=0.

∴x=2,此时A={2}. (2)当k≠0时,由集合A中只有一个元素, ∴方程kx2-8x+16=0有两个相等实根.

则Δ=64-64k=0,即k=1.
从而x1=x2=4,∴集合A={4}. 综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2}; 当k=1时,A={4}.

[规律方法]

1.(1)本题在求解过程中,常因忽略讨论k是否

为0而漏解.(2)因kx2-8x+16=0是否为一元二次方程而分k
=0和k≠0而展开讨论,从而做到不重不漏. 2.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其 共同特征是解题的切入点.

【活学活用 3】 把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元 素”,求实数 k 取值范围的集合. 解 由题意可知方程 kx2-8x+16=0 有两个实根. 解得 k<1,且 k≠0.

?k≠0 ? ∴? ?Δ=64-64k>0 ?

所以 k 的范围集合为{k|k<1,且 k≠0}.

易错辨析

描述法与列举法相互转化中的误区

【示例】 用列举法表示集合A={(x,y)|y=x2-1,-1≤x≤1且 x∈Z}. [错解] 注意到x=-1,0,1, ∴y=(±1)2-1=0,y=0-1=-1,

因此集合A={0,-1}.
[错因分析] 值的数集. 2.对列举法表示集合的实质认识不清,对集合理解不到位, 个别同学错得A={x=-1,y=0或x=0,y=-1或x=1,y= 0}. 1.没能看清集合的代表元素,错以为求关于y的取

[正解]

∵-1≤x≤1,且x∈Z,∴x=-1,0,1.

当x=±1时,y=x2-1=0;当x=0时,y=-1.
因此A={(-1,0),(0,-1),(1,0)}. [防范措施] 1.研究一个集合时,首先应看集合元素的表示

形式,再看此集合元素的公共属性.

2.集合表示方法的变换过程

课堂达标 1.已知集合 A={x∈N|- 3≤x≤ 3},则有( ).

A.-1∈A C. 3∈A

B.0∈A D.2∈A

解析 ∵0∈N 且- 3<0< 3,∴0∈A. 答案 B

2.集合{0,1,2,3,4,5,6,7}用描述法可表示为(

).

A.{x|x是不大于7的整数}
B.{x∈N|x≤7} C.{x∈Q|0≤x≤7} D.{x|0≤x≤7} 解析 集合{0,1,2,3,4,5,6,7}表示前7个自然数,故用描述法

可表示为{x∈N|x≤7}.
答案 B

3.(2013·扬州高一检测)已知x∈N,则方程x2 +x-2=0的

解集用列举法可表示为________.
解析 由x2+x-2=0,得x=-2或x=1.

又x∈N,∴x=1. 答案 {1}

4.已知集合A={-1,0,1},集合B={y|y=|x|,x∈A},则B=

________.
解析 ∵x∈A,∴当x=-1时,y=|x|=1;

当x=0时,y=|x|=0;当x=1时,y=|x|=1. 答案 {0,1}

5.用适当的方法表示下列集合:

(1)A={(x,y)|x+y=4,x∈N*,y∈N*};
(2)平面直角坐标系中所有第二象限的点. 解 (1)∵x∈N*,y∈N*,

∴x=1,y=3或x=2,y=2或x=3,y=1, ∴A={(1,3),(2,2),(3,1)}.

(2){(x,y)|x<0,y>0}.

课堂小结 1.表示集合的要求:(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适 当方法表示集合,一般要符合最简原则. (2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描

述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有
限的集合. 2.在用描述法表示集合时应注意: (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有 序实数对(点)、还是集合或其他形式? (2)元素具有怎样的属性?当题目中用了其他字母来描述元素 所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷

惑.


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