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专题:平面向量


向量的概念 向量的加、减法 向量 向量的运算 实数与向量的积 向量的数量积 平面向量的基本定理及坐标表示 几何中的运用 向量的运用 物理学中的运用

平面向量复习专题

两向量平行的充要条件

向量的坐 标运算

两向量垂直的充要条件 向量的模 向量的夹角

两点间的距离

>
公式总结: 1.实数与向量的积:λ (μ a)=(λ μ )a; (λ +μ )a=λ a+μ a; λ (a+b)=λ a+λ b.

2.向量的数量积: a· b· ( ? a) b= ?(a· = ? a· a· ? b) a+b) c= a · +b· a ? b = | a || b |cos? b= a; · b) b= ( ; · c c; 3.平面向量基本定理: 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一 对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 4.a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积 5.平面向量的坐标运算: (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 6.两向量的夹角公式: 7.平面两点间的距离公式: (a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) )

? ?

?

?

??? ??? ??? ? ? ?

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

8.向量的平行与垂直: 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ,使得 b=λ a,即 b∥a ? b=λ a(a≠0) 9.线段的定比分公式: 设 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) , P( x, y) 是线段 PP 的分点, ? 是实数,且 PP ? ? PP ,则 1 2 1 2 1 2

??? ?

????

? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

x1 ? ? x2 ???? ???? ??? OP ? ? OP ? ??? ??? ? ? ???? 1 1? ? 1 2 ) ? 一般形式 ? OP ? ? OP ? tOP ? (1? t )OP ( t ? 1 2 y1 ? ? y2 1? ? 1? ? 1? ?

10.三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标 是 G(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3
'

11.点的平移公式:

图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的坐标为 ( h, k )

'

'

'

????
'

???? ??? ???? ? ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ?? ,同理类似处理对称平移问题 ? OP' ? OP ? PP' . ? 数学思想(设而不解) ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ?

12.按向量平移”的几个结论

通用解题步骤
' '

(1)点 P( x, y) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) . (2)函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (3)图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k .
' '

(4)曲线 C : f ( x, y) ? 0 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .
' '

(5)向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 13.三角形五“心”向量形式的充要条件: 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC .

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? 外心(三条边垂直平分线交点) ??? ??? ??? ? ? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . 重心(三条边中线交点) ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . 垂心(高线交点) ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . 内心(角平分线交点) ??? ? ??? ? ??? ? (5)O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC 旁心(三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点) ? ? 2 ?2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 14. a ? b ? a ? 2a ? b ? b a ?b ?c ? a ?c ?b ?c a ?b ? a ?b ? a ?b a ?b ?c ? a ? b ?c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? a ? b (注意成立条件) a ? b ? 0 ? a ? 0或 b ? 0或a ? b

?

?

?

?

?

??

?

? ?

? ?

a b c ? ? ? 2 R(推导) a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; sin A sin B sin C 1 1 1 1 abc 2 16.面积:S⊿= a ? ha = ab sin C = bc sin A = ac sin B = =2R sin A sin B sin C 2 2 2 2 4R 2 2 2 1 a sin B sin C b sin A sin C c sin Asin B = = = =pr= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) p ? ( a ? b ? c ) r 三角形内切圆半径 2 2 sin B 2 sin C 2 sin A ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 S?OAB ? (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) . 2
15. 正余弦定理: 17.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 18.补充:万能公式:
sin ? ? ? 1 ? tan2 2 , cos? ? ? 1 ? tan2 1 ? tan2 2 2 tan

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) 2 2 2

? ? 2 tan 2 , tan? ? 2 ? ? 1 ? tan2 2 2
cos? ? 1 ? ? sin 2 2 ? sin 2 ? cos2 2 cos2 ? 1 ? tan2 2 ? ? 1 ? tan2 2 ? 2 ? 2

证:1?
sin ? ?

sin ? ? 1

? ? ? cos 2 tan 2 2 ? 2 ? ? ? sin 2 ? cos2 1 ? tan2 2 2 2 2 sin

2?
cos? ?

3?
tan? ?

sin ? ? cos?

? ? ? cos 2 tan 2 2 ? 2 ? ? ? cos2 ? sin 2 1 ? tan2 2 2 2 2 sin

本质:用半角的正切表示正弦、余弦、正切 ;注意:公式左右两边定义域变化,由左向右定义域缩小 2 sin ? ? cos ? ? ?5 ,求 3cos 2? + 4sin 2? 的值。 例子: 已知 sin ? ? 3 cos ? ? ? 练习:求函数 f ( x) ? cos2 x ? sin x 在 [ ? , ] 上的最小值。 4 4

向量题型: 1. 考查平面向量的基本概念和运算律 2. 考查向量的坐标运算 3. 平面向量在平面几何中的应用 4. 平面向量与三角函数、函数等知识的结合 5. 平面向量与解析几何的交汇与融合

1. 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中, 主要考查平面向量的有关概念与性质, 要求考生深刻理解平面向量的相关 概念,能熟练进行向量的各种运算,熟悉常用公式及结论,理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。
例 1. | a |=1,| b |=2,c = a + b,且 c⊥a,则向量 a 与 b 的夹角为 A.30° B.60° C.120° 例 2.已知向量 a A.30° 例3 ( D.150° )

? (1,2), b(?2,?4), | c |?
B.60°
?

5 , 若(a ? b) ? c ?
C.120°

5 , 则a与c的夹角为 2
D.150° .





??? ??? ? ? .在△ ABC 中,若 ?C ? 90 , AC ? BC ? 4 ,则 BA ? BC ?

2.考查向量的坐标运算
例 1.已知向量 a=(-2,2) ,b=(5,k).若|a+b|不超过 5,则 k 的取值范围是 A.[-4,6] B.[-6,4] C.[-6,2] D.[-2,6] 例 2.设向量 a=(-1,2) ,b=(2,-1) ,则(a·b) (a+b)等于 A. (1,1) B. (-4,-4) C.-4 ( )

( D. (-2,-2) )



例 3.已知向量 a =(x-5,3), b =(2,x),且 a ⊥ b ,则由 x 的值构成的集合是 ( A.{2,3} B.{-1,6} C.{2} D.{6}

?

?

?

?

例 4.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(-3,4),若点 C 在∠AOB 的平分线上且| OC |=2,则 OC = 例 5.已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC 例 6.已知向量 a

??? ?

??? ?

??? ?

? (?k ,10) ,且 A、B、C 三点共线,则 k=
.

.

? (2,3),b ? ( x,6),且a // b, 则 x=

3.平面向量在平面几何中的应用

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? AB AC ? ? 例 1. O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? ), ? ?[0, ??), 则 P 的 | AB | | AC | 轨迹一定通过△ ABC 的 ( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 例 2.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A, C ) ,则 AP 等于 ( ) A. ? ( AB ? AD), ? ? (0,1)

??? ?

??? ??? ? ?

2 ? ? ? ? ? ? 例 3.已知有公共端点的向量 a , b 不共线, | a | =1, | b | =2,则与向量 a , b 的夹角平分线平行的单位向量是 . ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 例 4.已知直角坐标系内有三个定点 A(?2, ?1)、B(0,10)、C(8,0),若动点 P 满足: OP ? OA ? t ( AB ? AC), t ? R ,则点
P 的轨迹方程 。

??? ??? ? ? B. ? ( AB ? BC ), ? ? (0, 2 ) C. 2

?( AB ? AD), ? ? (0,1)

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? D. ? ( AB ? BC ), ? ? (0, 2 )

4.平面向量与三角函数、函数等知识的结合
当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上,可以设计出 有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种: ① 用向量平行或垂直的充要条件, ②利用向量数量积的公式和性质. 例 1.(2005 年高考·江西卷·文 18)已知向量 a

? (2 cos

x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4

求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π ]上的单调区间.

例 3.已知向量 m ? (cos? ,sin ? ) 和 n ?

??

?

?

?? ? 8 2 ?? ? ? 2 ? sin ? ,cos? ,? ? ?? , 2? ? ,且 m ? n ? , 求 cos ? ? ? 的值. 5 ?2 8?

?

B, f ( x) ? kx ? b 的图象与 x, y 轴分别相交于点 A、 AB ? 2i ? 2 j( i, j 分别是与 x, y 2 轴正半轴同方向的单位向量) ,函数 g ( x) ? x ? x ? 6 . g ( x) ? 1 (1)求 k, b 的值; (2)当 x 满足 f ( x) ? g ( x) 时,求函数 的最小值. f ( x) 例 4. (2005 年高考· 上海卷· 19)已知函数 文

【题后总结】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带,促成与不等式知识的相互迁移,有效地考查平 面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。

5.平面向量与解析几何的交汇与融合 由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带。而 解析几何也具有数形结合与转换的特征, 所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题, 已逐渐成为高考命题的一个 新的亮点。 平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理,解决此类问题基本思路是 将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算;或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决 有关问题。主要包括以下三种题型: 1、 运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题 运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究 这类问题要简捷的多。 2、运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题 运用向量的数量积,可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系,从而“计算”出所要求 的结果。 3、运用平面向量综合知识,探求动点轨迹方程,还可再进一步探求曲线的性质。 例 1.(2005 年高考·江西卷·理 16 文 16)以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
2

1 (OA ? OB ), 则动点 P 的轨迹为椭圆; 2

④双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35
(写出所有真命题的序号)

其中真命题的序号为

x2 y2 例 2.已知方向向量为 v=(1, 3 )的直线 l 过点(0,-2 3 )和椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,且椭圆 C a b
的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过点 E(-2,0)的直线 m 交椭圆 C 于点 M、N,满足

回归课本
例 1. (2002 年新课程卷)平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知 中?, ? A.

A(3,1), B(?1,3) ,若点 C 满足 OC ? ? 0 A ? ? OB ,其

??? ?

???

??? ?

? R ,且 ? ? ? ? 1 ,则点 C 的轨迹方程为 3x ? 2 y ? 11 ? 0
B.

C. 2 x ? y ? 0 D. x ? 2 y ? 5 ? 0 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ??? ? 解析:设 C 的坐标为 ( x, y ) , ?OC ? ( x, y) .又 OC ? ? OA ? ? OB ? ? (3,1) ? (1 ? ? )(?1,3) ? (4? ? 1,3 ? 2? ) ? x ? 4? ? 1, 消去 ? 得 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,故选( D ). 评注:本题主要考查向量的坐标运算以及解析几何中参数法思想. ?? ? y ? 3 ? 2? . ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? 教材例题为: OA, OB 不共线, AP ? t AB, t ? R ,用 OA,OB 表示 OP ,它的结论是 OP ? (1 ? t )OA ? tOB .此 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? P 题等价于“ OA, OB 不共线,若 P, A, B 三点共线,则 OP ? ? OA ? ? OB 且 ? ? ? ? 1 ”.

B A
O

说明:该例题是个重要题型,它的相关结论和变式很多:如当 t= 中点,此式称为△ABC 的中线公式(向量式)

??? 1 ??? ??? ? ? ? 1 时, OP ? (OA ? OB) ,此时点 P 为 AB 的 2 2

下面给出它的几种变式和应用:

变式1: OA, OB 不共线,点 P 在 O、A、B 所在平面内,且 OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) 求证:A、B、P 三点共线。

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

变式2: OA, OB 不共线,点 P 在直线 AB 上,求证:存在实数λ 、μ ,使得 OP ? ?OA ? ?OB ,且λ +μ =1。

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

变式3:求证:平面内不共线的三向量 OA , OB , OC 的终点 A、B、C 共线的充要条件是存在实数λ 、μ ,使得

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? OC ? ?OA ? ?OB ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 变式4: OA, OB 不共线, AP ? ? PB(? ? ?1) ,用 OA , OB 表示 OP 。

B P

A
O

例 2.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,给定两点 A(1,0) 、B(0,-2) ,点 C 满足

OC ? ? OA ? ? OB, 其中? 、 ? ? R, 且? ? 2? ? 1
(1)求点 C 的轨迹方程;

x2 y2 (2)设点 C 的轨迹与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 交于两点 M、N,且以 MN 为直径的圆过原点,求证: a b 1 1 ? 为定值 ; a2 b2 (3)在(2)的条件下,若双曲线的离心率不大于 3 ,求双曲线实轴长的取值范围.


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