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20101005高二数学(3.2.2函数模型的应用实例(第一课时))


新人教A版 数学必修1 第三章 函数的应用

函数模型的应用实例(一)

3.2.2 函数模型的应用实例 (第一课时)
湖南师大附中 龚红玲

复习引入

1、请同学们说说我们已经学过哪些函 数模型? 一次函数、二次函数、指数函数、

对数函数以及幂函数等等. 2、交

流作业成果:请举出生活中函数 模型的应用实例.

实例分析
【例1】一辆汽车在某段 路程中的行驶速率与时间 的关系如图所示:
90 80 75 65

v/km·-1 h

50

(1)求图中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际 含义;

10

0

1

2

3

4

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路 程前的读数为2010 km,试建立行驶这段路 程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解 析式,并作出相应的图象.

5 t/h

实例分析 【例1】 (1)求图中阴影部分 的面积,并说明所求面 积的实际含义;

v/km·-1 h 90 80 75 65

50

速 路 率 程 矩形面积=长×宽 解: 10 时 速率×时间=路程 (1)阴影部分的面积为 间0 1

2

3

4

5 t/h

50 ?1 ? 80 ?1 ? 90 ?1 ? 75 ?1 ? 65 ?1 ? 360

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行 驶的路程为360km.

实例分析 【例1】
(2)假设这辆汽车的里程表 在汽车行驶这段路程前 的读数为2010 km,试 建立行驶这段路程时汽 车里程表读数s km与时 间t h的函数解析式,并 作出相应的图象.
10

v/km·-1 h 90 80 75 65

50

0

1

2

3

4

5 t/h

实例分析 【例1】 S=2010+vt
90 80 75 65

v/km·-1 h

vt—图形的面积 当0 ≤t <1时 ,
S=2010+50t;

50

10

当1 ≤t <2时 ,

0

1

2

3

4

5 t/h

S=2010+50×1+80(t-1) ;

t-1

即S=2060+80(t-1) ;

实例分析 【例1】
解:(2)根据图形可得:
90 80 75 65

v/km·-1 h

? ? 80(t ? 1) ? 2060 , 1 ? t ? 2, ? ? S ? ? 90(t ? 2) ? 2140 , 2 ? t ? 3, ? 75(t ? 3) ? 2230 , 3 ? t ? 4, ? ? ? 65(t ? 4) ? 2305 , 4 ? t ? 5.

50 t ? 2010 , 0 ? t ? 1,

50

10

0

1

2

3

4

5 t/h

t-1

实例分析 解:(2)化简可得: s
2400 2300

? ?80 t ? 1980 , 1 ? t ? 2, ? ? 90 t ? 1960 , 2 ? t ? 3, S?? ? 75 t ? 2005 , 3 ? t ? 4, ? ? 65 t ? 2045 , 4 ? t ? 5. ?

50 t ? 2010 ,

0 ? t ? 1,

2200

2100 2000

O

1

2

3

4

5

这个函数的图象如图所示.

实例分析
【例2 】某桶装水经营部每天的房租、人员工资 等固定成本为200元,每桶水的进价是5元, 销售单价与日均销售量的关系如下表所示:
销售单价/ 元 日均销售量/桶

6

7

8

9

10 320

11

12

480 440 400 360

280 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部 怎样定价才能获得最大利润?

实例分析 【例2 】分析: 条件:固定成本为200元,进价是5元/桶,
销售单价/ 元

日均销售量/桶

7 8 9 10 11 12 480 440 400 360 320 280 240

6

任务:怎样定价才能获得最大利润?

问题探究:①利润与哪些量有关?试用等式表 ①利润=日销售量×(售价-进价)-固定成本 示出来. ②销售单价每增加1元,日销售量就减少40桶 ②分析表格数据,日均销售量随销售单价的 变化规律是什么? ③当销售单价为x元/桶时,销售量为多少? ③当销售单价为x元/桶时,日销售量为: 480-40(x-6)=720-40x(桶) ④ x >5且720-40x >0. ④销售单价x受哪些条件的制约?

实例分析
【例2】解:设每桶水定价为x元时, 日均销
售利润为y元. 因为销售单价每增加1元,日 均销售量就减少40桶,则日均销售量为: 480-40(x-6)=720-40x(桶). 由于x>5且720-40x>0, 即5<x<18, 所以 y=(720-40x)(x-5)-200 =-40x2+920x-3800 (5<x<18) =-40(x - 11.5)2+1490. 所以,当x=11.5时,y有最大值. 故将销售单价 定为11.5元,就可获得最大的利润.

实例分析
【例2】(解法二) 设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元. 因为销售单价每增加1元,日均销售量就减少40 桶,则日均销售量为: 480-40(x-1)=520-40x(桶). 由于x>0且520-40x>0,即0<x<13,所以 y=(520-40x)x-200 =-40x2+520x-200(0<x<13) =-40(x - 6.5 )2+1490 所以,当x=6.5时,y有最大值. 故将销售单价 定为11.5元,就可获得最大的利润.

反思归纳
建立(确定性)函数模型,解决实际问题的 一般程序是什么?

①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数 量关系; ②建模:将文字语言、图表语言化为数学语言, 利用数学知识,建立相应的数学模型; ③解模:求解数学模型,得出数学结论;
④还原:将用数学知识和方法得出的结论,还 原为实际问题的意义.

反馈练习

某支上市股票在30天内每股的日交易均价P(元)与 时间t (天)组成有序数对(t,P), 且点(t,P)落在图 中的两条线段上. 该股票在 30天内(含30天)的日 交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示:
P (元)
6 5

第t天

4

10

16

22

Q万股

36

30

24

18

2

O

10

20

(1)写出这支股票每股的日交易 均价P(元)与时间t (天)所满足 的函数关系式; 30 t (天)

解:(1) 当 0 ? t ? 20, 且t ? N 时,设 P ? k1t ? b1 ,
1 ? ?b1 ? 2 , 解得 ?k1 ? 5 由图象得 ? ? 20k1 ? b1 ? 6 ? ?b1 ? 2 ? 1 即 P ? t ? 2; 5

同样的方法可求得当 20 ? t ? 30, 且t ? N 时, 1 P ? ? t ? 8. ? 1 10 t ? 2, 0 ? t ? 20 ?5 ? (t ? N ). 综上可得, P ? ?
?? 1 t ? 8, 20 ? t ? 30 ? 10 ?

反馈练习

某支上市股票在30天内每股的日交易均价P(元)与 时间t (天)组成有序数对(t,P), 且点(t,P)落在图 中的两条线段上. 该股票在 30天内(含30天)的日 交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示:
P (元)
6 5

第t天

4

10

16

22

Q万股

36

30

24

18

2

O

10

20

(2)根据表中数据确定日交易 量Q(万股)与时间t (天)的一次 30 t (天) 函数关系式;

反馈练习 解:(2)设 Q(t )

? kt ? b ,由题意知:

?k ? ?1 ?4k ? b ? 36 ,解得 ? . 即 ? ?10k ? b ? 30 ?b ? 40
所以: (t ) ? ?t ? 40 (0 ? t Q

?Q(4) ? 36 , ? ?Q(10) ? 30

? 30, t ? N )

反馈练习

某支上市股票在30天内每股的日交易均价P(元)与 时间t (天)组成有序数对(t,P), 且点(t,P)落在图 中的两条线段上. 该股票在 30天内(含30天)的日 交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示:
P (元)
6 5

第t天

4

10

16

22

Q万股

36

30

24

18

(3)求这30天中第几天的
2

日交易额最大,最大值为
10 20 30

O

t (天)

多少万元?

解:(3)设第t天的日交易额为f(t)万元,则
f (t ) ? P ? Q ? 1 ( t ? 2)(?t ? 40), 0 ? t ? 20, ? 5 ? ?? (t ? N ) 1 ?(? t ? 8)(?t ? 40), 20 ? t ? 30, ? 10 ? 即 ? 1 2 ? t ? 6t ? 80, 0 ? t ? 20, ? 5 ? f (t ) ? ? (t ? N ) ? 1 t 2 ? 12t ? 320, 20 ? t ? 30, ?10 ?

解:(3)设第t 天的日交易额为f(t)万元,则

? 1 2 ? (t ? 15) ? 125, 0 ? t ? 20, ? 5 ? f (t ) ? ? (t ? N ) ? 1 (t ? 60) 2 ? 40, 20 ? t ? 30, ?10 ? f 当0 ? t ? 20, 且t ? N时, (t ) max ? f (15) ? 125;
f 当20 ? t ? 30, 且t ? N时,(t ) max ? f (20) ? 120;
所以这30天中第15天的日交易额最大,

最大日交易额为125万元.

课堂小结
1、建立(确定)函数模型,解决实际问题的基本 程序是什么?
抽象概括 实际问题 数学模型

推理 演算
实际问题 的解

还原说明

数学模型 的解

课堂小结
2、在本节课的学习过程中,运用到了哪些 数学思想方法? 数形结合、分类与整合、化归与转化. 待定系数法、配方法.

作业布置 必做题:教材P106练习第1题, P107习题3.2A组第3,4题. 选做题: P108习题3.2B组第2题.

祝各位同学
学习进步! 生活快乐!

再见 !


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