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2014世纪金榜课时提升作业(十五) 第二章 第十二节


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课时提升作业(十五)
一、填空题 1.抽气机每次抽出容器内空气的 60%,要使容器内剩下的空气少于原来的 0.1%, 则至少要抽_______次.(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)

2.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如 图,当打出电话 150 分钟时,这两种方式电话费相差_____元.

3.某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中 有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式 为 f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中 n 是任课教师所在班级学生的该任课教师所任 学科的平均成绩与该科省平均分之差,f(n)的单位为元),而 k(n)=
?0, n ? 10, ?100,10<n ? 15, ? ? ?200,15<n ? 20, 现有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超 ?300, 20<n ? 25, ? ? ?400, n>25.

出省平均分 18 分,而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分 21 分,则乙所 得奖励比甲所得奖励多______元.
-1-

4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流, 现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积 最大时,矩形两边长 x,y 分别为______.

5.某市 2012 年新建住房 100 万平方米,其中有 25 万平方米经济适用房,有关 部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加 5%,其中经济适用房每年增加 10 万平方米.按照此计划,当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积 一半的年份是_____年.(参考数据:1.052≈1.10,1.053≈1.16,1.054≈1.22, 1.055≈1.28) 6.(能力挑战题)一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度 如图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示.

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水; ③4 点到 6 点不进水也不出水.则一定正确的是______. 7.里氏震级 M 的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最 大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振 幅是 1 000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为______级;9
-2-

级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的_______倍. 8.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电 网销售电价表如下:

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_______元(用数字作答). 9.(能力挑战题)在某条件下的汽车测试中,驾驶员在一次加满油后的连续行驶 过程中从汽车仪表盘得到如下信息:

-3-

注: 油耗 ? 平均油耗=

加满油后已用油量 汽车剩余油量 , 可继续行驶距离 ? ; 加满油后已行驶距离 当前油耗

指定时间内的用油量 . 指定时间内行驶的距离

从以上信息可以推断在 10:00-11:00 这一小时内________(填上所有正确判断的 序号). ①行驶了 80 千米; ②行驶不足 80 千米; ③平均油耗超过 9.6 升/100 千米; ④平均油耗恰为 9.6 升/100 千米; ⑤平均车速超过 80 千米/小时. 10.(2013·苏州模拟)汽车最佳使用年限是使年均消耗费用最低(年均消耗费用= 年均成本费用+年均维修费用),设某种汽车的总费用为 50 000 元,使用年保险 费,车船使用税及汽油费合计为 6 000 元;前 x 年的总维修费用满足 y=ax2+bx. 已知第一年的总维修费用为 1 000 元,前两年的总维修费用为 3 000 元,则这 种汽车的最佳使用年限为________年. 二、解答题 11.(2013·南京模拟)经观察,人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能 量为 E=kv3t,其中 v 为鲑鱼在静水中的速度,t 为行进的时间(单位:h),k 为大 于零的常数.如果水流的速度为 3 km/h,鲑鱼在河中逆流行进 100 km.
-4-

(1)将鲑鱼消耗的能量 E 表示为 v 的函数. (2)v 为何值时,鲑鱼消耗的能量最少? 12.(2013·泰州模拟)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5 000 辆.本年度为适应市场需 求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润 =(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则 投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? (2)年销售量关于 x 的函数为 y=3 240×(-x2+2x+ ),则当 x 为何值时,本年度的 年利润最大?最大利润为多少? 13.(2013·徐州模拟)某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成:①原材料 费每件 50 元;②职工工资支出 7 500+20x 元;③电力与机器保养等费用为 x2-30x+600 元.其中 x 是该厂生产这种产品的总件数. (1)把每件产品的成本费 P(x)(元)表示成产品件数 x 的函数, 并求每件产品的最 低成本费. (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 170 件且能全部销售,根据市场调 查,每件产品的销售价为 Q(x)(元),且 Q ? x ? ? 1 240 ?
1 2 试问生产多少件产品, x, 30
5 3

总利润最高?并求出最高总利润.(总利润=总销售额-总的成本) 14.两县城 A,B 相距 20 km,现计划在两县城外以 AB 为
? 上选择一点 C 建造垃圾处理厂,其对 直径的半圆弧 AB

城市影响度与所选地点与城市距离有关,对城市 A 和 B
-5-

的总影响度为城 A 与城 B 影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的 垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明,垃圾处理厂对城 A 的 影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度
? 的 与所选地点到城 B 的距离的平方成反比, 比例系数为 k, 当垃圾处理厂建在 AB

中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. (1)将 y 表示为 x 的函数.
? 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处 (2)讨论(1)中函数的单调性,并判断 AB

理厂对城 A 和城 B 的影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在, 说明理由.

答案解析
1.【解析】抽 n 次后容器剩下的空气为(40%)n.由题意知 (40%)n<0.1%,即 0.4n<0.001, ∴nlg0.4<-3, ∴ n>
3 3 ? ? 7.54, 1 ? 2lg 2 1 ? 2 ? 0.301 0

∴n 的最小值为 8. 答案:8 2.【解析】由题意可设 sA(t)=kt+20,sB(t)=mt, 又 sA(100)=sB(100), ∴100k+20=100m, ∴k-m=-0.2,
-6-

∴sA(150)-sB(150)=150k+20-150m=150×(-0.2)+20=-10, 即两种方式电话费相差 10 元. 答案:10 3.【解析】k(18)=200 元, ∴f(18)=200×(18-10)=1 600(元). 又∵k(21)=300 元, ∴f(21)=300×(21-10)=3 300(元), ∴f(21)-f(18)=3 300-1 600=1 700(元). 答案:1 700 4.【思路点拨】利用三角形相似列出 x 与 y 的关系式,用 y 表示 x.从而矩形面 积可表示为关于 y 的函数. 【解析】由三角形相似得
5 4

24 ? y x ? , 24 ? 8 20

得 x= (24-y),由 0<x≤20 得,8≤y<24, ∴ S ? xy ? ? ? y ? 12 ? ? 180,
2

5 4

∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 答案:15 12

5.【解析】设第 n 年新建住房面积为 an=100(1+5%)n, 经济适用房面积为 bn=25+10n. 由 2bn>an 得:2(25+10n)>100(1+5%)n, 利用已知条件解得 n=4 时,不等式成立, 所以在 2016 年时满足题意. 答案:2016
-7-

6.【思路点拨】首先知道进水口与出水口每小时的进水量和出水量,再分析蓄 水量的变化情况,根据蓄水量的变化进行判断. 【解析】由丙图知 0 点到 3 点蓄水量为 6,故应两个进水口进水,不出水,故① 正确. 由丙图知 3 点到 4 点间 1 小时蓄水量少 1 个单位,故一个进水一个出水,故② 错误. 由丙图知 4 点到 6 点蓄水量不变,故可能不进水也不出水或两个进水一个出水, 故③错误. 答案:① 【误区警示】本题易误选①③.出错的原因是忽视了蓄水量不变也可能是两个进 水一个出水. 7.【解析】由题意,在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1 000,此时标准 地震的振幅为 0.001,则 M=lg A-lg A0=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6. 设 9 级地震的最大振幅是 x,5 级地震的最大振幅是 y, 9=lg x+3,5=lg y+3,解得 x=106,y=102. 所以 ? 答案:6
x y 106 ? 10 000. 102

10 000

8.【解析】高峰时间段 200 千瓦时的用电电费为: 50×0.568+150×0.598=118.1(元); 低谷时间段 100 千瓦时的用电电费为:50×0.288+50×0.318=30.3(元),合 计:148.4 元. 答案:148.4
-8-

【变式备选】经全国人大常委会批准,自 2011 年 9 月 1 日起我国实行新的《中 华人民共和国所得税法》 ,新法规定:个人工资、薪金所得,以每月收入额减除 费用 3 500 元后的金额,为全月应纳税所得额,且税率也作了调整,调整后的 部分税率见《中华人民共和国个人所得税税率表》.

某人在 10 月份上交的个人所得税是 223.8 元,则他 10 月的总收入是_______. 【思路点拨】设月工资、薪金总收入为 x 元,纳税额为 y 元,分别求出当 0<x≤ 5 000,5 000<x≤8 000 时的函数解析式,确定其范围,再利用 y=223.8 建立方 程,即可求得总收入. 【解析】设月工资、薪金总收入为 x 元,纳税额为 y 元. 当 0<x≤5 000 时,y=0.03×(x-3 500), ∴0<y≤45; 当 5 000<x≤8 000 时,y=45+0.1×(x-5 000), ∴45<y≤345. 当 y=223.8 时,由题意可得,45+0.1×(x-5 000)=223.8,解得 x=6 788. 答案:6 788 元 9.【解析】实际用油为 7.38 升. 设 L 为 10:00 前已用油量,ΔL 为这一个小时内的用油量,s 为 10:00 前已行驶
-9-

?L ? 9.5, ? ?s 距离,Δs 为这一个小时内已行驶的距离,则 ? ? L ? ?L ? 9.6. ? s ? ?s ?

得 L+ΔL=9.6s+9.6Δs, 即 9.5s+ΔL=9.6s+9.6Δs,ΔL=0.1s+9.6Δs,
?L 0.1s ? ? 9.6>9.6. ?s ?s

所以③正确,④错误.这一小时内行驶距离< 所以①错误,②正确.⑤由②知错误. 答案:②③ 10.【解析】设这种汽车使用 n 年报废合算. 由题意得 ?
?a ? b ? 1 000, ?a ? 500, 解得 ? ?4a ? 2b ? 3 000, ?b ? 500.

7.38 ×100=76.875, 9.6

则年平均消耗费用
f ?n? ? 50 000 ? 6 000n ? ? 500n 2 ? 500n ? n ? 50 000 ? 500n ? 6 500 ? 16 500, n

当且仅当

50 000 ? 500n,n ? 10 时等号成立. n

故这种汽车使用 10 年报废合算. 答案:10 11.【解析】(1)鲑鱼逆流匀速行进 100 km 所用的时间为 t ?
100 100kv3 ? (v ? (3, ??)). 所以 E ? kv t ? kv v?3 v ?3
3 3

100 . v?3

(2) E? ? 100k

3v 2 ? v ? 3 ? ? v 3

? v ? 3?

2

? 100k

2v 2 ? v ? 4.5 ?

? v ? 3?

2

.

令 E′=0,解得 v=4.5 或 v=0(舍去). 因为 k>0,v>3,所以当 v∈(3,4.5)时,E′<0,
- 10 -

当 v∈(4.5,+∞)时,E′>0. 故E ?
100kv3 在(3,4.5)上单调递减,在(4.5,+∞)上单调递增. v?3

所以,当 v=4.5 时,E 取得最小值, 即 v=4.5 km/h 时,鲑鱼消耗的能量最小. 12.【解析】(1)由题意得:本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x); 出厂价为 13×(1+0.7x);年销售量为 5 000×(1+0.4x), 因此本年度的利润为 y=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5 000×(1+0.4x) =(3-0.9x)×5 000×(1+0.4x), 即 y=-1 800x2+1 500x+15 000(0<x<1), 由-1 800x2+1 500x+15 000>15 000, 得 0<x< . (2)本年度的利润为 f(x)= ? 3 ? 0.9x ? ? 3 240 ? (?x 2 ? 2x ? ) =3 240×(0.9x3-4.8x2+4.5x+5), 则 f′(x)=3 240×(2.7x2-9.6x+4.5) =972×(9x-5)(x-3), 由 f′(x)=0,解得 x= 或 x=3, 当 x∈(0, )时,f′(x)>0,f(x)是增函数;
5 9 5 5 ∴当 x= 时,f(x)取得极大值 f( )=20 000(万元), 9 9 5 9 5 9 5 6

5 3

当 x∈( ,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.

因为 f(x)在(0,1)上只有一个极大值,所以它是最大值, 所以当 x= 时,本年度的年利润最大,最大利润为 20 000 万元.
- 11 -

5 9

13.【解析】(1) P ? x ? ? 50 ? 由基本不等式得: P ? x ? ? 2 当且仅当

7 500 ? 20x x 2 ? 30x ? 600 8 100 ? ? ? x ? 40, x ? N *. x x x
8 100 ? x ? 40 ? 220, x

8 100 8 100 +x+40,x∈N*,每件产品 ? x, 即 x=90 时等号成立,所以 P(x)= x x

的最低成本费为 220 元. (2)设总利润 y=f(x),则 f(x)=x[Q(x)-P(x)] ? 1 240x ? =1 3 x ? 8 100 ? x 2 ? 40x 30

1 3 2 x -x +1 200x-8 100,x∈N*且 x≤170, 30 1 所以 f′(x)=- x2-2x+1 200 10 1 2 1 ? ? ? x ? 20x ? 12 000 ? ? ? ? x ? 100 ?? x ? 120 ? . 10 10

当 0<x<100 时,f′(x)>0;当 100<x≤170 时,f′(x)<0. 所以 f(x)在[1,100]上是增函数,在[100,170]上是减函数, 所以当 x=100 时,函数 f(x)取得最大值
205 700 , 3

205 700 元. 3 4 k 14.【解析】(1)由题意 AC⊥BC,BC2=AB2-AC2=400-x2, y ? 2 ? (0<x<20). x 400 ? x 2

所以当生产 100 件产品时,总利润最高,且最高利润为

? 中点时,垃圾处理厂到 A,B 的距离相等,且为 10 2 km, 当垃圾处理厂建在 AB

所以 0.065 ? ∴y=

?10 2 ? ?10 2 ?
2

4

?

k

2

, 解得 k=9,

4 9 (0<x<20). ? 2 x 400 ? x 2 4 9 8 18x )? ? ? 3 ? (2) y? ? ( 2 ? 2 x 400 ? x x ? 400 ? x 2 ?2

=

10x 4 ? 6 400x 2 ? 1 280 000 x 3 ? 400 ? x 2 ?
2

.

因为 0<x<20,令 y′=0,得 x ? 4 10,
- 12 -

令 y′>0,得 x4+640x2-128 000>0, 解得 x2>160,∴ x ? 4 10, 令 y′<0,得 0 ? x ? 4 10 ∴函数 y ?
4 9 在 x∈(0, 4 10 )上是减函数,在 x ? 4 10, 20 上是增函数, ? 2 x 400 ? x 2

?

?

∴当 x ? 4 10 时,y 取得最小值,
? 上存在一点,且此点到城市 A 的距离为 4 10 km,使建在此处的垃圾处理 ∴在 AB

厂对城市 A,B 影响度最小.

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