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新课标人教版A必修5复习课 第一章 解三角形
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C

b 一、正弦定理及其变形:
A
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
变 形

2R

c
B’

a
B

( R为三角形外接圆半径)
a ? ?a ? 2 R sin A (sin A ? 2 R ) ? b ? ) ?b ? 2 R sin B (sin B ? 2R ? c ? ?c ? 2 R sin C (sin C ? 2 R ) ?
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a : b : c ? sin A : sin B : sin C
正弦定理解决的题型:
1、已知两角和任意一边,求其他的两边及角. 2、已知两边和其中一边的对角,求其他边角.

二、余弦定理及其推论: 余弦定理解决的题型:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 推论 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2
2 2 2 b ? c ? a 1、已知三边求三角. cos A? 2、已知两边和他 2bc 们的夹角,求第 2 2 2 a ? c ? b 三边和其他两角 . cos B? 2ac a 2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab

三、三角形的面积公式:
S?ABC 1 1 1 ? aha ? bhb ? chc 2 2 2

A

c
B

S?ABC

1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

ha
a

b

C

典例分析
题型一、已知两边及一边对角,解三角形。
1 、 已知?ABC中,a ? 2 , b ? 3, B ? 60?, 那么A等于()

C

A.135 ?, B.135 ?或45?, C.45?,D.30?
变式、 已知?ABC中, 根据下列条件有两个解的是()

D

A.b ? 10, A ? 45 ?, C ? 70 ? B.a ? 5, c ? 4, B ? 60 ? C.a ? 7, b ? 5, A ? 80 ? D.a ? 14, b ? 16, A ? 45 ?
小结:这种条件下解三角形注意多解的情况的判断方 法,同时注意正弦定理,余弦定理的选择。

典例分析
题型二、已知三边,解三角形。
3 变式1 、 已知?ABC中,a ? 1, b ? 7 , c ? 3, 那么S ?ABC 等于 ____ 4

° 2、 已知?ABC中,a ? 1, b ? 7 , c ? 3, 那么B等于150 ____

变式2、 已知?ABC中, sinA: sin B : sin C ? 1 : 7 : 3, 那么B等于150 ____ °

变式3 、 已知?ABC中,a

2

? b 2 ? c 2 ? bc, 那么A等于 ____

小结:这种条件下解三角形注意灵活运用正弦定理, 特别注意余弦定理的变形。

典例分析
题型三、求三角形的面积。
3 、 已知?ABC中,a ? 4, c ? (参考数据: sin75? ? 2 , B ? 75 ?, 那么?ABC的面积等于 ____ 3 ?1 6? 2 ) 4

变、 已知?ABC中,a ? 4, c ? 4 2 , A ? 30 ?, 那么?ABC的面积等于 ____

变、 已知?ABC中,a ? 1, c ? 3 , b ? 7 , 那么?ABC的面积等于 ____

变、 已知?ABC中,c ? 2, C ?

?

3 (1)若?ABC的面积等于 3 , 求a, b;

,

(2) 若sinB ? 2sinA,求?ABC的面积

小结:求出一个角的余弦值是计算面积的关键。

典例分析
题型四、解三角形的实际应用(距离、角度)。
4、 某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45 ?距离10 海里的C处, 此时得 知, 该渔船沿北偏东 105 ?方向, 以每小时9海里的速度向一小岛靠近, 1小时后, 渔船与舰艇的距离是多少?
知, 该渔船沿北偏东 105 ?方向, 以每小时9海里的速度向一小岛靠近, 舰艇时速21海里, 则舰艇到达渔船的最短时间是_______

变、 某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45 ?距离10 海里的C处, 此时得

小结:准确的将实际问题的条件画出三角形,转化为 解三角形问题,是关键。

课堂小结 本章知识框架图
正弦定理

解 三 角 形
余弦定理 应 用 举 例

新课标人教版A必修5复习课 第二章 数列

知识回顾
一、数列的概念与简单的表示法:
1.数列的概念:按照一定的顺序排列着的一列数称为 数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。 2.数列的分类:有穷数列;无穷数列;递增数列;递减 数列;常数列;摆动数列.
注意: (1)若an+1>an恒成立,则{an}为递增数列;若an+1<an恒成立,则 {an}为递减数列 (2)在数列
{an} 中,若

?an ? an ?1 则 an最小. ? ?an ? an ?1

?an ? an ?1 ? ?an ? an ?1



an最大.

3.数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系。

一、知识要点
[等差(比)数列的定义] 如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差(比) 等 于同一个常数,那么这个数列就叫做等差(比)数 列。 [等差(比)数列的判定方法] ? ? a a ? a ? d 1、定义法:对于数列 ,若 (常数), n n ? 1 n an ?1 ( ? q) 则数列 ?a n ? 是等差(比)数列。
an

2.等差(比)中项:对于数列?a n ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 (a 2 n ?1 ? an ? an ? 2 ) 则数列 ?a ? 是等差(比)数列。 n n a ? An ? B ( a ? A ? q 且A ? 0) 3.通项公式法: n n
4.前n项和公式法: Sn ? An2 ? Bn(Sn ? A ? q n ? A且A ? 0)

等差数列与等比数列的相关知识
等差数列
定义 通项 通项推广 中项 性质
an?1 ? an ? d
an ? a1 ? (n ? 1)d an ? am ? (n ? m)d a?b A? 2

等比数列
an ?1 ? an ? q

an ? a1q n ?1 an ? am q n ? m

G 2 ? ab an ? am ? a p ? aq an ? a m ? a p ? aq 2 an ? am ? a p an ? am ? 2a p S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k 仍成等差 S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k 仍成等比
n(a1 ? an ) n(n ? 1)d Sn ? ? na1 ? 2 2

求和 公式

? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? ? Sn ? ? 1 ? q 1? q ? ? na1

q ?1 q ?1

关系式

an、S n

?S n ? S n ?1 n ? 2 an ? ? n ?1 ? S1

适用所有数列

典例分析
题型一、求数列的通项公式。
例1.写出下面数列的一个通项公式, 使它的前几项分别是下列各数:

1 ) ? 1,1, ?1,1, ?1,1???
2) 6 ) 5,55,555,5555, ??? 3) 2,3, 2,3, 2,3,???

an ? ? ?1? 5 n an ? ?10 ? 1? 9
n

5 ? ? ?1? ? 2 n 为正奇数 an ? ? an ? 2 ? 3 n 为正偶数

n

知识点:

a, b, a, b,?, a, b,?
a?b n ?1 a ? b an ? ? ? ?1? ? 2 2

典例分析
题型一、求数列的通项公式。
例2、 已知数列{an }中,a 1 ? 2, an?1 ? an ? 3, 求数列的通项an

变、 已知数列{an }中,a 1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1, 求数列的通项an 变、 已知数列{an }中,a 1 ? 2, an?1 ? 3an , 求数列的通项an 变、 已知数列{an }中,a 1 ? 2, nan?1 ? (n ? 1)an , 求数列的通项an 变、 已知数列{an }中,a 1 ? 2, an?1 ? 3an ? 1, 求数列的通项an

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规律方法总结
1、观察法猜想求通项:
2、特殊数列的通项:

3、公式法求通项:
4、累加法,如 5、累乘法, 如 6、构造法求通项

an?1 ? an ? f (n)
an ?1 ? f ( n) an

an ?1 ? Aan ? B

B B an ?1 ? ? A(an ? ) A ?1 A ?1

典例分析
题型二、等差数列与等比数列性质的灵活运用 例 3 、 已知等差数列 中 ,a a a11a? 40, 则a6 ? ? a815 ?= ? 2, 变、在等差数列 {{ aa 中, aa n} 3 ? 7+ n 1- 4 -a 8 - 12 求 a 3 + a 13 的值。
解:由题 a 1 + a 15 = a 4 + a 12 = 2a 8 故 a 3 + a 13 = 2a 8 = -4 ∴ a 8 = -2

变、已知 { a n } 是等比数列,且 a44 +? 2a a a =25, 例 4、 已知在等比数列 {an }中,a 3a8 a ?2a a7 a53 a ?+ 9, 则 a6 4a 65 1a10 ? ? a n >0,求 a 3 + a 5 的值。
解:由题 a 32 = a 2a 4, a 52 = a 4a 6, ∴ a 32 + 2a 3a 5 + a 52 = 25 ∵ a n >0 故 即 ( a 3 + a 5 ) 2 = 25

a3 + a5 = 5

规律方法总结
性质

an ? am ? a p ? aq an ? a m ? a p ? aq 2 an ? am ? a p an ? am ? 2a p S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k 仍成等差 S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k 仍成等比

an=am+(n-m)d(n,m∈N*). an=amqn-m(n,m∈N*).
a n A2n-1 ? b n B2n-1
利用等差(比)数列的性质解有关的题能够简化过 程,优化计算,但一定用准确性质;同时,能够用 性质解的题,用基本量法,一定也能够解决。基本 量与定义是推出数列性质的基础。对于性质,不能 死记,要会用,还要知其所以然。

2.观察数列:30,37,32,35,34,33,36,( ),38的特点,在 31 括号内适当的一个数是______
9 3.在等差数列中,a4+a6=3,则a5(a3+2a5+a7)=_____ 4. 在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10-a12的值为 ( A.20 B.22 C.24 D.28 C



5.已知数列{an}中,a1=1,并且3an+1-3an=1,则a301= ( B) A.100 B.101 C.102 D.103
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典例分析
例5.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? an}由负数递增到正数,或者由 分析: 如果等差数列{ 正数递减到负数,那么前n项和Sn有如下性质: 1.当a1<0,d>0时, 2.当a1>0,d<0时,

思路1:寻求通项 1 1 9a1 ? ? 9 ? (9 ? 1) ? d ? 12a1 ? ?12 ? (12 ? 1) ? d 2 2 a1 11 ? n 1 3a1 ? ?30 d ? d ? ? a1 ? an ? a1 ? (n ? 1)( ? ) ? a1 ? 即: 10 10 10 由于 a1 ? 0 易知 a10 ? 0 a11 ? 0 a12 ? 0 ∴n取10或11时Sn取最小值

? an ? 0 ? S n是最小值 ? ?an ?1 ? 0 ? an ? 0 ? S n是最大值 ? ?an ?1 ? 0

例5.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 分析: 等差数列{an}的通项an是关于n的一次式,前项和Sn 是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn 的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法. 思路2:从函数的角度来分析数列问题. 设等差数列{an}的公差为d,则由题意得:

1 1 9a1 ? ? 9 ? (9 ? 1) ? d ? 12a1 ? ?12 ? (12 ? 1) ? d 2 2

1 1 ? Sn ? na1 ? n(n ? 1)d ? ?10dn ? n(n ? 1)d 2 2 d 21 2 212 1 2 21 ? (n ? ) ? d ? dn ? dn 2 2 8 2 2
∵d>0, ∴Sn有最小值. 又∵n∈N*, ∴n=10或n=11时,Sn取最小值

即: 3a1 ? ?30 d ? a1 ? ?10d

∵a1<0, ∴ d>0,

典例分析
例5.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项和最小?

分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 n项和Sn 的图象也是一
群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤 立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.

思路3:函数图像、数形结合 令 Sn ? An 2 ? Bn 过原点抛物线
又S1=a1<0, 故开口向上 所以Sn有最小值 因为S9=S12, 所以Sn 的图象所在的抛物线的 对称轴为直线n=(9+12) ÷2=10.5, ∴数列{an}的前10项或前11项和最小
类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象 的对称轴为 直线x=(9+12) ÷2=10.5

Sn

10.5

o
b 2a

n

n= ?

典例分析
题型四、求数列的和。

例6、 求和:(a -1) ? (a 2 ? 1) ? ... ? (a n ? 1)
1 2 1 1 n 1, 3+ , 3+ 2 , ……, 3+ n 3 3 3

1 1 1 1 , , , ?, , ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n?n ? 2?

规律小结:公式法和分组求和法是数列求和的两种 基本方法,特别注意等比数列的公式的讨论。

典例分析
例7 已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,又a1=b1 (1) 求数列{an}及数列{bn}的通项公式; (2) 设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn

7 =1 ,a2b2=2,a3 b3 = . 4

解析:

(1 ? d )q ? 2 (1) ? 1 ? ? d ? 3, q ? 7 ?(1 ? 2d )q 2 ? (2) 2 ? 4 ? 1 1 cn ? an ? bn ? (3n ? 2) ? n?1 ? an ? 3n ? 2 bn ? n ?1 2 2 通项特征: 由等差数列通项与等比数列通项相乘而得 求和方法: 错位相减法——错项法

设等差数列 {an} 的公差为d,等比数列 {bn} 的公比为 q ,则由题意得

典例分析
解析:

1 cn ? an ? bn ? (3n ? 2) ? n?1 2

S n ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? ? ? cn

1 1 1 1 1 S n ? 1? 0 ? 4 ? 1 ? 7 ? 2 ? ? ? ? ? (3n ? 5) ? n?2 ? (3n ? 2) ? n?1 错位相 2 2 2 2 2 减法 1 1 1 1 1 1 Sn ? 1? 1 ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? ? ? ? ? (3n ? 5) ? n?1 ? (3n ? 2) ? n 2 2 2 2 2 2
1 1 (1 ? n?1 ) 1 1 1 1 1 3n ? 2 2 2 S n ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? n?1 ? (3n ? 2) ? n ? 1 ? 3 ? n 1 2 2 2 2 2 2 1? 2

两式相减:

3 3n ? 2 6 6n ? 4 ? Sn ? 2(4 ? n ?1 ? ) ? 8 ? n ?1 ? n 2 2 2 2n

规律方法总结
错位相消法是常见的求特殊数列(等差与等比数列 对应项相乘)求和方法。其关键是将数列的前几项 和通项写出,乘以公比之后错位写好,作差之后对 等比数列的求和是一个重点,也是容易出错的地方。

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典例分析
题型五、数列的项与和问题
例7、一个等差数列的前 12 项的和为 354,前 12 项中的偶 数项的和与奇数项的和之比为 32 :27,求公差 d.
? 2a1 ? 11d ? 59 法一 : ? ? 5 a1 ? 2 d

?d ?5

? S 奇 ? S 偶 ? 354 ? ? S 奇 ? 162 S 偶 32 法二 : ? ?? ? S 偶 ? 192 ? ? S 27 奇 ?
∴ 6d = S偶 -S 奇

故 d=5

典例分析 例8. 已知 ?an ? , ?bn ? 是两个等差数列,前 n 项和 a A 7 n ? 2 8 n 分别是 An 和 Bn ,且 求 . ? , b8 Bn n?3
分析:【思路一】
A2 n ?1 ? 2n ? 1?? a1 ? a2 n ?1 ? ? 2n ? 1?? 2an ? an ? ? ? B2 n ?1 ? 2n ? 1?? b1 ? b2 n ?1 ? ? 2n ? 1?? 2bn ? bn

结论:

an A2 n ?1 ? bn B2 n ?1
a8 A15 7 ?15 ? 2 107 ? ? ? b8 B15 15 ? 3 18

解:

新课标人教版A必修5复习课 第三章 不等式

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基础知识回顾
一、不等关系与不等式:
1、实数

a, b

大小比较的基本方法

2、不等式的性质:(见下表)

?a ? b ? o ? a ? b; ? ?a ? b ? 0 ? a ? b; ?a ? b ? 0 ? a ? b. ?
内 容

不等式的性质
对称性

传递性 加法性质 乘法性质
指数运算性质 倒数性质

a ? b ? b ? a; a ? b ? b ? a a ? b, b ? c ? a ? c a ? b ? a ? c ? b ? c; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd n n n n a ? b ? 0 ? a ? b a ?b?0?a ?b ; 1 1 a ? b, ab ? 0 ? ? a b

基础知识回顾
二、一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 ? ? 0 ? 及其解法 △=b2-4ac △>0 △=0
△<0

ax ? bx ? c ? 0
2

?x x ? x 或x ? x ?
2 1

? b ? ?x ? R x ? ? ? 2a ? ?

R ?

ax2 ? bx ? c ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ax ? bx ? c ? 0
2

?x x ?x x
y
O
1

1

? x ? x2 ?
2 1

? R
? b ? ?x x ? ? ? 2 a ? ?

?x x ? x 或x ? x ?
? x ? x2 ?

R ?

y ? f ? x? ? ax 2 ? bx ? c

y
x1 x2

y
O

图像:

x

O

x x=-b/2a

x

典型例题
题型一、不等式(关系)的判断。 例1 、 已知非零实数a, b满足a ? b, 则下列不等式中成立的是() 1 1 a b 2 2 2 2 B) ? D) 2 ? 2 C )a b ? ab A)a ? b a b b a 变、 已知非零实数a, b满足a ? b, 则下列不等式中成立的是()
1 1 b a A)a ? b B)a b ? ab C) 2 ? 2 D) ? ab ab a b 变、 已知非零实数a, b满足a ? b, 则下列不等式中恒成立的是() 1 a 1 b a 2 2 B )( ) ? ( ) A)a ? b C ) lg(a ? b) ? 0 D) ? 1 2 2 b 1 1 1 1 2 2 已知 a ? b ,不等式:(1) a ? b ;(2) ? ;(3) a ? b ? a 成立的个数是(A ) a b
2 2 2 2

A. 0

B. 1

C. 2

D.

3

典型例题
题型二、求一元二次不等的解集 1 1 2 例2、 若关于x的不等式ax ? bx ? 2 ? 0的解集是(??,? ) ? ( ,??), 2 3 则ab等于 ____
例3、 不等式ax2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 2对一切x ? R恒成立, 则实数a的 取值范围是 __

规律方法小结:函数图象法是求一元二次不等式的基 本方法,函数零点就是对应一元二次方程的根,求方 程的根常用十字相乘法和求根公式(用公式法需判断 Δ),根与系数的关系也是解题过程中常常要用的结 论。

基础知识回顾
三、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题:
1、用二元一次不等式(组)表示平面区域的方法:
(1)画直线(用实线或虚线表示),(2)代点(常代坐标原点(0,0))确定区域.

2、简单的线性规划问题:
要明确:(1)约束条件; (2)目标函数; (3)可行域; (4)可行解; (5)最优解等概念和判断方法.

四、基本不等式:
1、重要不等式:

a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ,当且仅当a ? b时,等号成立.
2 2

2、基本不等式:

a?b ab ? , ? a ? 0, b ? 0?当且仅当a ? b时,等号成立. 2

典型例题
题型三、基本不等式的应用 例4、 已知a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2, 则() 1 1 2 2 2 2 C ) a ? b ? 2 D ) a ? b ?3 A)ab ? B)ab ? 2 2 例5、 已知a ? 0, b ? 0, 且a ? 4b ? 1, 则ab的最大值为___ 1 4 变、 已知a ? 0, b ? 0, 且 ? ? 1, 则a ? b的最小值为___ a b x 例6、 函数f ( x) ? 的最大值为() x ?1 规律方法小结:基本不等式常用于证明不等式及求最 值问题,求最值注意一正、二定、三相等。

典型例题
题型四、线性规划问题
? x? y ?0 ?2 x ? y ? 2 ? 例7、 若不等式组? 表示的平面区域是一个三角形, ? y?0 ? ? x? y ?a 则a的取值范围 ___

规律方法小结:基本不等式常用于证明不等式及求最 值问题,求最值注意一正、二定、三相等。

典型例题
题型四、线性规划问题 已知:函数 f ( x ) ? ax2 ? c, 满足
?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5

求: f ( 3) 的取值范围. 解:因为f(x)=ax2-c, ? f (1) ? a ? c 所以 ? f (2) ? 4a ? c ?

1 ? a ? [ f (2) ? f (1)] ? ? 3 解之得 ? ?c ?? 1 f (2) ? 4 f (1) ? 3 3 ?

典型例题 8 5 所以f(3)=9a-c= f (2) ? f (1) 3 3 ?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5 因为

所以

8 8 40 ? ≤ f (2) ≤ 3 3 3 5 5 20 ≤ ? f (1) ≤ 3 3 3

还有其它 解法吗?

两式相加得-1≤f(3) ≤20. 提示:整体构造 f (3) ? ? f (1) ? ? f (2) 利用对应系数相等

求的? 与? ,从而求其范围.
们之间的联系

注意: 本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割断它

小结

不等式及其性质

? ? ? ? ?

一元二次不等式及其解法

简单的线性规划

基本不等式

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