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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标I卷)


绝密★启封并使用完毕前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的一项。 2 (1)已知集合 A={1,2,3,4} ,B={x|x=n ,n∈A},则 A∩B= ( ) (A) {0} (B) {-1,,0} (C){0,1} (D) {-1,,0,1} (2) = ( )

(A)-1 -

i

(B)-1 +

i

(C)1 +

i

(D)1 -

i

(3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 ( ) (A) (B) (C) (D)

(4)已知双曲线 C:

= 1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 ( )

(A)y=± x

(B)y=± x

(C)y=± x

(D)y=±x

(5)已知命题 p: 题中为真命题的是: (A) p∧q (B)¬p∧q (C)p∧¬q ( )

,则下列命

(D)¬p∧¬q

(6)设首项为 1,公比为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 ( (A)Sn =2an-1 (B)Sn =3an-2 ) (C)Sn =4-3an (D)Sn =3-2an
-1-

(7) 执行右面的程序框图, 如果输入的 t∈[-1, 则输出的 s 属于 3], (A)[-3,4] (B)[-5,2] (C)[-4,3] (D)[-2,5] (8)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y?=4 POF 的面积为 (A)2 (B)2 (C)2 (D)4 x 的焦点,P 为 C 上一点,若丨 PF 丨=4 ,则△

(9)函数 f(x)=(1-cosx)sinx 在[-π ,π ]的图像大致为

(10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos?A+cos2A=0,a=7,c=6,

-2-

则 b= (A)10

(B)9

(C)8

(D)5

(11)某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为 (A)18+8π (B)8+8π (C)16+16π (D)8+16π

(12)已知函数 f(x)= (A) (-∞]

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是

(B) (-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0] 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。 第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 (13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b?c=0,则t=_____.

(14)设 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x-y 的最大值为______. (15)已知H是求O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面a,H为垂足,a截球o所得截面的面 积为π ,则求o的表面积为_______.

-3-

(16)设当x=θ 时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ =______. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分) 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5. (Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)求数列

的前n项和

18(本小题满分共 12 分) 为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单 位:h)实验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA 0 A1=60 . (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2, A1C= ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积

(20)(本小题满分共 12 分) 已知函数 f(x)=e (ax+b)-x -4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为 y=4x+4 (Ⅰ)求 a,b 的值
x 2

-4-

(Ⅱ)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值

(21)(本小题满分 12 分) 已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x+1)2+y2=9,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的 轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 得方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长是, 求|AB|.

(10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos?A+cos2A=0,a=7,c=6, 则 b= (A)10 (B)9 (C)8 (D)5 请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多 、 、 做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。

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(Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径。

(23) (本小题 10 分) 选修 4—4: 坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 x=4+5cost, y=5+5sint, 为参数) (t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系,曲线 C2 的 极坐标方程为ρ =2sinθ 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣2x-1∣+∣2x+a∣,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=2 时,求不等式 f(x) <g(x)的解集; (Ⅱ)设 a>-1,且当 x∈[- , )时,f(x) ≤g(x),求 a 的取值范围.

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