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广东省东莞市2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 文


广东省东莞市 2013-2014 学年高二数学上学期期末考试试题 文(扫 描版)新人教 A 版

1

2

东莞 2013—2014 学年度第一学期期末教学质量检查 高二文科数学(A 卷)参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4

B 5 B 6 D 7 B 8 D 9 B 10 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11. ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0
2

12. 1

13. 12

14.

n2 ? n 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.) 15.(本小题满分 12 分) 解:若 p 为真命题,则 ? ? (?a) ? 4a ? 0 ,
2

…………2 分 …………4 分
3

解得 a ? 0 或 a ? 4 .

若 q 为真命题,则 a ? 0 ;若 ?q 为真命题,则 a ? 0 ; ∵ p ? (?q ) 为真命题,∴ p 与 ?q 均为真命题, 即有 ?

…………6 分 …………8 分

? a ? 0或a ? 4, ? a ? 0.

…………10 分 …………12 分

∴ a ? 0或a ? 4 .

16.(本小题满分 12 分) 解: (1)由已知

sin C 2c sin C 2sin C 及正弦定理,得 , ………2 分 ? ? sin B cos A b sin B cos A sin B 1 …………4 分 ? cos A ? . 2
又? 0 ? A ? ? , ∴A? …………5 分 …………6 分

?
3

.

(2)? S ?

1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? c ? ? 3c ? 2 3 , 2 2 2
…………10 分 …………12 分

…………8 分

?c ? 2 .
? a ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 3 .

17.(本小题满分 14 分) 解:设每天生产 A 型桌子 x 张, B 型桌子 y 张,利润为 z 元, …………1 分

?x ? 2 y ? 8 ?3 x ? y ? 9 ? 则约束条件为 ? ① ? x ? 0, x ? N ? ? y ? 0, y ? N
目标函数为 z ? 2000 x ? 3000 y ,

…………4 分

y 9 3x+y=9 M(2,3) x+2y=8 o 3 x

…………6 分

不等式组①所表示的平面区域如右图中的阴影部分.……8 分

2 1 x? z, 3 3000 2 1 1 当直线 y ? ? x ? z 经过点 M 时,截距 z 最大,即 z 最大. 3 3000 3000
由 z ? 2000 x ? 3000 y 得: y ? ? 10 分

…………

4

由?

?x ? 2 y ? 8 ?x ? 2 ?? ,即 M 点的坐标为 (2,3) . ?3x ? y ? 9 ?y ? 3

………12 分

? z max ? 2 ? 2000 ? 3 ? 3000 ? 13000 .

…………13 分

答:每天应生产 A 型桌子 2 张, B 型桌子 3 张,才能获得最大利润,最大利润为 13000 元. ……14 分

18.(本小题满分 14 分) 解: (1)方法一

? a1 ? 3 ? k , ? 由题意,有 ? a1 ? a2 ? 9 ? k , ? a ? a ? a ? 27 ? k , 3 ? 1 2


…………1 分

? a1 ? 3 ? k , ? ? a2 ? 6, ? a ? 18. ? 3


…………2

又∵ ?a n ? 为等比数列,∴ a2 ? a1a3 ,即 36 ? 18(3? k ) ,解得 k ? ?1 ,
2

……4

分 ∴ Sn ? 3 ? 1 .
n



n ?1

时 …………5 分



a1 ? S1 ? 2 ,


n?2

时 …………6 分



an ? Sn ? Sn ?1 ? (3n ? 1) ? (3n ?1 ? 1) ? 2 ? 3n ?1 ,
显然, n ? 1 时也适合 an ? 2 ? 3 ∴ an ? 2 ? 3 方法二 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? k ;
n ?1 n ?1

, …………7 分

.

…………1 分

5

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (3 ? 1) ? (3
n

n ?1

? 1) ? 2 ? 3n ?1 .

…………3 分

∵数列 ?a n ?是等比数列,∴ 即

a2 ?3, a1

…………4 分

2?3 ? 3, 3? k
分 解得 k ? ?1 , ∴ an ? 2 ? 3
n ?1

…………5

…………6 分 .
n

…………7 分
n an?1 n ? (4 ? k )2 bn ,得 bn ? n , 2 2

(2)将 k ? ?1 及 an ?1 ? 2 ? 3 ,代入 分

…………9

Tn ?

1 2 3 n ① ? 2 ? 3 ? ... ? n 1 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? n?1 2 2 2 2 2 2


② 得
4

…………11 分 :



1 1 n Tn ? ? 2 ? ? ? ... ? n ? 3 n? 2 2 2 2 2 2 2 1 n ? 1 ? n ? n ?1 , 2 2 1 n n?2 ∴ Tn ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n . 2 2 2
19.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意,可设椭圆 C1 的方程为

1

…………12 分 …………13 分 …………14 分

1

1
1

y2 x2 ? 2 ? 1 ,抛物线 C 2 的方程为 x 2 ? 2 py . 2 a b


?

1 1 1 7 2a ? ( ? 0) 2 ? ( 3 ? 3 ) 2 ? ( ? 0) 2 ? ( 3 ? 3 ) 2 ? ? ? 4 2 2 2 2

? a ? 2 .………1 分
又? c ? 3 ,? b ?

a2 ? c2 ? 1,
…………2 分 …………3 分

?椭圆 C1 的方程为

y2 ? x2 ? 1. 4

?抛物线 C 2 的焦点到准线的距离为 2 ,? p ? 2 ,

6

?抛物线 C 2 的方程为 x 2 ? 4 y .
x x (2)①解:设 A( x1 , 1 ) , B ( x 2 , 2 ) . 4 4
由 x ? 4 y 得: y ?
2

…………4 分

2

2

1 2 1 x ,? y / ? x , 4 2
x12 x1 x x2 ? ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? 1 . 4 2 2 4
………

?过点 A 的切线 AQ 的方程为 y ?
5分

同 理 过 点 B 的 切 线 BQ 的 方 程 为 y ?

2 x2 x ? 2 ( x ? x2 ) , 即 4 2

y?

x2 x2 x? 2 . 2 4

…………6 分

于是得交点 Q(

x1 ? x2 x1 x2 , ). 2 4

…………7 分 ………8 分

?点 Q 恰好在准线 y ? ?1 上,? x1 x2 ? ?4 .
x1 x ? 2 4 = x1 ? x2 , ? 4 4 x1 ? x 2
x12 x1 ? x2 ? ( x ? x 1) , 4 4
2 2

又 k AB

所以直线 AB 的方程为 y ? 化简得 y ?

x1 ? x2 xx x ?x x ? 1 2 ,即 y ? 1 2 x ? 1 , 4 4 4
………10 分

…………9 分

所以直线 AB 过定点 (0,1) . ②? Q( 11 分

??? ? x ?x x2 ??? ? x ?x x 2 x1 ? x2 , ?1) , ? QA ? ( 1 2 , 1 ? 1) ,QB ? ( 2 1 , 2 ? 1) , 2 4 2 4 2

………

??? ? ??? ? ( x ? x2 ) 2 x2 x2 x2 x2 x x 所以 QA ? QB ? ? 1 ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 2 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 . …… 13 4 4 4 16 2


? QA ? QB ,即点 Q 在以线段 AB 为直径的圆上. ………14 分

20.(本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? x ? m .
3 2

∵函数有三个互不相同的零点,

7

∴ x ? x ? x ? m ? 0 即 m ? ?x ? x ? x 有 三 个 互 不 相 等 的 实 数
3 2

3

2

根.

…………1 分 令 g ( x) ? ? x ? x ? x ,则 g ?( x) ? ?3x ? 2 x ? 1 ? ?(3x ? 1)( x ? 1) .
3 2 2

1 ; 3 1 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1或x ? , …………2 分 3 1 1 ∴ g ( x) 在 (??, ?1) 和 ( , ??) 上均为减函数, 在 (?1, ) 上为增函数, …………3 3 3
令 g ?( x) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 分 ∴ ? g ( x) ?极小值 =g ( ?1) ? ?1 , …………4 分 …………5 分 …………6 分

1 5 )? , 3 27 5 ∴ m 的取值范围是 (?1, ) . 27

? g ( x)?极大值 =g (

(2)∵ f ?( x) ? 3x ? 2a x ? a ? 3( x ? )( x ? a) ,且 a ? 0 ,
2 2

a 3

…………7 分

∴当 x ? ?a 或 x ? 当 ?a ? x ?

a 时, f ?( x) ? 0 ; 3

a 时, f ?( x) ? 0 . 3
a 3

∴ 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (??, ?a) 和 ( , ??) , 单 调 递 减 区 间 为

a ( ? a, ) . 3

…………8 分

当 a ? [3, 6] 时,

a ? [1, 2] , ?a ? ?3 . 3
…………9

又 x ?[?1, 2] ,∴ f ( x) 的最大值为 f (?1) 和 f (2) 中的较大者. 分 ∵ f (?1) ? f (2) ? 3 a ? 3 a ? 9 ? 0 ,
2

∴ ? f ( x)?max ? f (?1) ? ?1 ? a ? a ? m .
2

…………10 分

要使得 f ( x) ? 1 对任意 x ?[?1, 2] 恒成立,
2 即 ? f ( x) ?max ? 1 ,亦即 ?1 ? a ? a ? m ? 1 ,

即当 a ? [3, 6] 时, m ? ?a ? a ? 2 恒成立.
2

…………12 分

8

∵ ?a ? a ? 2 在 a ? [3, 6] 上的最小值为 ?40 ,
2

…………13 分 …………14 分

∴ m 的取值范围是 (??, ?40] .

9


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