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几何概型中数学问题本质的把握


几何概型中实际问题数学化的本质
江阴市祝塘中学 姓名:黄水华 职称:中学二级 电话:15961683202 内容摘要:新教材中的几何概型对每个老师来讲都是新鲜的内容,要上好这节课,教师必 须悉心研究教材,了解教材内容体系,了解学生的兴趣爱好,身心发展水平,选择既贴近学生 的生活又紧扣教材知识内容的实际问题作为情境, 把数学问题生活化。 让学生经历运用符号和 图形描述现实世界的过程,经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程、经历运用数据描述 信息、作出推断的过程,其实最关键的是把握实际问题的本质,建立数学模型。这样学生才能 在数学学习中获得学习经验,真正地体会数学的思考,这才是真正有意义的教学。 关键词:几何概型、建模思想、创设情境、本质、数学化。 《高中数学新课程标准》与原《教学大纲》相比在概率内容上新增了“几何概型”这一节 内容。这不仅扩展了学生的认知领域而且增大了知识使用的范围,从知识的承接上看,几何概 型是在古典概型的基础上在对连续型变量的概率的求法进行探究, 这样就必须要从两种概型的 联系与区别的探究上,去启发引导学生观察、类比、分析、归纳、得出几何概型的本质和它的 概率的求法。让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程而获得新的认知和 学习经验。所以在教学过程中,如何引导学生去分析数学问题的本质及其运用是至关重要的。 笔者就自己的教学设计谈一谈具体的想法和做法。 一.对情境问题的探究,抓住几何概型的本质 (一)创设问题情境 提出问题: (1) 取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段绳子长度都不小 于 1 m 的概率。 B A (2)甲、乙两人玩转盘的游戏,规定当指针指向 B 区域 时,甲获胜, B 否则乙获胜, 求甲获胜的概率。 B (3)有一个长方体的空房间,屋顶上装了一个探测头, 探测头摄到的 A A 范围是一个圆锥区域, 现有一个不明悬浮物飞入该房 间,设它悬浮 在房间的每一个角落都是等可能的, 求该不明悬浮物 恰好被探测头 摄到的概率是多少? 分析问题: 考虑第一个问题:剪刀在 3 m 长的绳子上的任意位置剪断,由于剪刀下手的任意性,所 以绳子上的每个点都有可能是剪断点,又因为绳子上有无数多个点,所以事件发生的所有的 可能的结果有无数个,即有无数多个基本事件,并且每个基本事件的发生都是等可能的。 考虑第二个问题:在玩转盘游戏时,由于指针可以落在转盘内的任意一个位置,而且落 在每一个位置都是等可能的, 所以所有可能的结果即基本事件有无数个, 并且每个基本事件 的发生都是等可能的。 考虑第三个问题:由于不明悬浮物飞入该房间的方向、速度的任意性,所以空房间任意 一点都有可能是它停留的地方, 而一个空间中有无数多个点, 所以事件产生的结果即基本事 件有无数多个,并且每一个结果的产生都是等可能的。 这三个问题的共同点: (1)有无数多个基本事件 (2)每个基本事件的发生都是等可能 的,这与上一节我们学的古典概型的本质的区别在于:古典概型的基本事件有有限多个,而 这里基本事件有无限多个,共同点就是每个基本事件的发生都是等可能的。 根据上面的分析引入几何概型:对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为某个特 定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机试验的发

生则理解为恰好取到上述区域内某个指定区域中的点。这里的区域可以是线段、平面图形、 立体图形等等,用这种方法处理随机试验称为几何概型。 说明:这一环节我们要组织学生讨论,帮助学生理解有无数多个基本事件,并能找到指定 随机事件发生的区域。其实判断是否为几何概型的关键:是否具备两个特点:①基本事件有无 限多个,②基本事件的发生是等可能的。从而突破了古典概型中样本空间有限的局限性,从古 典概型到几何概型,是从有限到无限的延伸。 (二)建立数学模型 有了几何概型的数学模型, 那如何解决几何概型的概率问题呢?你能否猜想出上述三个问 题的概率? 在第一个问题中,把“剪得两段绳子都不小于 1”记为事件 A,把绳子三等分,于是当剪 断位置处在中间一段时,事件 A 发生,由于中间 一段的长度是 1 1 绳子长的 ,于是事件 A 发生的概率 P(A)= 。 1m 1m 1m 3 3 在第二个问题中,把“甲获胜”记为事件 B,由于指针落在圆内的任一区域都是等可能的, 而当指针落在区域 B 内时事件 B 发生。因为 B 区域的面积是整个圆面积的一半,所以 P(B) 1 = 。 2 在第三个问题中,记“该不明悬浮物恰好被探测头摄到”为事件 C,由于探测头所能摄到 的范围是一个圆锥区域,所以悬浮物如果落在圆锥区域内那么就会被探测头摄到,即事件 C 发生。 又因为悬浮物落入房间的每一个空间位置都是等可能的, 所以事件 C 发生的概率为圆锥 的体积与房间的体积之比。 根据以上问题的分析,得出几何概型的概率公式: 一般地,在几何区域 D 内随机地取一点,记“该点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A, 则事件 A 发生的概率为:
P ( A) = d的测度 D的测度

(D 的测度不为 0)

其中“测度”的意义依 D 确定,当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度” 分别是长度、面积和体积。 说明:根据以上例子,帮助学生探索规律,总结、概括、整理出几何概型概率公式。在这 里注重学生积极参与,通过观察、猜想、验证、推理与交流等数学活动形式对数学知识的理解 与掌握,并且分类讨论的思想方法的运用得到了淋漓尽致的发挥。学生要总结、概括、整理出 几何概型的概率公式,必须把握住落点区域,而由于不同的学生有不同的理解,所以教师要有 适当的引导。 (三)解释、应用 (1)射箭比赛的箭靶涂有五个得分环,从外向内是白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色。 金色靶心叫“黄心” 。奥运会比赛的靶面直径为 122cm,靶心直径为 12.2cm。运动员在 70m 外 射箭。假设射箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少? (2) 取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆, 随机向正方形 内丢一粒豆 子,求豆子落入圆内的概率。 (3)设 M(x,y)在区域 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1内均匀分布,试 ①点 M 落在区域 x ? y ? 4 上的概率 ②点 M 落在区域 x ? y ? 4 上的概率 求:

说明:及时练习、巩固、理解几何概型及它的概率计算公式。 (四)拓展、延伸 ? 有上面例题(2)可知:豆子落入圆内的概率是 P(A)= ,如果我们向正方形内撒 n 颗 4 m m 豆子, 其中落在圆内的豆子数为 m, 那么当 n 很大时, 频率 应接近于 P (A) , 于是有 P ( A) ? , n n m ? m ? ,所以 ? ? ? 4 。 即 n 4 n 这个实验我们可以用计算机来模拟,实验次数可以是几千次上万次甚至更大,n 越大,求出 ? 的值就越精确,由此我们可以近似地求出 ? 的值。 说明:1. 创设情境是上好课的基础。为了创设好的数学情境,教师必须悉心研究教材,了 解教材内容体系,了解学生的兴趣爱好,身心发展水平,选择既贴近学生的生活又紧扣教材知 识内容的实际问题作为情境。不仅重视建模过程,培养学生的建模能力,而且要突出数学问题 的本质,重视数学问题的发展过程。同时体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的 价值,增进对数学的理解和学好数学的信心。2.恰当地引导学生提出问题、理解问题和解决问 题,发展运用意识。在解决问题的过程中形成一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发 展实践能力与创新精神。 因此在上课前要事先预想学生可能会提出的问题以及可能提出的解决 方法,但也不能忽视学生的发散思维。如:本节课提出问题(2)中,学生可以理解为指针在 圆盘内所扫过的圆心角,用圆心角的度数去计算概率。除了这些问题外,学生还可能会提出一 些不是问题本质的问题,这就需要教师进行恰当引导。 总之,数学中有很多问题要重视对公式的意义的理解,培养学生的符号感和悟性;淡化过 分“形式化”和记忆的要求,重视在情境中去体验、理解有关知识;注重过程,提倡在学习过 程中学生的自主活动,培养发现规律、探求模式的能力; 二.数学知识学习目的在于解决实际生活问题,体现数学的价值 上述问题中隐藏的数学本质较浅显,学生很容易接受。这时,老师就要及时地创设应用的 情境给出更生活化的例子 例 1:甲、乙两人约定在 6 时到 7 时在某处会面,由于两人公事都比较繁忙,他们约定先 到者等候另一个人 10 分钟,到时即可离去,求两人能会面的概率。 思考:1.该问题与前面提出的问题有没有本质的联系? 2.该问题是不是属于几何概型的概率模型? 3.什么叫两人能会面?必须满足什么样的条件? 4.如何描述该问题中出现的几何区域? 分析: 由于甲、 乙两人到达的时刻都是任意 乙y 的,对于甲 来说,他可以在 6 时到 7 时的任意一个时刻到 达,可以产 7:00 生无数种结果,对于乙来说,他也可以在 6 时 到 7 时的任 50 意一个时刻到达,也可以产生无数种结果。所 以该题中存 40 在着两个连续型变量, 我们以 x,y 分别表示甲、 乙两人到达 30 的时刻。于是两人到达的时刻所有可能产生的 结果都可以 用二维坐标( x,y )来表示,且 0 ? x ? 60 ,
20 10

0 ? y ? 60,

所有的点 (x,y) 构成了一个正方形区域 (如图) , 6:00 10 20 30 40 50 7:00 由于两人到 甲x 达时刻的任意性,因此各点落入正方形区域都 是 等 可 能 的,与前面提出的问题相比本质上是一致的, 即都有无限 个等可能基本事件, 属于几何概型问题。 什么叫两人能会面?两人会面的条件是什么?当甲到 达约会地点后 10 分钟内乙到达了,就算两个人会面了,所以两人到达地点的时刻差必须满足

小于或等于 10 分钟,即 x ? y ? 10 ,把满足这个条件的所有的点在直角坐标系中描绘出来(与 高一所学的线性规划联系起来) ,如图中的阴影部分。记“两人会面”为事件 A,则事件 A 包 含了阴影部分所有的时刻点,所有的基本事件是正方形区域内所有的时刻点,所以
P( A) = 阴影部分面积 正方形的面积

说明:在这种较为复杂的实际问题中,解题的关键是建立模型,找出随机事件与所有基本 事件相对应的区域,把问题转化成几何概型问题,利用几何概型概率公式求解。 变题:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30 之间将报纸送到你家, 你父亲离开家去工作的时间在早上 7:00—8:00 之间,问你父亲离开家前能拿到报纸的概率 是多少? 分析:该问题与上例是否相同?相同点: 都有两个变 y 量,一个为送报人到达的时刻,设为 x,另一 个为爸爸离开 D C 家去工作的时刻,设为 y,不同点:x,y 的起 90 止时刻不同, 30 ? x ? 90 , 80 若 6: 30 为 0 时刻, 则 0 ? x ? 60 , 因此在直角坐 70 标系中画成 ABCD 正方形区域 (如图) , 点 (x,y) 落在正方形内 60 的任一位置都是等可能的。而父亲能拿到报纸相 当于父亲离开 50 家的时刻大于等于送报人到达的时刻 (若父亲 7:20 离开, 40 则送报人必须在 7: 20 之前将报纸送到, 父亲 才能拿得到报 纸)即: y ? x ,如图中的阴影部分区域。
30 20 A B

说明: 解决这道题的关键是辨别与上例的 10 区别与联系, 找到两个变量所扫过的区域范围, 寻求解题的 0 10 20 30 40 50 60 突破口。 x 这类问题在高中概率教学中非常常见, 它 具有很强的探 索性。 教师通过开放性的教学, 让学生在教师 的引导下,层 层拓展,步步深入地进行探究活动,运用几何概型的本质分析现实问题,这样可以开阔学生的 思路,掌握问题的研究方法,培养学生的创新精神和探索能力。 例 2: 某公安局用监听录音机记录了两犯罪嫌疑人的谈话, 发现 30min 长的磁带上, 从 2min 处起,有 10min 长的一段内容包含了两犯罪嫌疑人的信息。后来发现,这段谈话的一部分被某 工作人员无意擦掉了, 致使从此往后的内容都被擦掉了。 那么由于按错键使含有犯罪内容的谈 话被部分或全部擦掉的概率有多大? 分析:这位工作人员在录音机记录的过程中任意一个时刻都有可能按错键,若用线段来刻 画录音过程,则在线段上每一个点的地方都有 可能是按错键 2 10 的地方,所以有无穷多个等可能基本事件,属 于几何概型的 30 概率模型。 在前 2min 内任一时刻按错键将会把 犯罪嫌疑人的 信息全部擦掉, 在接下来的 10min 内任一时刻按错键将会把犯罪嫌疑人的部分信息擦掉。 我们 所要求的随机事件是“按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉” ,记为事件 A,则事 件 A 包含了前 2min 按错键以及接下来的 10min 按错键,所以事件 A 发生就表示前 12min 按错 12 2 = 。 键。因此事件 A 发生的概率 P(A)= 30 5 说明:几何概型并不是研究与几何有关的概率模型,从这两个例子也可以看出:几何概型 与几何没有直接的关系, 而是实际生活中的某些问题我们可以通过几何图形去合理的描述, 然 后用几何知识解决这个问题,所以把它称为几何概型。因此很多与实际生活有关的概率问题, 只要满足几何概型的两个特点,都可以用几何概型去刻画,关键是找出实际问题的本质。

总之, 高中数学课堂教学中往往要通过设计好的知识情境来启发学生发现数学、 了解数学、 掌握数学;帮助学生用观察、模仿、实验、猜想等手段收集材料,获得体验,并作类比、分析、 归纳,渐渐形成自己的数学知识;帮助学生在学习过程中发现问题、提出问题、分析问题、解 决问题,从而获得新的学习经验。 《课程标准》明确指出:学生的数学学习内容应当是真实的、 有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理 与交流等数学活动。 并指出课堂教学要运用 “创设问题情境——建立数学模型——解释、 运用、 拓展”模式开展教学。这就需要教师善于设计生活情境,合理导入数学知识,抓住本质,然后 运用所学知识解决实际问题,让学生真切地感受到数学课堂的生活化。


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