当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学方程的根与函数的零点课件


第三章
函数的应用

第三章
3.1 函数与方程

第三章
3.1.1 方程的根与函数的零点

课前自主预习

名师辩误做答 方法警示探究

思路方法技巧

基础巩固训练

探索延拓创新

/>能力强化提升

课前自主预习

温故知新
x1=-1,x2=3 ;函数 1.方程 x2-2x-3=0 的根为_________________

(-1,0),(3,0) . y=x2-2x-3 与 x 轴的交点为______________ x=2 ,顶点坐标为 2.函数 y=2x2-8x+1 的对称轴为_______ (2,-7) . _____________

新课引入 二次函数是我们很熟悉的一类函数,以前我们曾研究过 其图象与性质,请大家画几个函数的图象(画草图即可):(1)y =x2-2x-3;(2)y=x2-2x+1;(3)y=x2-2x+3. 画完以后,请说出你能知道的知识.如果我们把二次函 数与其相关的方程:x2-2x-3=0,x2-2x+1=0,x2-2x+3 =0 放在一起观察, 又会有什么发现呢?你能再找几个函数与 相应的方程看看我们的想法是否正确吗?

自主预习 问题 1:观察下列三个函数图象,如下图.

(1)y=x2-2x-3 与 x 轴有 2 个交点. (2)y=x2-2x+1 与 x 轴有一个交点.(3)y=x2-2x+3 与 x 轴没有交点,对此 x2- 2x-3=0,x2-2x+1=0,x2-2x+3=0 三个方程的解,你会 有什么发现呢?

探究: (1)容易知道函数 y=x2-2x-3 与 x 轴有两个交点, 方程 x2-2x-3=0 有两个实根,交点坐标为(-1,0)、(3,0), 方程的根为 x1=-1,x2=3.会发现:交点的横坐标与方程的 根数值相同. (2)函数 y=x2-2x+1 与 x 轴有一个交点,坐标为(1,0), 方程 x2-2x+1=0 有两等根为 x=1. (3)函数 y=x2-2x+3 与 x 轴没有交点,方程没有实根.

观察可知,二次函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标恰好是相 应方程 f(x)=0 的根,这种关系对一般的一元二次函数与其相 应的方程之间的情况也成立, 即方程 ax2+bx+c=0 的实根就 是 f(x)=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标. 总结:对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点.

【归纳提升】

(1)函数的零点是数值,不是点的坐标,

要区分清楚函数的零点与函数图象与 x 轴的交点是两回事. (2)方程 f(x)=0 有实根?函数 y=f(x)与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)求函数 y=f(x)的零点就是令 f(x)=0 求方程的实根.

问题 2: 再观察函数 y=x2-2x-3 的图象, 由问题 1 的探 究知道,其存在两个零点 x=-1 和 x=3,观察两个零点周围 的函数值有什么变化,写出你的发现,你能再举个例子验证 一下吗?

探究:对于零点 x=-1 来说,其左侧附近的函数值大于 零,比如 f(-2)>0;其右侧附近的函数值小于零,比如 f(0)<0, 于是我们发现,只要零点 x0 在区间(a,b)上,就有 f(a)· f(b)<0. 我们对另一个零点 x=3,也取其附近的区间来研究,发现有 同样的规律. 反过来, 只要我们取的区间(a, b), 有 f(a)· f(b)<0, 那么函数在(a,b)上一定有零点.

总结:一般地,如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续的,并且有 f(a)· f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内 有零点,即存在 c 使 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的实 根.

【归纳提升】

(1)这个定理是告诉我们一种寻找零点的

方法,我们只要探求出一个区间[a,b],使 f(a)· f(b)<0,则其 一定在此区间(a,b)内有零点.反之则不一定成立.

(2)这个定理只告诉我们,存在 c∈(a,b),使 f(c)=0,即 c 是函数的零点,但没有告诉我们有几个.事实上,如右图所 示,我们知道 f(a)· f(b)<0,在区间(a,b)上有 3 个零点.

通过以上所学,完成下列练习. 1.求下列函数的零点: (1)f(x)=3x+2; (2)f(x)=x2-3x-4; (3)f(x)=log2x.

[解析]

2 (1)令 f(x)=0,即 3x+2=0,∴x=- . 3

2 ∴f(x)=3x+2 的零点是-3. (2)令 f(x)=x2-3x-4=0,得 x1=4,x2=-1. ∴f(x)=x2-3x-4 的零点是 4,-1. (3)令 f(x)=log2x=0,得 x=1, ∴f(x)=log2x 的零点为 1.

1 2.判断下列方程在区间( ,8)上是否存在实数解并说明 2 2 理由:(1) x+2x=0;(2)log2x+3x-2=0.

[解析]

2 1 (1)f(x)= +2x,f( )=5>0, x 2

65 2 1 f(8)= 4 >0,且 f(x)= x+2x 在(2,8)上恒大于零, 1 所以该方程为(2,8)上不存在实数解. 1 3 (2)f(x)=log2x+3x-2,f( )=- <0,f(8)=25>0,且 f(x) 2 2 1 1 在(2,8)上连续,所以该方程在(2,8)上有实数解.

1

求函数的零点

学法指导: 1.正确理解函数的零点: (1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值 等于零. (2)根据函数零点定义可知,函数 f(x)的零点就是 f(x)=0 的 根,因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方 程 f(x)=0 是否有实根,有几个实根.即函数 y=f(x)的零点?方 程 f(x)=0 的实根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标.

2.函数零点的求法: (1)代数法:求方程 f(x)=0 的实数根. (2)几何法:与函数 y=f(x)的图象联系起来,图象与 x 轴 的交点的横坐标即为函数的零点.

[例 1]

求下列函数的零点.

(1)f(x)=4x-3; (2)f(x)=x2-3x+2; (3)f(x)=2x; (4)f(x)=log2(x+1). [分析] 根据函数零点的定义, 令 y=0, 解出定义域内的

x 就是零点.

[解析]

函数零点就是相应方程的实数根, 可用求根公式

或分解因式求解. 3 3 (1)由 4x-3=0 得 x= ,零点是 . 4 4 (2)f(x)=0,即(x-1)(x-2)=0, ∴f(x)零点为 1 和 2. (3)函数 y=2x 没有零点. (4)函数 y=log2(x+1)的零点是 x=0.

规律总结:函数 y=f(x)的零点、方程 f(x)=0 的实数根、 函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标,实质是同一个问题 的三种不同表现形式,方程 f(x)=0 实数根的个数就是函数 y =f(x)的零点的个数,亦即函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的个 数.

(1)指出下列函数的零点: ①f(x)=x2-2x-3 零点为________. ②g(x)=lgx+2 零点为________. (2)已知-1 和 4 是函数 f(x)=ax2+bx-4 的零点,则 f(1) =________.
1 [答案] (1)①3,-1 ② (2)-6 100

[解析]

(1)①f(x)=(x-3)(x+1)的零点为 3 和-1,

1 ②由 lgx+2=0 得,lgx=-2,∴x=100. 1 故 g(x)的零点为 . 100
? ?f?-1?=0 (2)由条件知? ? ?f?4?=0 ? ?a=1 ∴? ? ?b=-3 ? ?a-b-4=0 ,∴? ? ?16a+4b-4=0



,∴f(1)=a+b-4=-6.

2

判断函数零点所在的区间

学法指导:判断函数零点所在区间的方法 一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代 入函数求出函数的值,进行符号判断即可得出结论.此类问 题的难点往往是函数值符号的判断,可运用函数的有关性质 进行判断.

[例 2] 个区间是(

(2010· 天津)函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一 ) B.(-1,0) D.(1,2) 函数零点附近函数值的符号相反,可据此求解.

A.(-2,-1) C.(0,1) [分析]

方程 lgx+x=0 的根所在的区间可能是( A.(-∞,0) C.(1,2)
[答案] B

)

B.(0,1) D.(2,4)

[解析]

由于 lgx 有意义,所以 x>0.令 f(x)=lgx+x,显然

f(x)在定义域内为增函数,又 f(0.1)=-0.9<0,f(1)=1>0,故 f(x)在区间(0.1,1)内有零点,故选 B.

探索延拓创新

3

函数零点个数的判断

学法指导:判断函数零点个数的主要方法: (1)利用方程根, 转化为解方程, 有几个根就有几个零点. (2)画出函数 y=f(x)的图象,判定它与 x 轴的交点个数, 从而判定零点的个数. (3)结合单调性,利用 f(a)· f(b)<0,可判定 y=f(x)在(a, b)上零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点问题.

[例 3] [分析]

求函数 f(x)=2x+lg(x+1)-2 的零点个数.

? 函数单 结合函数零点存在性判定定 ?— 调性 — 理,判断零点存在性及个数 ? 一题多解 —? 观察函数图象判 ?— 图象法 — 断方程根的个数 ?

[解析]

解法一:因为 f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+

lg3-2≈2.48>0,所以由函数零点存在性判定定理知,f(x)在 (0,2)上必定存在零点. 又 f(x)=2x+lg(x+1)-2 在(-1, +∞)上为增函数, 故 f(x) =0 有且只有一个实根,即函数 f(x)仅有一个零点.

解法二:在同一坐标系中作出 h(x)=2-2x 和 g(x)=lg(x +1)的图象,如图所示,由图象可知 h(x)=2-2x 和 g(x)=lg(x +1)有且只有一个交点,即 f(x)=2x+lg(x+1)-2 与 x 轴有且 只有一个交点,即函数 f(x)仅有一个零点.

判断函数 f(x)=x-3+lnx 的零点的个数.

[解析]

解法一:在同一平面直角坐标系中画出函数 y=

lnx,y=-x+3 的图象,如下图所示.

由图可知函数 y=lnx,y=-x+3 的图象只有一个交点, 即函数 f(x)=x-3+lnx 只有一个零点.

2 解法二:因为 f(3)=ln3>0,f(2)=-1+ln2=lne<0,所以 f(3)· f(2)<0,说明函数 f(x)=x-3+lnx 在区间(2,3)内有零点. 又 f(x)=x-3+lnx 在(0,+∞)内是增函数,所以原函数 只有一个零点.

1.混淆了零点与点的概念 [例 5] [错解] 函数 f(x)=x2-5x+6 的零点是________. (2,0),(3,0)

由题意,得 x2-5x+6=0,∴x=2,x=3, ∴函数的零点是(2,0)和(3,0).

[错因分析] 该解法中混淆了零点与点的概念. [思路分析] 零点不是一个点,而是函数图象与 x 轴交点 的横坐标,零点是一值.

[正解]

2、3

由题意,得 x2-5x+6=0,解得 x=2 或 x=3, ∴函数的零点是 2,3.

2.判断零点个数时出现逻辑错误 [例 6] [错解] 求函数 f(x)=x2-5x+6 在[1,4]上的零点个数. 错解一:由题意,得 f(1)=2>0,f(4)=2>0,因此

函数 f(x)=x2-5x+6 在[1,4]上没有零点,即零点个数是 0. 错解二:∵f(1)=2>0,f(2.5)=-0.25<0,∴函数在(1,2.5) 内有一个零点; 又∵f(4)=2>0,f(2.5)=-0.25<0,∴函数在(2.5,4)内有 一个零点, ∴函数在[1,4]上有两个零点.

[错因分析] 对于错解一,是错误地类比零点存在定理, f(a)· f(b)>0 时,(a,b)中的零点情况是不确定的,而错解二出 现了逻辑错误,当 f(a)· f(b)<0 时,(a,b)中存在零点,但个数 不确定. [思路分析] 要想准确地判断函数零点的个数, 要么把它 们全部求出来,要么利用函数图象来判断,这才是正确的方 法.

[正解]

由题意,得 x2-5x+6=0,

∴x=2,x=3, ∴函数的零点是 2,3 ∴函数在[1,4]上的零点的个数是 2.

1.下列函数的图象中没有零点的是(

)

[答案]

D

[解析] 点,故选 D.

从图中观察知, 只有 D 中函数图象与 x 轴没有交

[规律总结] 根据函数零点的概念,函数有零点,即函数 的图象与 x 轴有交点. 函数图象与 x 轴有几个交点, 函数就有 几个零点.

2.函数 f(x)=2x2-5x+2 的零点个数是( A.0 C.2 B.1 D.不确定

)

[答案] C

[解析] 故选 C.

1 2x -5x+2=0 即(x-2)(2x-1)=0,∴x=2 或 , 2
2

3.(2012~2013 河北广平县一中期中试题)函数 f(x)=lnx 2 -x的零点所在的大致区间是( A.(1,2) C.(3,4) B.(2,3) D.(e,3) )

[答案] B

[解析]

将各选项中区间的左右端点分别代入 f(x)=lnx-

2 f(b)<0. x,看其是否满足 f(a)· 2 ∵f(2)=ln2-1<0, f(3)=ln3- >0, ∴f(2)· f(3)<0, ∴f(x) 3 在(2,3)内有零点,故选 B.

[规律总结] 这是一类非常基础且常见的问题, 考查的是 函数零点的判定方法,一般而言只需将区间端点代入函数求 出函数的值,进行符号判断即可得出结论.这类问题的难点 往往是函数值符号的判断,可运用函数的有关性质进行判断.

4.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a、c 异号,则函 数的零点个数是( A.0 C.2
[答案] C

) B.1 D.不确定

[解析]

∵方程 ax2+bx+c=0 的判别式 Δ=b2-4ac,a、

c 异号,∴ac<0,∴b2-4ac>0,故方程有 2 个互异实根.∴ 函数有 2 个零点.

5.在区间[3,5]上有零点的函数是( A.f(x)=2xln(x-2)-3 C.f(x)=2 -4
[答案] A
x

)

B.f(x)=-x3-2x+5 1 D.f(x)=- +2 x

[解析] 是否成立.

把 3,5 这两个端点值代入选项函数, 看 f(3)· f(5)<0

6.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一 个根所在的最小区间为________. x ex x+2 -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

[答案]

(1,2)

[解析]

令 f(x)=ex-x-2,由表格中数据知 f(-1)=0.37

-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28 <0,f(2)=7.39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,由 于 f(1)· f(2)<0,所以根所在的最小区间为(1,2). [技巧点拨] 解题的关键是 ex 与 x+2 的差的符号,构造 函数 f(x)=ex-x-2,将求方程 ex-x-2=0 的根所在的区间 转化为求函数的零点问题,通过函数零点的判定使问题获解.

7.若方程 ax2-x-1=0 在(0,1)内有解,则 a 的取值范围 为________.

[答案]

a>2

[解析]

方程在(0,1)内有解,即函数 f(x)=ax2-x-1 在

(0,1)内有零点,故解 f(0)· f(1)<0,求出 a 即可. 由 ax2-x-1=0 在(0,1)内有解,即函数 f(x)=ax2-x-1 在(0,1)内有零点,故 f(0)· f(1)<0,即-1×(a-2)<0,解得 a>2.

8.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. x+3 (1)f(x)= x ; (2)f(x)=x2+2x+4; (3)f(x)=2x-3; (4)f(x)=1-log3x. [分析] 分别令各个解析式等于 0,根据方程是否有根来

确定函数的零点.

[解析]

x+3 x+3 (1)令 x =0, 解得 x=-3, 所以函数 f(x)= x

的零点是-3. (2)令 x2+2x+4=0,由于 Δ=22-4×1×4=-12<0, 所以方程 x2+2x+4=0 无实数根, 所以函数 f(x)=x2+2x+4 不存在零点. (3)令 2x-3=0,解得 x=log23, 所以函数 f(x)=2x-3 的零点是 log23. (4)令 1-log3x=0,解得 x=3, 所以函数 f(x)=1-log3x 的零点是 3.


相关文章:
《方程的根与函数的零点》教学设计
搜试试 2 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 高中教育 数学方程的根与函数的零点》教学设计_数学_高中教育_教育专区...
人教A版高中数学必修一《方程的根与函数的零点》教学设计
人教A版高中数学必修一《方程的根与函数的零点》教学设计_数学_高中教育_教育专区...教具准备:直尺 Powerpoint 2003 课件 几何画板 4.07 课件 学具准备:计算器 ...
方程的根与函数的零点
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...方程的根与函数的零点_高一数学_数学_高中教育_教育专区。《方程的根与函数的...
《方程的根与函数的零点》教学设计
方程的根与函数的零点》教学设计_数学_高中教育_教育专区。《方程的根与函数...教学难点:探究发现函数零点的存在性。 五、[教学媒体运用]:多媒体辅助教学课件 ...
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点_数学_高中教育_教育专区。第三章一、课程要求 函数的应用...因此,教师要积极开发多 媒体教学课件,提高课堂教学效率. 4.教材安排了“阅读与...
2013-2014学年高中数学 方程的根与函数的零点
搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...方程的根与函数的零点 1. 函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是 A.(...
方程的根与函数的零点
搜试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...3.1.1 方程的根与函数的零点授课人: 周娟娟 教学目标 1、知识与技能目标 理解...
必修1.3.1.1方程的根与函数的零点
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点一、 【学习目标】 ⒈知识与技能: ...
教学案例《方程的根与函数的零点》
搜试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 高中...教学案例《方程的根与函数的零点》_数学_高中教育_教育专区。《方程的根与函数...
更多相关标签:
方程的根与函数的零点 | 方程的根和函数的零点 | 方程根与函数零点视频 | 函数零点课件 | 方程的根和零点的概念 | 方程零点 | 函数方程与零点 | 函数零点与方程根ppt |