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高中数学解题思想方法技巧


数学破题 36 计

第 36 计 思想开门 人数灵通?

●计名释义?
为什么要学数学?难道仅仅是为了那几个公式、那几项法则、那几条定理?学过数学的人,到后来多数把那些具体的 公式、法则和定理忘得一干二净,这岂不是说,他们的数学白白学了?? 所谓“数学使人聪明” ,就是学过数学的人们,看待问题和解决问题时有一种优质的、高品位的思

想. 这种思想,它来 自数学公式、法则和定理的学习过程,但它一旦形成了思想,就可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结 合,形成人的自觉行为活动.? 中学数学可以形成的思想(方法) ,公认的有七种,这七种思想首先要与人的灵性融合,反 过来,在解决数学问题时,又能使数学问题也具有灵性,从而达到人与数的沟通、实现“人数合一”的思想境界.??

●典例示范?
【例 1】 有一个任意的三角形 ABC(材料) ,计划拿它制造一个 直三棱柱形的盒子(有盒盖) ,怎样设计尺寸(用虚线表示) , 才能不浪费材料(图右上)?? 例1图 【思考】 “任意”三角形属一般情况, 它的对立面是“特殊”的三角形. 我们先从正三角形考虑起. 假设这个尺寸如图(1)所示.? (1)三棱柱的底面 A1B1C1 的 中心 G 为原三角形的中心.? (2)柱体的三侧面是三个矩形, 矩形的长与底面△A1B1C1 的边长对应相等.? (3)柱体的上底面(盒盖)由 三个四边形拼合,拼成后的三角形与 A1B1C1 全等.? 例 1 题解图(1) 经过以上思考,底面小三角形的三个顶点,如 C1,它应满足两个条件:其一,C1 是 GC 的中点;其二,C1 到∠C 两边的距 离相等,? 因此它在∠C 的平分线上.于是在一般的情况下,点 G 应是△ABC 的内心.? 【解答】 作△ABC 的∠A 和∠B 的 平分线相交于内心 G,如图(2)所示.? 分别作 GA、GB、GC 的中点 A1、B1、C1. △A1B1C1 为直三棱柱的一个底面.? 过 A1,B1,C1 三点分别作对应边 的垂线(段) ,所得矩形为柱体的三个侧面.? 经过以上截取后,原△ABC 三个顶点 处所余下的三个四边形拼在一起, 作为柱体的另一个底面(盒盖).? 例 1 题解图(2) 【点评】 本题的设问,只要求讲出“设计操作” ,形式上“不讲道理”.实质上,人的操作是受思想支配的,因此,本质 上是在考“思想”.本解法在探索过程中为找到三角形的内心,运用的就是数学上七大基本思想之一——特殊一般思想.?? 【例 2】 校明星篮球队就要组建了,需要在各班选拔预备队员,规定投篮成绩 A 级的可作为入围选手.选拔过程中每人最 多投篮 5 次,若投中了 3 次则确定为 B 级,若投中 4 次以上则可确定为 A 级,已知高三(1)班阿明每次投篮投中的概率是

1 .? 2
(1)求阿明投篮 4 次才被确定为 B 级的概率;? (2)若连续两次投篮不中则停止投篮,求阿明不能入围的概率.? 【解答】 (1)求阿明投篮 4 次才被确定为 B 级的概率,即求前 3 次中恰有 2 次投中且第 4 次必投中的概率,其概率为

P=C23· (

1 2 1 1 3 )· · = .? 2 2 2 16 1 5 3 )= ;? 2 16 1 ) 2

(2)若连续两次投篮不中则停止投篮,阿明不能入围,该事件可分为下列几类:? ①5 次投中 3 次,有 C24 种可能投球方式,其概率为:P(3)=C24· (

②投中 2 次,其分别有“中中否否” 、 “中否中否否” 、 “否中中否否” 、 “否中否中否”4 类投球方式,其概率为:P(2)=(
4

+3· (

1 5 5 )= ;? 2 32 1 3 1 3 ) +( )4= ;? 2 2 16 1 2 1 ) = ,? 2 4

③投中 1 次,其分别有“中否否” 、 “否中否否”2 类投球方式,? 其概率为:P(1)=(

④投中 0 次,其仅有“否否”一种投球方式,其概率为:P(1)=( ∴P=P(3)+P(2)+P(1)+P(0)= 【点评】

3 5 3 1 25 + + + = .? 16 32 16 4 32

本题是以考生喜闻乐见的体育运动为背景的一种概率应用题,考查或然和必然的思想.??

●对应训练?
1.函数 y=lg ?1 ? ? A.{x|x<0} 2.下面的数表? ?

? ?

1? ? 的定义域是: x?
B.{x|x>1} C.{x|0<x<1}

(

)?

D.{x|x<0 或 x>1}?

1=1 3+5=8 7+9+11=27 ? 13+15+17+19=64 ? 21+23+25+27+29=125 ? 所暗示的一般规律是

.??

●参考答案?
1.? D ? 利用特殊值.x= -1,2 时,函数有意义,排除? A、B ?,x=

1 时,函数无意义,排除? C ?.? 2

2.(n2-n+1)+(n2-n+3)+?+[n2-n+(2n-1)]= n3 ? 设第 n 行左边第一个数为 an,则 a1=1,a2=3,an+1=an+2n. 叠加得 an=n2-n+1,而第 n 行等式左边是 n 个奇数的和,故第 n 行 所暗示的一般规律是 (n2-n+1)+(n2-n+3)+?+[n2-n+(2n-1)]=n3.? 【点评】 数表问题由来已久,常作为高考数列开放性探索题.由高中的数学竞赛到高考中的杨辉三角问题研究,此类问题 走势也在增强.由已知的有限条件探讨到无限的规律中去.?


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