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4.5(2)反函数的概念


(二期课改)

*1.回顾与简述: ----反函数的概念; ----反函数的具体求法; ----互为反函数的图象间的对称性. *2.理解与感悟: ----反函数存在的前提条件; ----互为反函数的定义域与值域之间的对应 关系.

, *1.反函数 的定义: ----对于函数 y ? f (x) x ? D,y ? A.
如果

对A中任意一个y的值,在D中总有唯一确定的x的 值与它对应,使得 y ? f (x) . ----这样得到的一个 x 关于 y 的函数 就叫做:

y ? f (x) 的反函数.

*记作: x ? f ?1(y) .

*由于习惯,一般可改写为: y ? f ?1(x)(x ? A) , .

--《例 题 解 析》--

*例题1:探求下列函数的反函数.

(1). ? x2 ? 4x ? 7 x ? 2) (2). ? x ? 1 ? 1. y ( ; y
*感悟:

①探求反函数时应注意,要根据原函数的定义域确定 其反函数的解析式----(唯一性); ②求反函数时必须标明其定义域.且反函数的定义域 其实就是原函数的值域,可利用函数图像数形结合 求得,也可直接利用原函数的解析式求得.

*例题2:已知 f( x) ? *感悟:

1 ,试求: f -1( - 1 ). ( x ? ?1) 2 1? x 3

①利用函数图像求此反函数的定义域比较困难,应注意 灵活选择其探求的具体方法:-直接利用函数解析式; ②本例也可直接利用反函数的定义求解.

1 f (- ) 的值 3
-1

--其实就是 f(x) ? ?

1 所对应的x的值. 3

x?5 *例题3:已知函数 y ? 的图像关于直线 y=x 对称,求 2x ? m 实数 m 的值.

*感悟: ①理解题意,可得原函数与它的反函数是同一个函数, 故可通过求其反函数确定m的值. ②本例也可利用原函数图像的对称性,找到函数图像上 的某个点及其对称点进行求解.(如:点A(5,0)---点 A′(0,5)都在函数图像上),从而确定出m的值.

*例题4: 已知函数 f(x) ?

y = f-1(x+1) 的图像关于直线 y=x 对称,试计算: g(2)的值.

1 ? 2x 函数g(x)的图像与函数 , 1? x

*感悟: ①解决问题的前提是正确理解题意,然后按顺序分步求

出所求的反函数的解析式,最后代入计算求值.
②互为反函数的图像关于直线 y = x 对称;其逆命题也 成立.

*例题5: 试探求出函数 y ?

3x ? 4 的值域. 2x ? 3

*感悟:

当探求一个函数的值域比较困难时,可利用互为反

函数的定义域与值域间的对应关系求解.通过探求反函
数的定义域得出原函数的值域,这是探求一个函数的值

域的又一常用方法.

*例题6: 已知函数 f(x) ?(

x ?1 2 ,f-1(x)是f(x)的反 ) , x ? 1) ( x ?1 1 函数.若记: g(x) ? ?1 ? x ? 2. f (x)
(1)求: f-1(x);

(2)判断 f-1(x)的单调性;
(3)试求g(x)的最小值.

①本题中探求f-1(x)的定义域比较复杂,应注意其分步探求 的具体方法;

②反函数f-1(x)的单调性既可直接加以判断,也可通过判断 原函数的单调性间接得出结论. ----互为反函数的单调

性一致;

③利用构造法结合基本不等式(2)就可求得函数的最值.

*请你谈谈通过本节课学习后的收获与体会*

*练习册P4习题4.5(B): *导学P7单元练习: 1,2,3,4,5,6,7,8.9,10,11

1,2,3,4,5.

*1.试求出下列函数的反函数.

x?2 ; (2). ? x ? 2 ? 1 y ; 2x ? 1 (3). ? x 2 ? 2x ? 5, x ? ?1) (4). ? 3 x ? 1. y ( ; y ax ? b (a,b,c是常数)的反函数为: *2.已知 f(x) ? x?c 2x ? 5 ,那么-----------------( -1 ) f (x) ? x?3 (A)a=3,b=5,c=-2;(B)a=3,b=-2,c=5; (1). ? y
(C)a=2,b=3,c=5; (D)a=2,b=-5,c=3.

1 - 2x *3.已知函数 f(x) ? ,函数g(x)的图像与函数y=f-1(x+1) 1? x 的图像关于直线 y=x 对称,则g(2)等于----------( ) 5 1 (A) ? ;(B) -2 ; (C) -1 ; (D) ? . 4 4

*4. y ? a ? x ? a, x ? a)的反函数是-------( (

).

(A).y ?(x ? a)2 ? a, ? a); (x (B).y ?(x ? a)2 ? a, ? a); (x (C).y ?(x ? a)2 ? a, ? a); (x (D).y ?(x ? a)2 ? a, ? a). (x
*5.已知 f(x) ?
2x ,试求 f- 1?f x) 和 f f- 1 x). ( ? ( 3x ? 1

?

?

*6.直线y=ax+2与y=3x-b关于y=x对称,求a.b的值.

1 *7.已知f(x)=x , g(x) ? ? x ? 5,g-1(x)是g(x)的反函数,设 2
2

F(x)? f g ?1(x) - g -1 ?f(x)? ,求F(x)的最小值.

?

?


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