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第四章 矩阵的特征值(3)总19


复习

1.相似矩阵及其性质

(1)传递性:若A~B,B~C,则A~C

( 2) A ~ B, 则A ~ B (其中 k 是正整数)
k k

(3)若A~B , ?(A)是关于A 的多项式, 则 ? ( A) ~ ? ( B)
(4)相似矩阵有相同的特征多项式和相同的特征值. (5) 相似矩阵有相同的秩. (6)相似矩阵的行列式相等.

(7)相似矩阵或都可逆,或都不可逆;
当它们可逆时,它们的逆也相似.

2. n阶矩阵与对角矩阵相似的条件

(1) n阶矩阵A与n阶对角矩阵 相似 ? ? 矩阵A有n个线性无关的特征向量 .
(2) 如果n 阶矩阵A 的n 个特征根互不相同, 则A 与对角矩阵相似.

( 3)n阶矩阵 A与对角矩阵相似 ? 对于每一个 ni 重特征值, 矩阵?i I ? A的秩是 n ? ni
3. 化n阶矩阵为对角矩阵的步骤

第三节 实对称矩阵的特征值 和特征向量(一)
向量的内积 正交向量组

正交矩阵

一、向量的内积及其性质
定义4.5

? a1 ? ? b1 ? ? ? ? ? n 在R 中, 设 向 量 ? ? ? ?,? ? ? ? ?; ? ? ? ? ? ?a ? ?b ? ? n? ? n? 则实数

?a b
i ?1 i

n

i

称 为 向 量 和? 的 内 积 ? .

记 作 : T ? 或 (? , ? ) ? 即 : ? T ? ? ? a i bi .
i ?1 n

注意 (1)按矩阵乘法有: (? , ? ) ? ? T ? (2)内积就是几何向量的数量积之推广。

?1 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 2? ?2 ? ? , 求? T ? 例 : ? ? ?, ? ? ? ? ? 3? ?3 ? ? ? ? ? 4? ?1 ? ? ? ? ? ?

内积具有下列运算性质:

(1) ? ? ? ? ?
T T

(对称性) (线性性)

(2) (k? ) ? ? k? ?
T T

(3) (? ? ? ) ? ? ? ? ? ? ?
T T T

(4) ? T? ? 0 (其中等号当且仅当 0时成立 ?= )
(正定性)

二、向量的长度(范数)
定义4.6 对R 中的向量? ? (a1 , ? , a n ) ,
n T 2 2 2 记 ? ? ? T ? ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,

(或模,或范数) 称 ? 为向量? 的长度.

长度为1的向量称为单位向量 . 对于R 中的任一非零向量 , 向量 ?
n

1

?

?是一个

单位向量.

? ? (2,1,3,2)T 的长度为: 例如 4维向量

? ? 22 ? 12 ? 32 ? 22 ? 18 ? 3 2
? 2 2 2 2 T ?( , , , ) 而向量 ? 3 6 2 3

为单位向量

用向量? ( ? 0)的长度去除向量? , 得到 一个单位向量, 称为把? 单位化.

向量的长度有下述性质:
? (1)非负性:? ? 0;当且仅当 ? 0时, ? ? 0.
(2)齐次性: ?? ? ? ?
(3)三角不等式: ? ? ? ? ? ? ? (4)柯西-布涅柯夫斯基不等式:

? ? ? ? ??
T

式中的等号仅当向量

? , ? 线性相关时才成立.

三、正交向量组
? 定义4.7 如 果 两 个 向 量 、? 的 内 积 等 于 零 ,
即:

? ? ?0
T

则 称 向 量 与 ? 互 相 正 交垂 直) ? (
例1.零向量与任意向量正交.

?1 ? ?0 ? ? 0? ? ? ? ? ? ? 例2. ? 1 ? ? 0 ?, ? 2 ? ? 1 ?, ? 3 ? ? 1 ?, ? 0? ? ? 1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 证明该向量组两两正交

例3、R 中 的 单 位 向 量 组1,? 2, ,? n ? ?
n

是两两正交的。

定义4.8 如 果R 中 的 非 零 向 量 组
n

? 1,? 2, ,? s 两 两 正 交 , ?
即 :? i ? j ? 0( i ? j , i , j ? 1,2,? , s )
T

则 称 该 向 量 组 是 正 交量 组 向

定理4.9

R 中 的正交向量组必线性无关
使?1? 1 ? ?2? 2 ? ... ? ?m? m ? 0
T 1

n

? 证明 设有?1,?2, ?m
T 1

以? 左乘上式两端,得 ?1? ? 1 ? 0

因? 1 ? 0, 故? ? 1 ? ? 1
T 1

2

? 0,从而?1 ? 0。

? 类似可证 ? 2 ? 0, ? m ? 0,
于是 ?1 , ? 2 ,...,? m 线性无关。

注意

无关向量组未必是正交向量组.

如: ? 1? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ?, ? 2 ? ? 1 ?, ? 3 ? ? 0 ? 无 关 但 不 正 交 . ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 0? ? 0? ? ? ? ? ? ?

四、施密特正交化方法
如 果 已 知 中 的 向 量 组 1 , ? 2 ,? , ? s R ?
n

线 性 无 关 , 则 必 可 生正 交 向 量 组 成

? 1 , ? 2 ,? , ? s , 并 且 两 个 向 量 组 可 相 互
线性表示。

由 一 个 线 性 无 关 向 量生 成 满 组 足 上 述 性 质 的 正 交 向组 的 过 程 , 量 称 为 将 该 向 量 组 正 交。 化

施密特Gram ? Schmidt)正交化方法: (
? 1 , ? 2 , ? , ? s 为R n中 的 线 性 无 关 向 量 组 ,令 ? 1 ? ?1
T ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2 ? T ?1 ?1 ?1 T T ? 3 ?1 ?3 ?2 ? 3 ? ? 3 ? T ?1 ? T ? 2 ?1 ?1 ?2 ?2

?
T T T ? s ?1 ?s ?2 ? s ? s ?1 ? s ? ? s ? T ?1 ? T ? 2 ? ? ? T ? s ?1 ?1 ?1 ?2 ?2 ? s ?1 ? s ?1

例4 : 将 线 性 无 关 的 向 量 组= (,1, T ?1 1 1,1 )

? 2 ? ( 3,3,?1,?1) , ? 3 ? ( ?2,0,6,8) 正 交 化
T T

练 习:将 线 性 无 关 的 向 量 组= (, ? 1 T ?1 1 1, )
T T

? 2 ? (1,?1,?1) ,? 3 ? ( 2,1,1) 正 交 化

五、正交矩阵
定义4.9

设n阶实矩阵,满足 QTQ=I,
则称Q为正交矩阵.

如 : 单位矩阵是正交阵 I
? cos ? 矩阵? ? sin ? ? sin ? ?也是正交阵. cos ? ? ?

正交矩阵的性质
(1)若Q为正交矩阵,则其行列式的值为1或-1; (2)若Q为正交矩阵,则Q可逆,且Q-1=QT; (3)若P、Q为正交矩阵,则它们的积PQ也是 正交矩阵.

定理4.10 设Q为n阶实矩阵,则Q为正交矩阵

?

Q的列(行)向量组是单位正交向量组. 单位正交向量组也称标准正交向量组

例5、 判 断 下 列 矩 阵 是 否 正 交 矩 阵 : 为 ? ? 1 ? ? ? ?? 1 (2 ? 2 ) ? ? ? 1 ? 3 ? ? ? 1 ? 2 1 1 ? ? 3 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 1? ? ? ?

? ? ? () 1 ? ? ? ? ?

3 2 1 2

1? ? ? 2? ? ? 3? ? 2 ?

1 2

例6、如果实对称矩阵A满足A2+6A+8I=0

证明:A+3I为正交矩阵.

例7、设A为正交矩阵,
证明:A*,Ak也为正交矩阵.

例8、 设x为n维 实 列 向 量 , 且 x ? 1, x
T

记 :H ? I ? 2 xx ,
T

证明: 是对称矩阵且为正交. H 阵

小结
1.向量的内积的概念及性质

内积具有下列运算性质:

(1) ? ? ? ? ?
T T

(对称性) (线性性)

(2) (k? ) ? ? k? ?
T T

(3) (? ? ? ) ? ? ? ? ? ? ?
T T T

(4) ? T? ? 0 (其中等号当且仅当 0时成立 ?= )
(正定性)

2.向量的长度及性质

? ? ? ? ? a ? a ? ?? a
T 2 1 2 2

2 n

向量的长度有下述性质:
? (1)非负性:? ? 0;当且仅当 ? 0时, ? ? 0.
(2)齐次性: ?? ? ? ? (3)三角不等式: ? ? ? ? ? ? ? (4)柯西-布涅柯夫斯基不等式:

? ? ? ? ??
T

3.正交向量组

(1)? T ? ? 0 ?? 与 ? 正交
( 2)如果R n 中的非零向量组 1,? 2, ,? s ? ? 两两正交, ? i ? j ? 0( i ? j , i , j ? 1,2, ? , s ) 即:
T

则称该向量组是正交向 量组

( 3) R 中 的正交向量组必线性无关

n

4.施密特正交化方法

由一个线性无关向量组 生成满 足上述性质的正交向量 组的过程, 称为将该向量组正交化 。

5.正交矩阵 (1) QTQ=I ? Q为正交矩阵. (2)若Q为正交矩阵,则其行列式的值为1或-1; (3)若Q为正交矩阵,则Q可逆,且Q-1=QT;

(4)若P、Q为正交矩阵,则它们的积PQ也是
正交矩阵. (5)Q为正交矩阵 ? Q的列(行)向量组是单位 正交向量组.

作 业
P199-200 17(1) 19 20


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