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证明充要条件的问题


证明充要条件的问题

充要条件的证明
1 1 例1、已知x、y是非零实数,且 x ? y, 求证: ? x y 的充要条件是 xy ? 0.

注意:分清p与q. p : xy ? 0
证明:充分性 ( p ? q)

1 1 q: ? x y

?x ? 0 ?x ? 0 若x

y ? 0, 则? 或? ?y ? 0 ?y ? 0

1 1 ? x ? y ?当x ? 0, y ? 0时,有: ? . x y
1 1 当x ? 0, y ? 0时,有: ? . x y

必要性(q ? p) 1 1 y?x 若 ? , 则有: ? 0,即xy( y ? x) ? 0. x y xy ? x ? y ? y ? x ? 0 ? xy ? 0.

引申

①从命题角度看

㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件 q是p的必要条件. ㈡若p则q是真命题,若q则p为假命题,那么p是 q 的充分不必要条件,q是p必要不充分条件. (三)若p则q,若q则p都是真命题,那么p是q的 充要条件 (四)若p则q,若q则p都是假命题,那么p是q 的既不充分也不必要条件,q是p既不充分也不 必要条件.

引申

②从集合角度看

命题“若p则q”
已知A= {x | x满足条件p},B= {x | x满足条件q}

1) A ? B, 则p是q充分条件, q是p必要条件 .
2) A ? B, 则p是q充分不必要条件, q是p必要不充分条件 .

3) A ? B, 则p是q的充要条件 .
4) A ? B且B ? A,则p是q既不充分也不必要条件 .

题型三

充要条件的证明

【例2】 (12分)求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个 负数根的充要条件为a≤0或a=1. 思维启迪 (1)注意讨论a的不同取值情况; (2)利用根的判别式求a的取值范围.

证明

充分性:

1 当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为 x ? ? , 2 方程只有一负根.
当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1, 方程只有一负根.

2分 4分

当a<0时,Δ =4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,

1 且 <0,方程有一正一负根. a 必要性:
若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时,适合条件. 当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,

6分

8分

则Δ =4-4a≥0,∴a≤1,
当a=1时,方程有一负根x=-1. 10分 ?a ? 1 ? 若方程有且仅有一负根, 则? 1 ,? a ? 0. ?0 ? ?a 综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为

a≤0或a=1.

12 分

探究提高

(1)条件已知证明结论成立是充分性.

结论已知推出条件成立是必要性;
(2)证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性. 证明时,不要认为它是推理过程的“双向书写”,而 应该进行由条件到结论,由结论到条件的两次证明; (3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形,这

就要分清哪是条件,哪是结论.

知能迁移3

求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大

于3的必要条件是|a|> 吗?为什么? 证明

3 , 这个条件是其充分条件

设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2,

则平方和大于3的等价条件是
2 ? ? ? a ?4?0 ? ? 2 2 2 2 ? x ? x ? ( x ? x ) ? 2 x x ? ( ? a ) ? 2 ? 3, 2 1 2 1 2 ? 1

即a ? 5或a ? ? 5. ?{a | a ? 5或a ? ? 5}

{a || a |? 3},

∴|a|> 3 这个条件是必要条件但不是充分条件.

课堂小结
(1)充分条件、必要条件、充分必要条件的概念. (2)判断充分、必要条件的基本步骤: ①认清条件和结论; ②考察 p? q 和 p ? q 是否能成立。 (3)判别技巧: ① 可先简化命题; ② 否定一个命题只要举出一个反例即可; ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。


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