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2012年执信中学第三次模拟考试文科数学


2012 年执信中学第三次模拟考试文科数学
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) .
2 1.已知集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x log x 4 ? 2 ,则 A ? B ? (

?

?

>
?

?

)

A. ??2,1, 2?

B. ?1, 2?

C.

?2?

D. ??2, 2? );

2.若复数 z ? (a 2 ? 2a ? 3) ? (a ? 3)i 为纯虚数( i 为虚数单位),则实数 a 的值是( A. ? 3 B. ? 3 或 1 C. 3 或 ? 1 若 f (a) ? D. 1 )

3.已知函数 f ( x) ? ? A. ? 1

?log 2 x, x ? 0, ?2 ,
x

x ? 0.

1 ,则 a ? ( 2
C. ?1 或 2

B. 2

D.1 或 ? 2

4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? p ? 2 n ? 2 , ?an ? 是等比数列的充要条件是 A. p ? 1 Bp?2 C. p ? ?1 D. p ? ?2

5.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为

2 ,则双曲线方程为( )
A、x2-y2=2 B、x2-y2= 2 C、x2-y2=1 D、x2-y2=

1 2

6.在等差数列 {an } 中, , Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ? A. 18 D. 297 B. 99 C. 198

a3 ? a9 ? 27 ? a6

??? ? ???? 7.如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F ,G,H ,则 OP ? OQ ?
???? ? A. OH ???? B. OG ??? ? C. FO ??? ? D. EO

8.已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件:

f ( x) ? a x ? g ( x) (a ? 0, 且a ? 1) ;② g ( x) ? 0 ;
③ f ( x) ? g ?( x) ? f ?( x) ? g ( x) .若
1 2

f (1) f (?1) 5 ? ? ,则 a 等于 g (1) g (?1) 2
C.
5 4

A.

B.

2

D. 2 或

1 2

9. 从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:

身高 x(cm) 体重 y(kg)

160 63

165 66

170 70

175 72

180 74

? ,据此模型预报身高为 172 cm 的高三男生的体重 根据上表可得回归直线方程 ? y ? 0.56x ? a
为 A. 70.09 B. 70.12 C. 70.55 D. 71.05

10. 设函数 f ( x ) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对于任意的 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则不等式

f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为(
A. (?1,1)

) C. (??, ?1) D. (??, ??)

B. ? ?1, ?? ?

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,2 题全答的,只计算前一题得分) . 11.在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,则 ?PAB 的面积大于等于

1 的概率是 4

_________.
12.比较大小: lg9 ? lg11
2

1

(填“ ? ” , “ ? ”或“ ? ” )

13.如图,过抛物线 x ? 4 y 焦点的直线依次交抛物线与圆

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1于点 A、B、C、D,则 AB ? CD 的值是________
14.( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 极 坐 标 方 程 分 别 为 ? ? 2 cos? 和

? ? sin ? 的两个圆的圆心距为____________
15.(几何证明选讲选选做题)如图 4,三角形 ABC 中,

A

O?


AB ? AC ,⊙ O 经过点 A ,与 BC 相切于 B ,与 AC
相交于 D ,若 AD ? CD ? 1 ,则⊙ O 的半径 r ?

D

B

图4

C

三、解答题(总分 80 分) 16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) △ ??? ? ???? 2 AB ? AC ? a2 ? (b ? c)2 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 2 3 cos2

ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 满 足

C 4? ? sin( ? B) 的最大值,并求取得最大值时角 B、C 的大小. 2 3

17. (本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为 突出.某市为了节约生活用水, 计划在本市试行居民生活 用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准?用水 量不超过 a 的部分按照平价收费,超过 a 的部分按照议 价收费).为了较为合理地确定出这个标准,通过抽样获 得了 100 位居民某年的月均用水量(单位:t), 制作了频 率分布直方图. ks5u (1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失,请在图中将其补充完整; (2)用样本估计总体,如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准?则月均用水量的最 低标准定为多少吨,请说明理由; (3)从频率分布直方图中估计该 100 位居民月均用水量的众数,中位数,平均数(同一 组中的数据用该区间的中点值代表). ks5u

18.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , D 为侧棱 PC 上一点,它的 正(主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明: AD ? 平面 PBC ; (2)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (3)在 ?ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ ∥平面 ABD ,并求此时 PQ 的长.
P D
4 2 2 2 4 2 2 2

A B

C

4

正(主)视图

侧(左)视图

19.(本小题满分 14 分)
2 设数列 {an } 的前n项和为S n , 且S n ? 2S n ? an S n ? 1 ? 0, n ? 1,2,3,?.

(1)求 a1 , a2 ; (2)求 Sn 与Sn ?1 ( n ? 2 )的关系式,并证明数列{ (3)求 S1 ? S2 ? S3 ?S2010 ? S2011 的值。

1 }是等差数列。 sn ? 1

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 y ? f ( x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45o,问:m 在什么范围取 值时,对于任意的 t ? [1, 2] ,函数 g ( x) ? x3 ? x2 [

m ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值? 2

21.(本小题满分 14 分) 如图,曲线 C1 是以原点 O 为中心,

F1 , F2 为焦点的椭圆的一部分.曲线 C 2 是以原点 O 为顶点, F2 为焦点
y A C x

的抛物线的一部分,A、B 是曲线 C1 和 C 2 的交点且 ?AF2 F1 为钝 角,若 |

AF1 |?

7 5 , | AF2 |? . 2 2

(1)求曲线 C1 和 C 2 的方程; (2)设点 C、 D 是曲线 C 2 所在抛物线 上的两点(如图) 。设直线 ..... OC 的斜率为 k 1 ,直线 OD 的斜率为 k 2 ,且 k

F1 O

F2 D

1

? k2 ? 2 ,

B

证明:直线 CD 过定点,并求该定点的坐标. ks5u

2012 届高三文科数学第三次模拟考答卷
封 ?????????????????????? O
题号 分数 选择题 填空题 16 17 18 19 20 21 二卷 总分

_________

二、填空题 11. 13. 三、 解答题 16.解:

12. 14. 15.

17.解:

18.

P D
4 2 2

A B

C

4

正(主

19.解

????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? ???????????? 线??????????????????????O

___________姓名:_______________学号:_______________

????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? ???????????????????? 线??????????????????????O . 20.解:

21.解: ks5u

y A C x

F1 O

F2 D B

2012 届高三文科数学第三次模拟考答案
一、选择题 1B 2D 3C 4D 二、填空题 11. 5A 6B 7C 8A 9B 10B 13.1 14.

1 2

12.<

5 2

15.

2 14 7

16.解答 (Ⅰ)由已知 2bc cos A ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分

1 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得 4bc cos A ? ?2bc ,∴ cos A ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · 4分 2 2? ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 3 2? ? ? (Ⅱ)∵ A ? ,∴ B ? ? C , 0 ? C ? .ks5u 3 3 3 C 4? 1 ? cos C ? ? · · · · · · · · ·8 分 2 3 cos2 ? sin( ? B) ? 2 3 ? ? sin( ? B) ? 3 ? 2sin(C ? ) . · 3 2 3 2 3 ? ? ? 2? ∵ 0 ? C ? ,∴ ? C ? ? , 3 3 3 3 ? ? C 4? ? ∴当 C ? ? , 2 3 cos2 ? sin( ? B) 取最大值 3 ? 2 ,解得 B ? C ? . 12 3 2 2 3 6
分 17. 解: (Ⅰ)???????????????????3 分 (Ⅱ) 月均用水量的最低标准应定为 2.5 吨.样本中月均用水量不低于 2.5 吨的居民有 20 位,占样本总体的 20%,由样本估计总体,要保证 80%的居 民 每 月 的 用 水 量 不 超 出 标 准 , 月 均 用 水 量 的 最 低 标 准 应 定 为 2.5 吨.??????????????????7 分 (Ⅲ)这 100 位居民的月均用水量的众数 2.25,中位数 2, 平均数为

1 3 5 7 9 11 13 0.5 ? ( ? 0.10 ? ? 0.20 ? ? 0.30 ? ? 0.40 ? ? 0.60 ? ? 0.3 ? ? 0.1) 4 4 4 4 4 4 4 ? 1.875 ???????12 分

18.解: (1)因为 PA ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC , 又 AC ? BC ,所以 BC ? 平面 PAC ,所以 BC ? AD . 由三视图可得,在 ?PAC 中, PA ? AC ? 4 , D 为 PC 中点,所以 AD ? PC , 所以 AD ? 平面 PBC (2)由三视图可得 BC ? 4 ,由⑴知 ?ADC ? 90? , BC ? 平面 PAC , 又三棱锥 D ? ABC 的体积即为三棱锥 B ? ADC 的体积,
P D

1 1 1 16 所以,所求三棱锥的体积 V ? ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? . 3 2 2 3
(3)取 AB 的中点 O ,连接 CO 并延长至 Q ,使得 CQ ? 2CO ,点 Q 即为所求. 因为 O 为 CQ 中点,所以 PQ ∥ OD , 因为 PQ ? 平面 ABD , OD ? 平面 ABD ,所以 PQ ∥平面 ABD , 连接 AQ , BQ ,四边形 ACBQ 的对角线互相平分, 所以 ACBQ 为平行四边形,所以 AQ ? 4 ,又 PA ? 平面 ABC , 所以在直角 ?PAD 中, PQ ? AP2 ? AQ2 ? 4 2 .
2 2 19. (1)解:当 n ? 1 时,由已知得 a1 ? 2a1 ? a1 ? 1 ? 0, 解得 a1 ?

A
Q O

C B

1 . 2

同理,可解得 a 2 ?

1 . 6

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 4分

2 (2)证明 :由题设 S n ? 2S n ? 1 ? an S n ? 0. 当 n ? 2(n ? N * )时, an ? S n ? S n?1

代入上式,得 S n?1 S n ? 2S n ? 1 ? 0.

6分

? Sn ? ?

? 1 ? S n?1 1 1 ,? S n ? 1 ? ?1 ? 2 ? S n?1 2 ? S n?1 2 ? S n?1

2 ? S n?1 1 1 ? ? ?1 ? , S n ? 1 S n?1 ? 1 S n?1 ? 1
1 1 。 。 }是首项为 ? ?2, 公差为-1 的等差数列。 Sn ?1 S1 ? 1
? Sn ? ?

?{

10 分, 12 分

?

1 ? ?2 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 1. Sn ?1

1 n 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 ?1 ? n ?1 n ?1

S1 ? S2 ? S3 ?S2010 ? S2011 ?
20. f ?( x) ?

1 2 3 2010 2011 1 ? ? ??? ? ? 2 3 4 2011 2012 2012

14 分

a ? a( x ? 0) x

(I)当 a ? 1 时, f ?( x) ?

1 1? x , ?1 ? x x

??ks5u????????2 分

令 f ?( x) ? 0 时,解得 0 ? x ? 1 ,所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增; ??4 分 令 f ?( x) ? 0 时,解得 x ? 1 ,所以 f ( x) 在(1,+∞)上单调递减. ???6 分 (II)因为函数 y ? f ( x) 的图象在点(2, f (2) )处的切线的倾斜角为 45o, 所以 f ?(2) ? 1 .

?2 ? 2 . ??????????????????8 分 x m 2 m g ( x) ? x3 ? x2 [ ? 2 ? ] ? x3 ? ( ? 2) x2 ? 2x , 2 x 2
所以 a ? ?2 , f ?( x) ?

g ?( x)? 32 x? (4 ? m ) x? ,2

?????????????????10 分

因为任意的 t ? [1, 2] ,函数 g ( x) ? x3 ? x2 [

m ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值, 2

? g ?(2) ? 0, 所以只需 ? ? g ?(3) ? 0,
解得 ?

????????????????????12 分

37 ? m ? ?9 . 3

?????????????????????14 分

21. 解: (1)设 A(xA,yA),F1(-c,0),F2(c,0),曲线 C1 所在椭圆的长轴长为 2a,则 2a=|AF1|+|AF2|=6????2 分
又由已知及圆锥曲线的定义得:

( x A ? c) 2 ? y A ?
得: ( x A

2

25 49 5 2 , ( x A ? c) 2 ? y A ? , x A ? c ? ????4 分 4 4 2

? c) 2 ?

1 1 3 ,又∵ ?AF2 F1 为钝角,∴ x A ? c ? ,故 x A ? , c ? 1 ??5 分 4 2 2
3 x2 y2 3 2 ? ? 1(?3 ? x ? ) ,曲线 C2 的方程为 y ? 4 x(0 ? x ? ) ?7 分 2 9 8 2

即曲线 C1 的方程为

(2)设直线 OC 的方程为:y=k1x,

由?

? y ? k1 x
2 ? y ? 4x

得 (k1 x)

2

? 4 x ? 0 即 C(

4 k1
2

,

4 k1

),????9 分

同理得:D ?

? 4 4 ? ? ? ( 2 ? k ) 2 , 2 ? k ? ????????10 分 1 1 ? ?

4 4 ? k1 2 ? k1 k ( 2 ? k1 ) 4 4 4 ? (x ? 2 ) ? 1 (x ? 2 ) ∴直线 CD 的方程为: y ? 4 4 k1 k1 k1 2 ? 2 2 k1 ( 2 ? k1 )


y?

k1 ( 2 ? k1 ) 2

x ? 2 2 ,?13 分 ks5u

当 x=0 时,恒有 y= 2

2 ,即直线 CD 过定点(0, 2 2 )?14 分


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