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[中学联盟]重庆市杨家坪中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试题


2015—2016 学年上期高二年级第一次月考数学试题
一.选择题(共 60 分,每小题 5 分) 1.空间中的四个点最多能确定的平面个数为( A .1 B. 2 C.3 ) B、空间任意三点可以确定一个 平面; ) D.4

2. 下列四个命题中,真命题是( A、平面就是平行四边形;

C、两两相交的三条直线可以确定一个平面;

D、空间四点不共面,则其中任意三点不共线。 3.教室内有一把尺子无论怎样放置,地面上总有这样的直线与该直尺所在直线

A 垂直 B 平行

C 异面

D 相交但不垂直

4.设有两条直线 m、n和三个平面 ?、?、?,给出下面四个命题: (1) ? ? ? ? m,n // m ? n // ?,n // ? (3) ? // ?,m ? ? ? m // ? 其中正确的命题个数是(
A 1 B 2

(2) ? ? ?,m ? ?,m ? ? ? m // ? (4) ? ? ?,? ? ? ? ? // ?


C 3 D 4

5.如图,正 方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm,它是水平放置的一 个平面图形的直观图,则原图的周长是( A.8 cm B.6 cm ) D.2(1+ 2) cm

C.2(1+ 3) cm

6.P 是边长为 a 的正三角 ABC 所在平面外一点,PA=PB=PC= a , E、F 是 AB 和 PC 的 中点,则异面直线 PA 与 EF 所成的角为(
A 30? B 45? C 60?



D 90?

7.等边三角形 ABC 的边长是 a , AD是BC 边上的高,沿 AD将?ABC 折成直二面角,则 点 B、C 的距离是(
A 1 a 2 B

)
2 a 2 C 3 a 2 D a

60?,A ??,B ? ?, 8 . 二 面 角 ? ? l ? ? 的大小为 且 A、B两点在l 上 的 射 影 分 别 为

A?、B?,其中BB? ? 1,AA? ? 2,A?B? ? 3 ,点 C是l上 任一点,则 AC ? BC 的最小值 为





A 4 2

B

3 3

C

2 3

D

3 2

的 中 心 9. 在 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1中,M是棱DD1的中点,O为 底 面 A B C D ,

P为棱A1 B1上 任一点,则直线 OP与AM 所成角为( A 45? B 60? C 90? D 不能确定



10.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正 方形,且 ?ADE 、?BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该 多面体的体积为 ( (A)
2 3

) (C)
4 3

(B)

3 3

(D)

3 2

11 .如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 BD1 上.过点 P 作垂直于平面

BB1D1D 的直线,与正方体表面相交于 M ,N .设 BP ? x , MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的
图象大致是(
D1 A1 D A M B1 P N B C1


y y y y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面 体的各条棱中,最长的棱的长度为(
A .6 2 B .4 2
侧 正视图 俯 俯视图 图 13 侧视图

)

6 3 5 5 5

6 3 5

C .6

D .4

二、填空题(共 20 分,每小题 5 分) 13.某几何体的三视图如图 13 所示,则它的体积是 .

14 . 三 棱 锥 A—BCD 的 四 个 顶 点 同 在 一 个 球 O 上 , 若 AB ⊥ 面 BCD , BC ⊥ CD,AB=BC=CD=1,则球 O 的表面积等于 .

?
?
.

?A
?

15.如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 45°,线段 AB ? ? . B ? l ,
AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是

B

16.在平面几何里, “ 若CD是Rt?ABC的斜边AB上的高,则

1 1 1 ? ? . ”拓展 2 2 CD CA CB 2

到空间,研究三棱锥的高与侧棱间的关系,可得出的正确结论是: “若三棱锥
A — B CD 的三侧面A B C、 ACD、ADB 两两互相垂直, AO是三棱 锥A—BCD

的高,则

” .

三、解答题(共 70 分,其中第 17 题 10 分,其它每小题 12 分)
17.如图,正方体的棱长为 a,P、Q 分别为 A1 D 、 B1 D1 的中点

D A P D1 A1 Q B1 B

C

C1

(1)求证:PQ∥平面 D1C1CD (2)求 PQ 的长

17. 三棱锥 P—ABC 中,PO⊥面 ABC,垂足为 O,若 PA⊥BC,PC⊥AB,求证: (1)AO⊥BC (2)PB⊥AC

18. 已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正(主)视图为矩形,侧(左)视图为等腰 直角三角形,俯视图为直角梯形. (1)若 M 为 CB 中点,证明:MA∥平面 CNB1;(2)求这个几何体的体积.

19. 如图,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中 ,棱长为 a,E 为棱 CC1 上的的动点.
(1)求证:A1E⊥BD; (2)当 E 恰为棱 CC1 的中点时,求证:平面 A1BD⊥平面 EBD.

D1

C1 B1

A1

E

D A B

C

21. 如图,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2 ,圆 O 的直径 AB=2,C 是弧 AB
的中点,D 为 AC 的中点. (1)求异面直线 PD 和 BC 所成的角 (2)求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值

22. 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中, ∠ABC=600, PA=AC=a, PB=PD= 2a , 点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (I)证明 PA⊥平面 ABCD; (II)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF//平面 AEC?证明你的结论.
P

E A B C

D

2015—2016 学年上期高二年级第一次月考数学试题
一.选择题(共 60 分,每小题 5 分)DDABA BBDCA BC

二、填空题(共 20 分,每小题 5 分) 13. 30? 14. 3? . 15.
2 4

16.

1 1 1 1 ? ? ? . 2 2 2 AO AB AC AD 2

三、解答题(共 70 分, 其中第 17 题 10 分,其它每小题 12 分) 17.
(1)证法一 : 取AA1 , A1 B1的中点M , N , 连结MN , NQ, MP 1 1 AD, NQ // A1 D1 , NQ ? A1 D1 2 2 ? MP // ND且MP ? ND ? MP // AD, MP ? ?四边形PQNM为平行四边形 ? PQ // MN ? MN ? 面AA1 B1 B, PQ ? 面AA1 B1 B ? PQ // 面AA1 B1 B 证法二 : 连结AD1 , AB1 , 在?AB1 D1中, 显然P, Q分别是AD1 , D1 B的中点 1 ? PQ // AB, 且PQ AB1 2 ? PQ ? 面AA1 B1 B, AB1 ? 面AA1 B1 B ? PQ // 面AA1 B1 B
2 2 . (2)方法一 : PQ ? MN ? A1 M ? A1 N ? 2 a

2

方法二 : PQ ?

1 2 AB1 ? a. 2 2

18. 三棱锥 P—ABC 中,PO⊥面 ABC,垂足为 O,若 PA⊥BC,PC⊥AB,求证: (1)AO⊥BC (2)PB⊥AC

19. 已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正(主)视图为矩形,侧(左)视图为等腰 直角三角形,俯视图为直角梯形. (1)若 M 为 CB 中点,证明:MA∥平面 CNB1;(2)求这个几何体的体积.

解析:(1)如图所示,取 CB1 的中点 P,连接 MP,NP,

1 ∵M 为 CB 中点,∴MP∥BB1,且 MP=2BB1. 由三视图可知,四边形 ABB1N 为直角梯形, 1 ∴AN∥BB1 且 AN=2BB1, ∴MP∥AN 且 MP=AN, ∴四边形 ANPM 为平行四边形,∴AM∥PN. 又 AM?平面 CNB1,PN?平面 CNB1, ∴AM∥平面 CNB1.

(2)∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴BA,BC,BB1 两两垂直,∴BC⊥平面 ABB1N,∴BC 为三棱锥 C-ABN 的高,取 BB1 的中点

Q,连接 NQ,如图所示,∵四边形 ABB1N 为直角梯形且 AN= BB1=4,∴四边形 ABQN 为
正方形,∴NQ⊥BB1.又 BC⊥平面 ABB1N,NQ?平面 ABB1N,∴BC⊥NQ,且 BC 与 BB1 相交于

1 2

B,∴NQ⊥平面 C1B1BC,NQ 为四棱锥 N-CBB1C1 的高,则原几何体的体积
V=VC-ABN+VN-CBB S△ABN+3NQ· S C = CB· 1 1 3 1 1
矩形 BCC

B 1 1

1 1 1 160 =3×4×(2×4×4)+3×4×(4×8)= 3 . 20. 如图,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中 ,棱长为 a,E 为棱 CC1 上的的动点.
(1)求证:A1E⊥BD; (2)当 E 恰为棱 CC1 的中点时,求证:平面 A1BD⊥平面 EBD. 证明: (1)连 AC,A1C1

D1

C1 B1

A1

E

? 正方体 AC1 中,AA1 ? 平面 ABCD ? ABCD 是正方形, ? AC ? BD,

? AA ? B D
1

D A
1

C
B

又 AC ? AA1=A,? BD ? 平面 ACC1A1

? E ? CC1

? A E ? 平面 ACC A ? BD ? A E
1 1 1

6分

(2)设 AC ? BD=O,则 O 为 BD 的中点,连 A1O,EO 由(1)得 BD ? 平面 A1ACC1

? BD ? A O,BD ? EO \ ? A1EO 即为二面角 A -BD- E 的平面角
1 1

? AB=a,E 为 CC1 中点

3 ? A O= 6 a ,A E= 3 a ,EO= a
1

2

1

2

2

? A O +OE =A E
2 2 1 1

2

\

A1O ? OE \ ? AOE 1

900 ? 平面 A1BD ? 平面 BDE

21. 如图,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2 ,圆 O 的直径 AB=2,C 是弧 AB
的中点,D 为 AC 的中点. (1)求异面直线 PD 和 B C 所成的角 (2)求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值 解(1)? O,D 分别是 AB 和 AC 的中点

? OD//BC

? 异面直线 PD 和 BC 所成的角为∠PDO
? 的中点, 在△ABC 中, AB ? 2, C是AB , D为AC 的中点
? AC ? BC ? 2 , OD ? 2 2
又? PO ? 2 ? PO ? 面ABC ? tan ?PDO ?

PO ?2 OD

(2)因为 OA ? OC, D是AC的中点,所以AC ? OD. 又 PO ? 底面 ? O, AC ? 底面 ? O, 所以AC ? OD. 所以 AC ? 平面POD;

又 AC ? 平面PAC, 所以平面 POD ? 平面PAC, 在平面 POD 中,过 O 作 OH ? PD于H, 则 OH ? 平面PAC, 连结 CH ,则 CH 是 OC在平面PAC 上的射影, 所以 ?OCH 是直线 OC 和平面 PAC 所成的角.

1 2 ? 2 在 Rt?OHC中,sin ?OCH ? OH ? 2 在 Rt? POD中, OH ? ? OC 3 3 1 PO2 ? OD 2 2? 4 PO? OD 2?
22. 如 图 , 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥 P — ABC D 中 , ∠ ABC=600 , PA=AC=a , PB=PD= 2a ,点 E 在 PD 上,且 PE:E D=2:1. (I)证明 PA⊥平面 ABCD; (II)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF//平面 AEC?证明你的结论. 解: (Ⅰ)证明 因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=6 0°, 所以 AB=AD=AC=a, 由 PA2+AB2=2a2=PB2 在△PAB 中, 知 PA⊥AB.

同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)解 作 EG//PA 交 AD 于 G,

由 PA⊥平面 ABCD. 知 EG⊥平面 ABCD.作 GH⊥AC 于 H,连结 EH, 则 EH⊥AC,∠EHG 即为二面角 ? 的平面角. 又 PE : ED=2 : 1,所以 EG ? 1 a, AG ? 2 a, GH ? AG sin 60? ? 3 a.
3 3 3

从而

t a? n?

EG 3 ? , GH 3

? ? 30?.

(Ⅲ)当 F 是棱 PC 的中点时,BF//平面 AEC,证明如下, 取 PE 的中点 M,连结 FM,则 FM//CE. 由
EM ? 1 PE ? ED , 知 E 是 MD 的中点. 2



连结 BM、BD,设 BD ? AC=O,则 O 为 BD 的中点. 所以 BM//OE. ②

由①、②知,平面 BFM//平面 AEC. 又 BF ? 平面 BFM,所以 BF//平面 AEC.


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