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2012-2013春概率


中国农业大学 2012 ~2013 学年春季学期 概率论与数理统计(C) 课程考试试题(B)
题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 总分

一、 填空 (每空 3 分, 共 30 分) 1、设随机事件 A,B 满足 P( A) ? 0.6, P(B) ? 0.8, P(B | A) ? 0.6 ,则 P( A | B) =_______。 2、

一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率 为
80 ,则该射手的命中率为 81


?2x, 0 ? x ? 1 ,以 Y 表示对 X 的 else ? 0,

3、设随机变量 X 的概率密度为 f (x) ? ?
1 2

三次独立重复观察中事件 {X ? } 出现的次数,则 P{Y ? 2} ? 4、 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) ? ce? x ? x (?? ? x ? ??) , 则 c= 5、设 X,Y 为两个随机变量,且 P{ X ? 0 , Y ? 0}} ? ,
P{ X ? 0} ? P{Y ? 0}} ? 4 则 P{max{X, Y } ? 0} ? 7, 3 7
2

。 。



6、随机变量 X 在(0, 1)服从均匀分布,则 Y ? 3X ? 2 的概率密度 fY(y) =

。 7、设 X1,X2, X3, X4 为来自正态总体 X~N( 0, 4 )的简单随机样本,且 则 a= X ? a( X 1 ? 2 X 2 ) 2 ? b(3X 3 ? 4 X 4 ) 2 , , b= 时,

统计量 X 服从?2 分布,其自由度为 8 、设总体 X ~ N(? ,? 2 ) ,
c? ( X i ?1 ? X i ) 2
i ?1 n ?1

X 1 , X 2 , L X n 是来自总体 X 的样本,如果

是 ? 2 的无偏估计,则 C=



二、单项选择填空题(每题 3 分, 共 15 分) 1 、 设 随 机 变 量 X ~ N(? ,? 2 ) , 则 随 着 ? 的 增 大 , 概 率 P{| X - ? |? ? }} ( ) c、保持不变; d、增减不定。

a、单调增加; b、单调减少;

2、设 X 是一离散型随机变量,其分布律为 P{ X ? k } ? b?k (k ? 1,2, L) , 且 b>0 为常数,则 ? 为( a、大于零的任意实数; c、 ? ?
1 ; b ?1

) b、 ? ? b ? 1 ;
1 。 。 b ?1

d、 ? ?

3 、 设 X,Y 相 互 独 立 , 它 们 的 分 布 函 数 分 别 为 FX ( x), FY ( y) , 则
Z ? min{ X, Y } 的分布函数为(



a、 FZ ( z) ? FX ( x) ; c 、

b、 FZ ( z) ? FY ( y) ; d 、

FZ ( z) ? min{FX ( x), FY ( y)} ;

FZ ( z) ? 1 ? [1 ? FX ( x)][1 ? FY ( y)] 。

4、设 0,1,0,1,1 是来自两点分布总体的样本观察值,则 p 的据估计为 (
1 5


2 5

a、 ; b 、 ;

c、 ; d 、 。

3 5

4 5

5、对于正态总体的均值 ? 进行假设检验,如果在显著性水平 0.05 下

接受 H0: ? ? ? 0 ,那么在显著性水平 0.01 下( a、必接受 H0 c、必拒绝 H0;



b、可能接受也可能不接受 H0; d、不接受也不拒绝 H0。

三、 已知甲,乙两箱中装有同种商品,其中甲箱中装有 3 件合格品 和 3 件次品,乙箱中仅装有 3 件合格品,从甲箱中任取 3 件 放入乙箱后,求 (1) 乙箱中次品数 X 的数学期望; (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 (10 分) 四、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?2 - x ? y, 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 f ( x, y) ? ? e lse ? 0,

求: (1)P{X ? 2Y } ; (2) Z=X+Y 的概率密度 f Z ( z) 。
1 4 1 3

(15 分)
1 2

五、设 A、B 为随机事件,且 P( A) ? , P( B | A) ? , P( A | B) ? , 令X ??
Ahappen ?1, ?0, Anothappen Bhappen ?1, Y ?? ?0, Bnothappen

求(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布; (2)X 与 Y 的相关系数 ? XY 。 六、设总体 X 的概率密度为
?(? ? 1) x? , 0 ? x ? 1 f ( x) ? ? e lse ? 0,

(10 分)

其中 ? ? ?1 为未知参数, X 1 , X 2 , L X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的 简单随机样本。试求 ? 的矩估计和极大似然估计。 (10 分)

七、一种元件要求其使用寿命不得低于 1000 小时,现在从一批这种 元件中随机抽取 25 件,测得其平均寿命为 950 小时,已知该元 件寿命服从标准差 ? ? 100 的正态分布,在显著性水平下,确定该 批元件是否合格? 参考数据: t0.05(25)=1.7081, t0.05(24)=1.7109, t0.025(25)=2.0595, t0.025(24)=2.0639, z0.05=1.65, z0.025=1.96 (10 分)

2012~2013 学年春季概率统计 C 试卷 B 参考答案
一、1. 0.7; 2.
1
1 ; 3 9 3. ; 64

4.

1

?

e ;

?

1 4

5.

5 7

? ? 6. f Y ( y ) ? ? 3 2 ? y ? 5 ? ?0 else

7. 4.c

1 1 , , 2 ; 20 100

8.

1 。 2(n ? 1)

二、 1.c

2.c

3.d

5.a

三、 已知甲,乙两箱中装有同种商品,其中甲箱中装有 3 件合格品 和 3 件次品,乙箱中仅装有 3 件合格品,从甲箱中任取 3 件 放入乙箱后,求 (1) 乙箱中次品数 X 的数学期望; (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 (10 分) 解: (1)乙箱中次品数 X 是个随机变量,X 的取值为 0,1,2,3. X 的分布为 P( X ? k ) ? 所以 E ( X ) ? 0 ?
3? k C3k C3 3 C6

1 9 9 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? 20 20 20 20 2

(5 分)

(2) 设 A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品” ,由全概率公式 有 P( A) ? ? P( X ? k ) ? P( A | X ? k ) ?
k ?0 3

1 9 1 9 2 1 3 1 ?0? ? ? ? ? ? ? 20 20 6 20 6 20 6 4

(5 分) 四、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?2 - x ? y, 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 f ( x, y) ? ? e lse ? 0,

求: (1)P{X ? 2Y } ; (2) Z=X+Y 的概率密度 f Z ( z) 。
x

(15 分)

解: (1) P{ X ? 2Y } ?

1 1 5 2 7 2 (2 ? x ? y )dy ? f ( x , y ) dxdy ? dx (x x ) dx ? ?? ?-0 ?0 ?0 8 24 x ?2 y

(6 分) (2) f Z ( z) ? ?-? f ( x, z ? x)dx 当 z ? 0huoz ? 2 时, f Z ( z) ? 0 当 0 ? z ? 1 时, f Z ( z) ? ?0 (2 - z )dx ? z(2 - z ) 当 1 ? z ? 2 时, f Z ( z) ? ?z ?1 (2 - z )dx ? (2 - z ) 2 综上
?z (2- z ) ? f Z ( z ) ? ? (2 - z ) 2 ? 0 ? 0? z ?1 1? z ? 2 e lse
1 4 1 3 1 2
1 z ??

(9 分)

五、设 A、B 为随机事件,且 P( A) ? , P( B | A) ? , P( A | B) ? , 令X ??
Ahappen ?1, ?0, Anothappen Bhappen ?1, Y ?? ?0, Bnothappen

求(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布; (2)X 与 Y 的相关系数 ? XY 。

1 1 1 解: (1) P( AB ) ? P( A) P( B | A) ? ? ? 4 3 12

1 P( AB) 1 12 , P( B) ? P( A | B) ? 1 ?? 6 2

所以(X,Y)的分布率为: Y 0 1 X 0
8 12 1 12

1
2 12 1 12

(4 分) (2) E ( X ) ?
1 4 E (Y ) ? 1 12 D( X ) ? 3 16 D(Y ) ? 5 36 Cov ( X , Y ) ? 1 24

所以 X 与 Y 的相关系数 ? XY ?

Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )

?

15 15

(6 分) 六、设总体 X 的概率密度为
?(? ? 1) x? , 0 ? x ? 1 f ( x) ? ? e lse ? 0,

其中 ? ? ?1 为未知参数, X 1 , X 2 , L X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的 简单随机样本。试求 ? 的矩估计和极大似然估计。 解:先求矩估计 E(X) ? ??? xf ( x)dx ? ?0 x(? ? 1) x ? dx ? 解得 ? 的矩估计为 ?? ? 再求极大似然估计: 似然函数为
L(? ) ? ? f ( xi ) ? (? ? 1) n (? xi )?
i ?1 i ?1 n n

(10 分)

??

1

? ?1 ? ?2

2X ?1 1? X

(5 分)

0 ? xi ? 1

取似然对数:
ln L ? n ln(? ? 1) ? ? ? ln xi
i ?1
n d ln L n ? ? ? ln xi ? 0 ? ? 1 i ?1 令 d?

n

得 ? 的极大似然估计为
??? 1 1 - ? ln xi n i ?1
n

?1

(5 分)

七、一种元件要求其使用寿命不得低于 1000 小时,现在从一批这种 元件中随机抽取 25 件,测得其平均寿命为 950 小时,已知该元 件寿命服从标准差 ? ? 100 的正态分布,在显著性水平 ? ? 0.05 下, 确定该批元件是否合格? 参考数据: t0.05(25)=1.7081, t0.05(24)=1.7109, t0.025(25)=2.0595, t0.025(24)=2.0639, z0.05=1.65, z0.025=1.96 解: 原假设 H 0 : ? ? 1000 检验统计量 U ?
X - 1000

(10 分) (2 分)

备择假设 H1 : ? ? 1000 (3 分)

?/ n

~ N (0,1)

n=25 , U0.05(35)=1.65 , 接 受 域 ( -1.65,+ ? ) 代 入 计 算 得
U? 950 - 1000 100/ 25 ? -2.5 ? ?1.65

所以拒绝原假设,认为这批元件不合格。

(5 分)


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