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(理数)高二理科数学期中试题参考答案


2011 学年广州市铁一中学高二上学期期中考试数学(理科)参考答案
一选择题(5'×10=50)

1 A

2 C

3 C

4 B

5 C

6 B

7 C

8 D

9 A

/>
10 A

二、填空题(5'×4=20)
11. ? p : ? x 0 ? R , x 0 ? 1 ? 0
2

12.

y 3

?

x 2

? 0

13.2

14. 9

三、解答题(本大题共 6 题,共 80 分,解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.) 、 15.本题满分 12 分 解: 若 p 真,则 0 ? a ? 1 , ······ 2 分 ····· 若 p 假,则 a ? 1 或 a ? 0 ; ····· 3 分 ····· 若 q 真,显然 a ? 0 , ····· 4 分 ····· 则?
?a ? 0 ?? ? 1 ? 4a
1 2 1 2
2

? 0

····· 6 分 ····

得a ?

····· 7 分 ···· ····· 8 分 ···· ····· 9 分 ···· ····· 10 分 ···· ····· 11 分 ····

若 q 假,则 a ?

由已知,p 和 q 有且仅有一个为真。
? 当 p 真 q 假时, 0 ? a ?
1 2

当 p 假 q 真时, a ? 1 综上: a ? ? 0 , ? ? ?1, ?? 2
? ? ? 1?

?

····· 12 分 ·····

16. 解: (1)如下图

7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 产量 3 4 5

3分

能耗

1

(2) ?
i ?1

n

x i y i =3 ? 2.5+4 ? 3+5 ? 4+6 ? 4.5=66.5
=4.5
2

······ 4 分 ·····

x=
n

3?4?5?6 4

y =

2 .5 ? 3 ? 4 ? 4 .5 4

=3.5

····· 6 分 ·····

i ?1

? xi

2

= 3 + 4 + 5 + 6 =86

2

2

2

······ 8 分 ·····

? 6 6 .5 ? 4 ? 4 .5 ? 3 .5 ? 6 6 .5 ? 6 3 ? 0 .7 b ? 2 8 6 ? 4 ? 4 .5 86 ? 81

······ 9 分 ····· ······ 10 分 ····· ····· 11 分 ·····

? ? a ? Y ? bX ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35

故线性回归方程为 y=0.7x+0.35

(3)根据回归方程的预测,现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7 ? 100+0.35=70.35 故耗能减少了 90-70.35=19.65(吨) ······ 12 分 ····· 17(本题满分 14 分) 解: (1)有序组 ( m , n ) 的所有可能结果为: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3, , , , , , , , , , , , 4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共 16 个 , , , , ······ 5 分 ······

(2)由 a m ? ( a m ? b n ) ,得 即

m

2

? 2m ? 1 ? n ? 0
2

······ 7 分 ······ ······ 9 分 ·····

n ? ( m ? 1)

由于 m ? {1, 2 ,3 , 4} ,故事件 A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4) ,共 2 个 ····· 12 分 ·····
?

P ( A) ?

2 16

?

1 8

······· 14 分 ······

18.解:

?a ? 5 p 真,则 ? , ?a ? 1
? 1? a ? 5 或 a ? 5

······ 3 分 ····· ····· 5 分 ····· ····· 8 分 ···· ······ 10 分 ····· ····· 11 分 ····· ····· 12 分 ····· ····· 13 分 ····· ····· 14 分 ·····

q 真,则 ? ? 4 a
? ?

2

? 8a ? 4a (a ? 2) ? 0

a ? 0 或 a ? 2 p 或 q 为假命题,

? p 假且 q 假

a ? 1或 a ? 5 ? ? ? ?a ? 0或 0 ? a ? 2或 a ? 2
?
a ? 0 或0 ? a ? 1或a ? 5

2

19.解: (1)∵ e ?

2 ,∴
2

c a

?
2

2 ,∴ c ? 2 a ? a ? b ,∴ a ? b ,
2 2 2 2

····· 3 分 ····· ····· 4 分 ·····

∴设双曲线方程为 x ? y ? a ( a ? 0 ) ,
2

∵双曲线经过 ( 4, ? 1 0 ) ,∴ 16 ? 10 ? a 即 a ? 6 ,
2 2

····· 5 分 ·····

∴所求双曲线方程为

x

2

?

y

2

? 1。

····· 6 分 ·····

6

6

(2)∵直线系方程可化为 k ( x ? 3) ? y ? m ? 0 ∴直线系过定点 M (3, m ) 。····· 7 分 ····· ∵ M (3, m ) 在双曲线上,∴ 9 ? m ? 6, ,∴ m ? 3
2
2

······ 9 分 ····· ····· 10 分 ····· ······ 12 分 ·····

又双曲线焦点坐标为 F1 ( ? 2 3 , 0 ) , F2 ( 2 3 , 0 ) ∴kF M ?
1

m 3? 2 3
?

, kF

2M

?

m 3?2 3
? ?1

∴kF M ? kF
1

m

2

2M

(3 ? 2 3 )(3 ? 2 3 )

······ 13 分 ·····

∴ F1 M ? F2 M 20.解: (I)设动点为 M,其坐标为 ( x , y ) ,
k MA ? k MA ?
1 2

····· 14 分 ····

y x?a

当 x ? ? a 时,由条件可得 即 mx ? y ? ma (x ? ?a) ,
2 2 2

?

y x?a

?

y
2

2 2

x ?a

? m,



A1 ( ? a , 0 ), A2 ( A , 0 )

的坐标满足 m x ? y ? m a ,
2 2 2 2 2 2

故依题意,曲线 C 的方程为 m x ? y ? m a .
x
2

2 当 m ? ? 1时 , 曲线 C 的方程为 a

?

y

2 2

?ma
2

? 1, C

是焦点在 y 轴上的椭圆;
2

当 m ? ? 1 时,曲线 C 的方程为 x ? y ? a ,C 是圆心在原点的圆;
2

x

2

2 当 ? 1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为 a

?

y

2 2

?ma

?1

,C 是焦点在 x 轴上的椭圆;

x

2

2 当 m ? 0 时,曲线 C 的方程为 a

?

y

2 2

? 1,

ma

C 是焦点在 x 轴上的双曲线。

3

(II)由(I)知,当 m=-1 时,C1 的方程为 x ? y ? a ;
2 2 2

当 m ? ( ? 1, 0) ? (0, ? ? ) 时, C2 的两个焦点分别为
F1 ( ? a 1 ? m , 0), F2 ( a 1 ? m , 0).

对于给定的 m ? ( ? 1, 0) ? (0, ? ? ) , C1 上存在点
N ( x 0 , y 0 )( y 0 ? 0 )

使得 S ? | m | a 的充要条件是
2

2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , y0 ? 0, ? ?1 2 ? ? 2 a 1 ? m | y 0 |? | m | a . ?2

① ②
|m |a 1? m

由①得
0?

0 ? | y 0 |? a ,
|m |a 1? m
1? 2

| y 0 |?

.

由②得
1? 2 5

? a ,即

? m ? 0,



0? m ?

5



时,

存在点 N,使 S=|m|a2;
|m |a ? a ,即 -1<m< 1? 2
5 2

5

当 1? m
m ? 1?

,



时,

不存在满足条件的点 N,
?1 ? 5 ? m?? ,0? ? ? ? 2 ? 当 ? 1? 5 ? ? 0, ? ? 2 ? ? 时, ???? ???? ? N F1 ? ( ? a 1 ? m ? x 0 ? y 0 ), N F2 ? ( a 1 ? m ? x 0 , ? y 0 )





可得 令

???? ???? ? 2 2 2 2 N F1 ? N F2 ? x 0 ? (1 ? m ) a ? y 0 ? ? m a ,

???? ???? ? | N F1 |? r1 , | N F2 |? r2 , ? F1 N F2 ? ?



2 ???? ???? ? ma 2 N F1 ? N F 2 ? r1 r2 co s ? ? ? m a , 可 得 r1 r2 ? ? co s ? , 则由

S ?

1 2

从而

r1 r2 sin ? ? ?

m a sin ?
2

2 co s ?

? ?

1 2

m a tan ?
2


4

于是由 S ? | m | a ,
2

?

1 2

m a tan ? ? | m | a , 即 tan ? ? ?
2 2

2|m | m

.

可得

综上可得:
?1 ? 5 ? m?? ,0? ? 2 ? 2 ? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ? | m | a , 且 tan F1 N F 2 ? 2; 当 ? 1? 5 ? m ? ? 0, ? ? 2 2 ? S ? | m | a , 且 tan F1 N F 2 ? ? 2; ? 当 时,在 C1 上,存在点 N,使得
m ( ? 1, 1? 2 5 )?( 1? 2 5 , ?? )



时,在 C1 上,不存在满足条件的点 N。

5


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