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山东省日照市日照一中2015届高三上学期第三次阶段复习质量达标检测数学(理)试题


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日照一中高三第三次调研考试 数 学 试 题(理科)
试题命制人:王 旭 审核人:孙立爵 注意事项: 1. 本试题共分 21 大题,全卷共 150 分;考试时间为 120 分钟. 2.第 I 卷必须使用 2B 铅笔填涂答题纸相应题目的答案标号

,修改时,要用橡皮擦干净. 3. 第 II 卷必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置,在草稿纸和本卷 上答题无效.作图时,可用 2B 铅笔,要求字体工整、笔迹清晰. 第 I 卷(共 60 分) 一、选择题 (本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的4个选项中,只有一 项符合题目要求.) 1.已知 a,b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 ? a +bi ? =(
2



A. 5 ? 4i A. ?

2. 设集合 A ? x ? R

?

x ? 1 ? 2? , B ? ? y ? R y ? 2 , x ? R? ,则 A B =(
x

B. 5 ? 4i

C. 3 ? 4i

D. 3 ? 4i



3? B. ? 0,

3? C. ? 0,

3? D. ? ?1,

3.设 a ? log? 3 , b ? 20.3 , c ? log 2 A. b ? a ? c 4.“ sin x ?

1 , 则( ) 3 B. a ? c ? b C. c ? a ? b


D. a ? b ? c

3 ? ”是“ x ? ”的( 2 3

A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 5.若 a,b,c 为实数,且 a<b<0,则下列命题正确的是( ) 1 1 b a A.ac2<bc2 B. < C. > D.a2>ab>b2 a b a b 6.把函数 y ? sin 3 x 的图象适当变化就可以得 y ? 这个变化可以是( )

2 (sin 3 x ? cos 3 x) 的图象, 2

A.沿 x 轴方向向右平移 C.沿 x 轴方向向左平移

?

? 4

4

B.沿 x 轴方向向右平移 D.沿 x 轴方向向左平移

?
12

?

12

7、如图,在△ OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,

OP =x OA +y OB ,且 BP =2 PA ,则( ) 2 1 1 2 1 3 A、x= ,y= B、x= ,y= C、x= ,y= 3 3 3 3 4 4 cos 6 x 8.函数 y ? x 的图象大致为 ( ) 2 ? 2? x

D、x=

3 1 ,y= 4 4

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A

B

C , ,则

D

9.设等差数列{ }的前 n 项和为 ,且满足 中最大的项为( A. )

s8 a8

B.

s9 a9

C.

s10 a10

D.

s11 a11

? ?? 10.给出如下性质:① 最小正周期为?;② 图象关于直线 x= 对称;③ 在(- , )上是增函数. 3 63 则同时具有上述性质的一个函数是 ( ) x ? x? ? ? A.y=sin( + ) B.y=cos( - ) C. y=sin(2x- ) D.y=cos(2x+ ) 2 6 26 6 3 第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题纸上) 11. 已知数列{ }中, 12.已知 x,y 满足条件若 处取得最大值,则 a 的取值范围是 13.已知
2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8



,则

_________

目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(2,0) .
4 4+ =4 15 4 ,…,若 15 a 7+ =7 b a ,(a、b 均为 b

正实数),则类比以上等式,可推测 a、b 的值,进而可得 a+b=

. .

14.已知 x>0,y>0,且 2 ? 1 =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围 x y

15. 定义:如果函数 y ? f ( x) 在定义域内给定区间 [a,b] 上存在 x0 (a ? x0 ? b) ,满足 f (b) ? f (a ) f ( x0 ) ? ,则称函数 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数”, x0 是它的一个均 b?a 值点.例如 y=| x |是 [?2 ,2] 上的“平均值函数”,0 就是它的均值点.给出以下命题: 2? ] 上的“平均值函数”. ①函数 f ( x) ? cos x ? 1 是 [?2? ,

a?b . 2 1] 上的“平均值函数”,则实数 m 的取值范围是 m ? (0 ,2) . ③若函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1 是 [?1, ④ 若 f ( x) ? ln x 是区间[a,b] (b>a≥1)上的“平均值函数”, x0 是它的一个均值点, 1 则 ln x0 ? . 其中的真命题有 . (写出所有真命题的序号) ab 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知不等式 x? -5ax+b>0 的解集为{x|x>4 或 x<1}. (Ⅰ )求实数 a,b 的值; a b (Ⅱ )若 0<x<1, f(x)= + ,求 f(x)的最小值. x 1-x
②若 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数”,则它的均值点 x0≥

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17. (本小题满分12分) 已知单调递增的等比数列 ?a n ? 满足: a 2 ? a3 ? a 4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项. (I) 求数列 ?a n ? 的通项公式;
2

(II) 若 bn ? a n ? log 1 a n ,s n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 求 s n ? n ? 2 n ?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小值.

18. (本小题满分12分)

3 4 2 (I)当 a // b 时,求 cos x ? sin 2 x 的值; (II)设函数 f ( x) ? 2(a ? b) ? b ,已知在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,
已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cos x, ?1) .

? ? 若 a ? 3 , b ? 2 , sin B ? 6 ,求 f ( x) ? 4 cos(2 A ? ) ( x ? [0, ] )的取值范围. 3 6 3

19. (本小题满分12分) 为迎接 2014 年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行 促销 . 经调查测算,该促销产品在 “ 双十一 ” 的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足: 2 (其中 0 ? x ? a ,a 为正常数).已知生产该产品还需投入成本 10 ? 2 p 万元(不含促销 p ? 3? x ?1 费用),产品的销售价格定为 (4 ? 20 ) 元/件,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售
p

需求. (I)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (II)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润的值.

20. (本小题满分13分)

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1 ?S ,n ? 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,通项公式为 an= ,f(n)= ? 2n , n S ? S ,n ? 2

?

2n

n ?1

(I)计算 f(1),f(2),f(3)的值; (II)比较 f(n)与 1 的大小,并用数学归纳法证明你的结论.

21. (本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? x ? a )e . (I)若函数 y ? f ( x) 在点(0, f (0) )处的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值;
2 ?x

(II)当 x ? ? 0, 4? 时, f ( x) ? e ?4 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2014-2015 学年第一学期 2012 级第三次阶段学习达标检测

数学(文科)试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. DDABD ADDCC 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.

(?2,1)

12.

3

13. [

1 , 4] 2

14.

7 12

15.①②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.

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3 3 ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ? ? 0 x x 又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 900 3 1 1 61 (2)设利润为 y 元,则 y ? ?100(5 x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] x x x 6 12 故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元.
17.(1)根据题意, 200(5 x ? 1 ? 18.【答案】

19.【答案】

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f (3) ? 2 ? 6 ln 3
20. 解 解 (1) 数 列

?an ?

为 等 差 数 列 , 所 以 d ? 1 (a5 ? a3 ) ? 2, 又 因 为 2

a 3 ? 5,? a1 ? 1,? an ? 2n ? 1 ………………………………2 分

由 S n?bn ? 2, 得S n ? 2 ? bn n=1 时, S1 ? 2 ? b1 ? b1 ,? b1 ? 1

n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? 2 ? bn ? (2 ? bn ?1 )
所以 bn ? 1 bn ?1 ……………………………4 分
2

1 为公比的等比数列? ?1? ?bn ?是以1为首项, bn ? ? ? 2
?2?

n ?1

…………………6 分

(2)由(1)知, cn ? an ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ……………………7 分 bn

Tn ? 1 ? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ......(2n ? 3) ? 2n ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 2Tn ? 1 ? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ......(2n ? 3) ? 2n ?1 ? (2n ? 1) ? 2n ……………9 分
? ?Tn ? 1 ? 2 ? 21 + 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ......2 ? 2n ?1 ? (2n ? 1)2n
n ?1 = 1 ? 2 2(1 ? 2 ) ? (2n ? 1)2n =1-4+ (3 ? 2n)2n ………………………11 分

1? 2

? Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n ………………13 分
21.【答案】(Ⅰ ) 当k
x

? 1 时, f ? x ? ? ? x ? 1? e ? x 2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2

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当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

x
f ?? x?
f ? x?

? ??, 0 ?
?

0

? 0, ln 2 ?
?

ln 2

? ln 2, ?? ?
?

0
极 大 值

0
极 小 值

右表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0, ln 2 ? ,递增区间为 ? ??, 0 ? , ? ln 2, ?? ? . (Ⅱ )

f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2kx ? xe x ? 2kx ? x ? e x ? 2k ? , 令 f ? ? x ? ? 0 , 得

x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? ,
1 1? k ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k k ?2 ? 所以 g ? k ? ? ln 2 ? 1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ? ? 0, k ?
令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ? 所以当 x ? 0, ln ? 2k ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ln ? 2k ? , ?? 时, f ? ? x ? ? 0 ; 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e k ? k 3 令 h ? k ? ? ? k ? 1? e ? k ? 1 , 则
k 3
k

?

?

?

?

?

? h? ? k ? ? k ? e ? 3k ?

?

?

, 令

? ? k ? ? e k ? 3k , 则

? ? ? k ? ? ek ? 3 ? e ? 3 ? 0
3? ?1 ? ?1? ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2 ? ?2? ? ?1 ? ?1 ? 所以 存在 x0 ? ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 , 且当 k ? ? , x0 ? 时 , ? ? k ? ? 0 , 当 k ? ? x0 ,1? ?2 ? ?2 ? 时, ? ? k ? ? 0 ,
所以 ? ? k ? 在 ?

?1 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减. ?2 ? 1 7 ?1? ?1 ? 因为 h ? ? ? ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , 所以 h ? k ? ? 0 在 ? ,1? 上恒成立 , 当且仅当 2 8 ?2? ?2 ? k ? 1 时取得“ ? ”. k 3 综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ? 1? e ? k .
所以 ? ? k ? 在 ?


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