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高中数学竞赛辅导教学案(空间距离与角)


高一数学竞赛辅导材料

空间角和距离

广州市番禺区教育局教研室 严运华

一 方法指要
1. 二面角的求法: (1)定义法:作出二面角的平面角.常用作法有:三垂线定理法,辅助垂面法, 平移法等. (2)面积射影定理:设平面 ? 内面积为 S 的某一平面图形在另一平面 ? 内的 射影的面积为 S ' 则

平面 ? 与平面 ? 夹角满足 cos ?
S' S

(3)异面直线上两点间距离公式法: EF ? d 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos? ,其中 E, F 分别为二面角两个面上的点, E, F 到棱的距离分别为 m, n , d 是 E, F 在棱上射影间的距离, ? 是二面角的度数 2. 异面直线距离的求法 (1)定义法:作出异面直线的公垂线段 (2)线面平行法:已知异面直线 a,b,若 a 平行于 b 所在的平面 ? ,则 a 与 ? 距离就是 a 与 b 的距离 (3)线面垂直法:已知异面直线 a,b,若 a 垂直与 b 所在平面 ? ,则垂足到直 线的距离就是 a 与 b 的距离. (4)体积法:把异面直线的距离转化为求某类几何体的高,借助与体积相等 来建立方程来求高. (5)最值法:根据异面直线距离为了解异面直线上任意两点间线段长的最小 值,利用求极值的方法. (6)异面直线上两点间距离公式法 EF ? d 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos? 3. 空间点到平面(线面距离,面面距离)的距离的求法: (1)直接过点作平面的垂线 (2)体积法 注:无论是求角还是求距离,其方法大致可以分为两类:一类是直接法,即作 出所求的角和距离;另一类是转化法. 二 题型示例 1.选择题 (1)如图正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上使得 AE CF ? ? ? (? ? 0) ,记 f (?) ? ?? ? ? ? ,其中 ? ? 表示 EF 与 AC 所成的角 EB FD A ? ? 表示 EF 与 BD 所成的角,则 (A) f (? ) 在 (0 ,?? ) 单调增加 (B) f (? ) 在 (0 ,?? ) 单调减少 E (C) f (? ) 在 (0 ,1) 单调增加 f (? ) 在 (1 ,?? ) 单调减少 (D) f (? ) 在 (0 ,?? ) 为一常数. B
F C

D

(2)三棱锥 V-ABC,AH ? 侧面 VBC,且 H 是 ?VBC的垂心,已知二面角 H-AB— C 平面角为 30 0 ,则 VC 与平面 ABC 所成的角为( ) (A)30 0 (B)60 0 (C)45 0 (D)90 0 (3)在正方体的 12 条面对角线所在的直线中存在异面直线,如果其中两条 异面直线间的距离为 1,那么,这个正方体棱长可能的的值的集合是 3 (A) ? 1 ? (B) (C) 1 , 3 (D) 1, 2

? ?

?

?

?

?

2.填空题 (1)已知一平面与一正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 12 条棱的夹角都等于 ? , 则 sin? ? 异面直线 B1 D1 与 A1C 的距离为 (2)已知将给定的两个全等的正三棱柱的底面粘在一起恰得到一个所有二 面角都相等的六面体,并且设六面体的最短棱长 2,则最远两个顶点距 离为 (3)在棱长 3 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为棱 AA1 上,且 A1 E ? 1 , F 为截面 A1 BD 内一动点,则 AF ? EF 的最小值为 (4)已知三棱锥 P-ABC 中,PA ? 底面 ABC, AB=AC=BC=PA=a, AH ? 平面 PBC 于 H,则二面角 B-PC-A 的正弦为 3.解答题 (1) 在 正 方 体 A B CD A1 B1C1 D1 中 ,E 为 BC 的 中 点 , F 在 AA1 上 , 且 ? A1 F : FA ? 1 : 2 ,求平面 B1 EF 与底面 A1 B1C1 D1 所成的二面角. (2).设 l, m 是两条异面直线,在 l 上有三点 A, B, C 且 AB ? BC 过 A, B, C 分别作 m 的垂线 AD , BE , CF ,垂足分别为 D, E, F 7 已知 AD ? 15 BE ? CF ? 10 ,求 l 与 m 的距离 2 (3)正四棱锥 V-ABC 底面边长为 2,侧棱长为 3,过底面 AB 的截面交侧棱 VC 于 P,(1)若 P 为 VC 中点,求截面面积 (2)求截面 PAB 面积的最小值. (4) (5)


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