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2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习


2015 届高三文科数学立体几何空间角专题复习
考点 1:两异面直线所成的角 例 1.如图所示,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点 (Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1

例 2. (2010 全国卷 1 文数) 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 若 ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 , 则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( C (A) 30° 变式训练: (B) 45° ) (D) 90°

(C) 60°

2 AB , E 为 AA1 中点, 1.(2009 全国卷Ⅱ文)已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1=
则异面直线 BE 与 CD1 所形成角的余弦值为( C)

(A)

10 10

(B)

1 5

(C)
?

3 10 10

(D)

3 5

2.如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 , ?BCA ? 90 ,点 D1 、 F 1 分别是 A 1B 1 、 AC 1 1 的中点,

1

BC ? CA ? CC1 ,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是(
A.
30 10



B.

1 2

C.

30 15

D.

15 10

3. ( 2012 年 高 考 ( 陕 西 理 )) 如 图 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 有 直 三 棱

ABC ? A1B1C1 , CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为
A.





5 5

B.

5 3

C.

2 5 5

D.

3 5
C1 B1 N D C B

D1

A1
D A
第 3 题图

C1 B1
C
B
A1

D1

M

A

第 4 题图

第 5 题图

4.(2007 全国Ⅰ·文)如图,正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ,则异面直线 A 1B 与 AD1 所成角的余弦值为( A. )

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

M 、N 分别是 CD 、 5. ( 2012 年高考 (四川文理) ) 如图,在正方体 ABCD ? A CC1 1B 1C1D 1 中,
的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是____________.90? 6.(2011 年全国二文 15)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 2 AE 与 BC 所成角的余弦值为________. 3

M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 7. 已知正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的各条棱长都相等,

AB1和BM 所成的角的大小是



8(2011 年上海文)已知 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA 1 ? 2 ,求 (1)异面直线 BD 与 AB1 所成角的余弦值;

10 (2)四面体 AB1D1C 的体积. 10
A D B C

A1

D1 C1

2

B1

考点 2:直线与平面所成的角 例 3.正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( D )

(A)

2 3

(B)

3 3

(C)

2 3

(D)

6 3

例 4.(2011 年天津文 17)如图 1-7,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ∠ADC=45° ,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点. (1)证明 PB∥平面 ACM;(2)证明 AD⊥平面 PAC; (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.

图 1-7 图 1-8 【解答】 (1)证明:连接 BD,MO.在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点.又 M 为 PD 的中点,所以 PB∥MO.因为 PB?平面 ACM,MO?平面 ACM, 所以 PB∥平面 ACM. (2)证明:因为∠ADC=45° ,且 AD=AC=1,所以∠DAC=90° ,即 AD⊥AC.又 PO⊥平 面 ABCD,AD?平面 ABCD,所以 PO⊥AD.而 AC∩PO=O,所以 AD⊥平面 PAC. 1 (3)取 DO 中点 N,连接 MN,AN.因为 M 为 PD 的中点,所以 MN∥PO,且 MN= PO 2 =1.由 PO⊥平面 ABCD,得 MN⊥平面 ABCD,所以∠MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成 1 5 1 5 的角.在 Rt△DAO 中, AD=1, AO= ,所以 DO= .从而 AN= DO= .在 Rt△ANM 中, 2 2 2 4 MN 1 4 5 4 5 tan∠MAN= = = ,即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 . AN 5 5 5 4 变式训练 9.(20008 福建卷理)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为(D) A.

6 3

B.

2 6 5

C.

15 5

D.

10 5

?
?
B

?A
?

第 9 题图

第 10 题图
3

第 11 题图

10.(2010 四川文理 15)如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60°,线段 AB ? ? . B ? l ,

AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是

.

3 4

11. 已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 DA ? 1, DC ? 2, DD 1 ? 3 ,求直线 BB1 与平面 A 1 BC1 所成的角。

12.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (Ⅱ) 当 PD ? 的大小.

2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角

13.【2012 高考天津文科 17】 (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2 3 ,PD=CD=2. (I)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (II)证明平面 PDC⊥平面 ABCD; (III)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。

4

【解析】 (I) AD / / BC ? ? PAD 是 PA 与 BC 所成角 在 ?ADP 中, AD ? PD, AD ? BC ? 1, PD ? 2 tan ?PAD ? 异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2 (II) AD ? PD, AD ? DC, PD

PD ?2 AD

DC ? D ? AD ? 面 PDC

AD ? 面 ABCD ? 平面 PDC ? 平面 ABCD (III)过点 P 作 PE ? CD 于点 E ,连接 BE 平面 PDC ? 平面 ABCD ? PE ? 面 ABCD ? ?PBE 是直线 PB 与平面 ABCD 所成


CD ? PD ? 2, PC ? 2 3 ? ?PDC ? 120? ? PE ? 3, DE ? 1
在 Rt ?BCE 中, BE ?

BC2 ? CE2 ? 10 ? PB ? BE2 ? PE2 ? 13
PE 39 ? PB 13 39 13

在 Rt ?BPE 中, sin ?PBE ?

得:直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为

14.【2012 高考湖南文 19】 (本小题满分 12 分) 如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC, AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

[ 中国^ 教* ~育出# 版%

【答案】 【解析】 (Ⅰ)因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD, 所以PA ? BD. 又 AC ? BD, PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC,

5

而 PC ? 平面 PAC,所以 BD ? PC . (Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC, 所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO ? 30 . 由 BD ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC,知 BD ? PO . 在 Rt POD 中,由 ?DPO ? 30 ,得 PD=2OD. 因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AC ? BD ,所以 从而梯形 ABCD 的高为

AOD, BOC 均为等腰直角三角形,

1 1 1 AD ? BC ? ? (4 ? 2) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积 2 2 2

1 S ? ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 2
在等腰三角形AOD中, OD ? 所以 PD ? 2OD ? 4 2, PA ?

2 , AD ? 2 2, 2

PD2 ? AD2 ? 4.
1 1 ? S ? PA ? ? 9 ? 4 ? 12 . 3 3

故四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ?

【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一 问只要证明 BD ? 平面 PAC 即可,第二问由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC,所以 ?DPO 是直 线 PD 和平面 PAC 所成的角, 然后算出梯形的面积和棱锥的高, 由V ?

1 ? S ? PA 算得体积. 3

15.(2011 年· 湖南文 19)如图 1-5,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2,⊙O 的直径 AB=2,点 C 在 AB 上,且∠CAB=30° ,D 为 AC 的中点. (1)证明:AC⊥平面 POD; (2)求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值.

6

图 1-5 课标文数 19.G5,G11[2011· 湖南卷] 【解答】 (1)因为 OA=OC,D 是 AC 的中点,所以 AC⊥OD. 又 PO⊥底面⊙O,AC?底面⊙O,所以 AC⊥PO. 而 OD,PO 是平面 POD 内的两条相交直线, 所以 AC⊥平面 POD. (2)由(1)知,AC⊥平面 POD,又 AC?平面 PAC, 所以平面 POD⊥平面 PAC. 在平面 POD 中,过 O 作 OH⊥PD 于 H,则 OH⊥平面 PAC.

图 1-6 连结 CH,则 CH 是 OC 在平面 PAC 上的射影, 所以∠OCH 是直线 OC 和平面 PAC 所成的角. 1 在 Rt△ODA 中,OD=OA· sin30° = . 2 在 Rt△POD 中, 1 2× 2 PO· OD 2 OH= = . 2 2= 3 1 PO +OD 2+ 4 OH 2 在 Rt△OHC 中,sin∠OCH= = . OC 3 2 故直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值为 . 3 考点 3:二面角 例 5. 11. 如图,在底面为平行四边表的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD,且 PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)求证: PB // 平面 AEC ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的大小.

例 6.(2011 浙江文 20)如图 1-7,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO ⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上. (1)证明:AP⊥BC; (2)已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角 B-AP-C 的大小.

7

图 1-7 课标文数 20.G11[2011· 浙江卷] 【解答】 (1)证明:由 AB=AC,D 是 BC 中点,得 AD ⊥BC,

又 PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC, 因为 PO∩AD=O,所以 BC⊥平面 PAD,故 BC⊥AP. (2)如图,在平面 APB 内作 BM⊥PA 于 M,连 CM. 因为 BC⊥PA,得 PA⊥平面 BMC,所以 AP⊥CM. 故∠BMC 为二面角 B-AP-C 的平面角. 在 Rt△ADB 中,AB2=AD2+BD2=41,得 AB= 41. 在 Rt△POD 中,PD2=PO2+OD2, 在 Rt△PDB 中,PB2=PD2+BD2, 所以 PB2=PO2+OD2+BD2=36,得 PB=6. 在 Rt△POA 中,PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5. PA2+PB2-AB2 1 又 cos ∠BPA= = , 2PA· PB 3 2 2 从而 sin∠BPA= . 3 故 BM=PBsin∠BPA=4 2. 同理 CM=4 2.因为 BM2+MC2=BC2, 所以∠BMC=90° , 即二面角 B-AP-C 的大小为 90° . 变式训练:

16. (09 陕西文) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB=1, AC ? AA ∠ABC=60 . 1 ? 3,
0

(Ⅰ)证明: AB ? AC ; 1 (Ⅱ)求二面角 A— AC 1 —B 的正切值。 B1 A1 C1

8

A

C

B

CA ? CB , C?? , 17. (07 湖南文) 如图 3, 已知直二面角 ? ? PQ ? ? ,A ? PQ ,B ? ? ,
?BAP ? 45? ,直线 CA 和平面 ? 所成的角为 30 .
(Ⅰ)证明 BC ? PQ ; (Ⅱ)求二面角 B ? AC ? P 的正切值.

18. 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , A C ? B C? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB , P PC ? AC . (Ⅰ)求证: PC ? AB ; A B (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 APB 的距离. C

巩固与提高 1.如图 5 所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD 1 的中点。 (Ⅰ)求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (Ⅱ)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F//平面 A1BE?证明你的结论。 A1 B1 A B 图5
9

D1 C1 E D C

2. 如图, 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB=2, BB1=BC=1, E 为 D1C1 的中点, 连结 ED, EC,EB 和 DB. (1)求证:平面 EDB⊥ 平面 EBC; (2)求二面角 E-DB-C 的正切值.

(第 18 题)

证明:(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点.∴ △DD1E 为等腰直角三角形, ∠D1ED=45°. 同理∠C1EC=45°. ∴ ?DEC ? 90? , 即 DE⊥EC. 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,BC⊥平面 D1DCC1 ,又 DE ? 平面 D1 DCC1 , ∴BC⊥DE.又 EC ? BC ? C ,∴DE⊥平面 EBC.∵平面 DEB 过 DE,∴平面 DEB⊥ 平面 EBC. (2)解:如图,过 E 在平面 D1DCC1 中作 EO⊥DC 于 O.在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,∵面 ABCD⊥面

D1DCC1 ,∴EO⊥面 ABCD.过 O 在平面 DBC 中作
OF⊥DB 于 F,连结 EF,∴EF⊥BD.∠EFO 为二面角

E-DB-C 的平面角.利用平面几何知识可得 OF=
又 OE=1,所以,tan ? EFO= 5 .

1 , 5

(第 18 题)

3. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 DD1 的中点. (1)求证: BD1 ∥平面 AEC ; (2)求 BC1 与平面 ACC1 A1 所成的角.

10

4.[2014· 湖南卷文] 如图 13 所示,已知二面角 αMNβ 的大小为 60°,菱形 ABCD 在面 β 内,A,B 两点在棱 MN 上,∠BAD=60°,E 是 AB 的中点,DO⊥面 α,垂足为 O. 图 13 (1)证明:AB⊥平面 ODE; (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值.

18.解:(1)证明:如图,因为 DO⊥α,AB?α ,所以 DO⊥AB. 连接 BD, 由题设知, △ABD 是正三角形, 又 E 是 AB 的中点, 所以 DE⊥AB.而 DO∩DE =D,故 AB⊥平面 ODE.
11

(2)因为 BC∥AD,所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角,即∠ADO 是 BC 与 OD 所成的角. 由(1)知,AB⊥平面 ODE,所以 AB⊥OE.又 DE⊥AB,于是∠DEO 是二面角 αMNβ的 平面角,从而∠DEO=60°. 不妨设 AB=2,则 AD=2,易知 DE= 3. 3 在 Rt△DOE 中,DO=DE· sin 60°= . 2 DO 连接 AO,在 Rt△AOD 中,cos∠ADO= = AD 3 2 3 = . 2 4 3 故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 . 4 5. ( 2009 浙 江 卷 文 ) ( 本 题 满 分 14 分 ) 如 图 , DC ? 平 面 ABC , EB / / DC ,

AC ? BC ? EB ? 2 DC ? 2 , ?ACB ? 120 , (I) 证明: P, Q 分别为 AE, AB 的中点. PQ / /
平面 ACD ; (II)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值. (Ⅰ) 证明: 连接 DP, CQ , 又 DC // 面 ACD (Ⅱ)在 ?ABC 中, AC ? BC ? 2, AQ ? BQ ,所以 CQ ? AB 而 DC ? 平面 ABC, EB // DC ,所以 EB ? 平面 ABC 而 EB ? 平面 ABE, 所以平面 ABE ? 平面 ABC, 所以 CQ ? 平面 ABE 由(Ⅰ)知四边形 DCQP 是平行四边形,所以 DP // CQ 所以 DP ? 平面 ABE, 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP, 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 ? DAP 在 Rt ?APD 中 , 在 ?ABE 中, 所以 PQ // P, Q 分别是 AE, AB 的中点,

??

1 BE , 2

1 BE ,所以 PQ // DC ,又 PQ ? 平面 ACD ,DC ? 平面 ACD, 所以 PQ // 平 ?? ?? 2

AD ? AC2 ? DC 2 ? 22 ? 12 ? 5



DP ? CQ ? 2 sin ?CAQ ? 1
所以 sin ?DAP ?

DP 1 5 ? ? AD 5 5

6.(2009 湖北卷文) (本小题满分 12 分)
12

如图,四棱锥 S=ABCD 的底面是正方形,SD⊥平面 ABCD,SD=AD=a,点 E 是 SD 上的 点,且 DE= ? a(0< ? ≦1). (Ⅰ)求证:对任意的 ? ? (0、1) ,都有 AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角 C-AE-D 的大小为 60 C,求 ? 的值。
0

本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和 二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运 算求解能力。 (满分 12 分) (Ⅰ)证发 1:连接 BD,由底面是正方形可得 AC ? BD。

? SD ? 平面ABCD,? BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影,
由三垂线定理得 AC ? BE. (II)解法 1:? SD ? 平面 ABCD,CD ? 平面ABCD,? SD ? CD. 又底面ABCD是正方形,? CD ? AD,又SD ? AD=D,? CD ? 平面 SAD。 过点 D 在平面 SAD 内做 DF ? AE 于 F,连接 CF,则 CF ? AE, 故 ? CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角,即 ? CFD=60° 在 Rt△ADE 中,? AD= a , DE= ? a , AE= a 于是,DF=

?2 ? 1 。

AD ? DE ?a ? AE ?2 ? 1 DF ? ? CD ?2 ? 1

在 Rt△CDF 中,由 cot60°=



? ? ?1
2

?

3 , 3

即 3?2 ? 3 =3 ?

13

? ? (0,1] , 解得 ? =

2 2

7.[2014· 天津卷文] 如图 14 所示,四棱锥 P -ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,BA=BD = 2,AD=2,PA=PD= 5,E,F 分别是棱 AD,PC 的中点.

(1)证明:EF∥平面 PAB; (2)若二面角 PADB 为 60°. (i)证明:平面 PBC⊥平面 ABCD; (ii)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

17.解:(1)证明:如图所示,取 PB 中点 M,连接 MF,AM.因为 F 为 PC 中点,所以 1 MF∥BC,且 MF= BC.由已知有 BC∥AD,BC=AD,又由于 E 为 AD 中点,因而 MF∥AE 2 且 MF=AE,故四边形 AMFE 为平行四边形,所以 EF∥AM.又 AM?平面 PAB,而 EF?平面 PAB,所以 EF∥平面 PAB. (2)(i)证明:连接 PE,BE.因为 PA=PD,BA=BD,而 E 为 AD 中点,所以 PE⊥AD, BE⊥AD, 所以∠PEB 为二面角 P AD B 的平面角. 在△PAD 中, 由 PA=PD= 5, AD=2, 可解得 PE=2.在△ABD 中,由 BA=BD= 2,AD=2,可解得 BE=1.在△PEB 中,PE=2, BE=1, ∠PEB=60?, 由余弦定理, 可解得 PB= 3, 从而∠PBE=90?, 即 BE⊥PB.又 BC∥AD, BE⊥AD, 从而 BE⊥BC, 因此 BE⊥平面 PBC.又 BE?平面 ABCD, 所以平面 PBC⊥平面 ABCD. (ii)连接 BF,由(i)知,BE⊥平面 PBC,所以∠EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角.由 1 3 11 11 PB= 3及已知,得∠ABP 为直角,而 MB= PB= ,可得 AM= ,故 EF= .又 BE 2 2 2 2 BE 2 11 =1,故在直角三角形 EBF 中,sin∠EFB= = .所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正 EF 11 2 11 弦值为 . 11 8.[2014· 浙江卷文] 如图 1?5,在四棱锥 A ? BCDE 中,平面 ABC⊥平面 BCDE,∠CDE= ∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC= 2.

图 15
14

(1)证明:AC⊥平面 BCDE; (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值. 20.解:(1)证明:连接 BD,在直角梯形 BCDE 中,由 DE=BE=1,CD=2,得 BD= BC= 2,由 AC= 2,AB=2,得 AB2=AC2+BC2,即 AC⊥BC.

又平面 ABC⊥平面 BCDE,从而 AC⊥平面 BCDE. (2)在直角梯形 BCDE 中,由 BD=BC= 2,DC=2,得 BD⊥BC. 又平面 ABC⊥平面 BCDE,所以 BD⊥平面 ABC. 作 EF∥BD,与 CB 的延长线交于点 F,连接 AF,则 EF⊥平面 ABC. 所以∠EAF 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角. π 2 2 在 Rt△BEF 中,由 EB=1,∠EBF= ,得 EF= ,BF= ; 4 2 2 3 2 在 Rt△ACF 中,由 AC= 2,CF= , 2 得 AF= 26 . 2 2 26 ,AF= , 2 2

在 Rt△AEF 中,由 EF= 得 tan∠EAF= 13 . 13

所以,直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值是

13 . 13

15


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