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学案3.2均值不等式答案


学案 3.2 均值不等式
基础梳理
a+b 2 问题 1:均值不等式成立的条件: a>0,b>0. 问题 2:等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. a+b 问题 3: ab 两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 2 a+b?2 问题 4: (1) 2ab (2) 2 (3) ? (4)≥ ? 2 ?

知识点一.

>
ab≤

【小试身手】
a+b 2ab 8 a+b 5 2ab 1. 【解析】 方法一:令 a=4,b=1,则 = , = , ab=2,∴ > ab> . 2 2 2 a+b 5 a+b a+b 2 1 2ab 方法二:∵ > ab,∴ < ,∴ < ab,选 C.【答案】 C 2 a+b ab a+ b 2. C[解析] A 中没有强调 x>0 不能直接运用基本不等式,故不对.B 中虽然 x∈(0,π),sinx> 0,但运用基本不等式后,等号成立的条件是 sinx= 4 即 sinx=± 2 矛盾,所以等号取不到,故 sinx

4 - 不对.C 中 3x>0,∴可直接运用基本不等式 3x+4· 3 x≥2 4=4,当且仅当 3x= x,即 3x=2,x 3 =log32 时取等号,故正确.D 中由于没有给出 x 的范围,所以 lgx 不一定大于 0,故不对.

知识点二.利用基本不等式求最值问题
(1) x=y 最小值是 2 p. p2 (2)x=y 最大值是 4

【小试身手】
1 3.解析 ∵x>0,∴y=x+ ≥2,当且仅当 x=1 时取等号.答案 C x 2 t -4t+1 1 4.解析 ∵t>0,∴y= =t+ -4≥2-4=-2,当且仅当 t=1 时取等号. t t 答案 -2 1 1 9 3 1 5.解析:由 x(3-3x)= ×3x(3-3x)≤ × = ,当且仅当 3x=3-3x,即 x= 时“=”成立. 3 3 4 4 2 答案: B 400 1 600 6.20[解析] 设一年总费用为 y 万元,则 y=4× +4x= +4x≥160, x x 1 600 当且仅当 =4x,即 x=20 时取等号,所以当 x=20t 时,一年的总费用最小. x

考向一

利用基本不等式求最值
学案答案第 5 页

【例 1】(1)分析:此题为条件最值,考虑从条件能否得到 xy 的不等式,或能否转化为只含 x 或只含 y 的函数式,或“1”的代换. 2 3 [解析] 解法 1: + =1≥2 x y 时不等式取得等号. 2 3? 解法 2:整体代换法 xy=xy? ?x+ y?=2y+3x≥2 6xy? xy≥2 6, 即 xy≥24.当且仅当 2y=3x, 即 x=4,y=6 时不等式取得等号. 解法 3:三角换元法 2 3 π 6 24 令 =sin2α, =cos2α,α∈(0, ),故 xy= 2 = ≥24,当且仅当 sin22α=1?α x y 2 sin αcos2α sin22α π = ,即 x=4,y=6 时不等式取得等号. 4 3 2 x-2 3x 3x 解法 4:∵ =1- = ∴y= ,∵x>0,y>0,即 >0,∴x>2, y x x x-2 x-2 ?x-2?2+4?x-2?+4 3x2 ∴xy= =3 x-2 x-2 4 ? =3??x-2?+x-2+4?≥3?2 6 2 3 1 ? xy≥2 6?xy≥24,当且仅当 = = ,即 x=4,y=6 xy x y 2

?

?

?

4 ? ?x-2?· +4?=24. x-2 ?

当且仅当 x-2=2,即 x=4 时成立.∴x=4,y=6 时,xy 取最小值 24. (2)∵x>0,∴f(x)= 答案 2x 2 2 1 = ≤ =1,当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号. 1 2 x x2+1 x+ x

(1)3+2 2 (2)1 用基本不等式求函数的最值时,关键在于将函数变形为两项的和或积,使这两项的和 或积或平方和为定值,然后用基本不等式求出最值;在求条件最值时,一种方法是消元,转化为 函数的最值, 另一种方法是将要求最值的表达式变形, 然后用基本不等式使要求最值的表达式放 缩为一个定值,不管哪种题,哪种方法,在用基本不等式求最值时都必须要验证等号是否成立. 【训练 1】(1)C [解析] 该题考查均值不等式求最值,注意“一正二定三相等”属基础题. 1 1 f(x)=x+ (x>2)=x-2+ +2≥2 x-2 x-2 当且仅当 x-2= 1 ?x-2?· +2=4. x-2

1 ,即(x-2)2=1,∵x>2,∴x-2>0,∴x-2=1,即 a=3. x-2

(2) 2[解析] ∵x>0,y>0,∴x+4y=40≥2 4xy,∴xy≤100.lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2. 当且仅当 x=4y=20,即 x=20,y=5 时,等号成立. 学案答案第 6 页

(3) (文)[分析] 注意 1 的代换与使用, 也可以三角换元. 注意运用基本不等式时等号成立的条件. 2y x 1 1 x+2y x+2y + [解析] ∵x、 y∈R , x+2y=1, ∴x+y = x + y =3+ x +y ≥3+2 2y x 2 等号在 x =y 且 x+2y=1 即 y=1- ,x= 2-1 时成立. 2 [点评] 本题常有以下错误解法:∵1=x+2y≥2 2xy,∴ 1 1 ∴x+y ≥2 1 xy≥4 2. 1 ≥2 2, xy 2y x x· y =3+2 2.

错误的原因在两次运用基本不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须 x=2y,第二次须 x =y). (理)[分析] 可消去一个变量, 将 x+y 用一个变量表示, 再配凑出能运用基本不等式的条件. 2x [解析] 由 2x+8y-xy=0 得 y(x-8)=2x.∵x>0,y>0,∴x-8>0,y= . x-8 ?2x-16?+16 2x 16 u=x+y=x+ =x+ =(x-8)+ +10≥2 x-8 x-8 x-8 等号在 x-8= 16 即 x=12,y=6 时成立. x-8 16 ?x-8?· +10=18. ?x-8?

考向二

利用基本不等式证明不等式

【例 2】 [审题视点] 先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质相加得到. bc ca bc ca 证明 ∵a>0,b>0,c>0,∴ + ≥2 · =2c; a b a b bc ab bc ab ca ab ca ab + ≥2 · =2b; + ≥2 · =2a. a c a c b c b c bc ca ab? bc ca ab 以上三式相加得:2? ? a + b + c ?≥2(a+b+c),即 a + b + c ≥a+b+c. 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式 和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题. a+b 1 b 【训练 2】[解析] 方法一 因为 a>0,b>0,a+b=1.所以 1+ =1+ =2+ . a a a 1?? 1? ? b?? a? 1 a ?b a? 同理 1+ =2+ .所以? ?1+a??1+b?=?2+a??2+b?=5+2?a+b?≥5+4=9. b b 1?? 1? 1 所以? ?1+a??1+b?≥9(当且仅当 a=b=2时等号成立). 1?? 1? a+b 1 1 1 1 2 方法二 ? ?1+a??1+b?=1+a+b+ab=1+ ab +ab=1+ab, 因为 a,b 为正数,a+b=1,所以 ab≤? a+b?2 1 1 2 ? 2 ? =4,于是ab≥4,ab≥8,

学案答案第 7 页

1?? 1? 1 因此? ?1+a??1+b?≥1+8=9(当且仅当 a=b=2时等号成立).

考向三
【例 3】 [审题视点] 先求
2

利用基本不等式解决恒成立问题

x x (x>0)的最大值,要使得 2 ≤a(x>0)恒成立,只要 x +3x+1 x +3x+1

x (x>0)的最大值小于等于 a 即可. x2+3x+1 x x 解析 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,只需求得 y= 2 的最大值即可,因为 x>0, x +3x+1 x +3x+1 x 1 1 1 所以 y= 2 = ≤ = ,当且仅当 x=1 时取等号,所以 a 的取值范围是 1 x +3x+1 1 5 x+ +3 2 x · x x 1 1 ? ,+∞? ? 答案 ? ?5 ? ?5,+∞? 当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时, 可直接求出这个最值(最值可能含 有参数),然后建立关于参数的不等式求解. 【训练 3】解析 由 x>0,y>0,xy=x+2y≥2 2xy,得 xy≥8,于是由 m-2≤xy 恒成立,得 m-2≤8,m≤10,故 m 的最大值为 10. 答案 10

考向四

利用基本不等式解实际问题

【例 4】[审题视点] 用长度 x 表示出造价, 利用基本不等式求最值即可. 还应注意定义域 0<x≤5; 函数取最小值时的 x 是否在定义域内,若不在定义域内,不能用基本不等式求最值,可以考虑单 调性. 16? 12 解 由题意可得,造价 y=3(2x×150+ ×400)+5 800=900? ?x+ x ?+5 800(0<x≤5), x 16? 16 则 y=900? ?x+ x ?+5 800≥900×2 x× x +5 800=13 000(元), 16 当且仅当 x= ,即 x=4 时取等号.故当侧面的长度为 4 米时,总造价最低. x 解实际应用题要注意以下几点: (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数; (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值; (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 80 【训练 4】 解 (1)第 n 次投入后, 产量为(10+n)万件, 销售价格为 100 元, 固定成本为 元, n+1 80 ? ? 科技成本投入为 100n 万元.所以,年利润为 f(n)=(10+n)?100- ?-100n(n∈N*). n+1? ? 80 ? 9 ? ? ? (2)由(1)知 f(n)=(10+n)?100- -100n=1 000-80? n+1+ ? ?≤520(万元). n+1? n+1? ? ? 9 当且仅当 n+1= ,即 n=8 时,利润最高,最高利润为 520 万元. n+1 以,从今年算起第 8 年利润最高,最高利润为 520 万元.

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