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分段函数


分段函数(第 1 课时,共 2 课时)
开平市机电中等职业技术学校 黄志乔 教学背景:分段函数在生活中运用十分广泛,电费计费、水费计费、电话计费、出租车计费、航空 托运行李计费、个人所得税、邮寄信函的邮资等等都可以用分段函数来描述,通过学习 分段函数能更好地提高学生运用理论知识解决实际问题的能力。 教学目标:知识目标:1、理解分段函数的概念; 2、理解分段函数的定义域; 3、理解分段函数的图像作法。 能力目标:对分段函数的实例,构建其分段函数解析式,写出定义域,并画出图像。 情感目标:1、通过小组学习讨论,提高同学之间的团结互助精神; 2、通过寻找生活中分段函数的实例,促进学生与人沟通的能力。 教材分析: 分段函数是学生在学习了函数的概念, 函数的表示方法及函数的基本性质的基础上进行 的一节课, 分段函数是前面有关函数内容的进一步深化及应用, 是解决生活中的实际问 题的工具, 因此在分段函数的教学过程中要通过生活中的实际问题去引导学生理解分段 函数,应用分段函数。 教学重点:1、分段函数的概念及定义域; 2、分段函数的图像的作法。 教学难点:对分段函数的实例,构建其函数关系式,并画出图像。 教学方法:直观演示法、任务驱动法、自主学习法、探究法、讨论法等。 教学准备:多媒体教学平台、几何画板及 PPT 课件、前置任务资料。 (说明:几何画板软件及其教程下载,同学们进入百度网站 http://www.baidu.com/搜 索“几何画板最新版”及“几何画板教程”进行下载。 ) 教学过程: 前置任务资料(学生小组课前讨论完成下列问题) 1、请你观察下面的这个函数,说出它与前面学习过的函数有什么不同。

? x ? 1, x ? 0 y?? ? 2, x ? 0
拓展提问: (1)、这个函数的定义域是什么? (2)、 f (?3) 和 f (3) 值等于什么? (3)、如何作出这个函数的图像? 相关知识点可连接:http://www.docin.com/p-592914422.html (设计意图:通过观察使学生对分段函数有了初步的了解。 ) 2、分段函数在实际生活中有着广泛的应用,在我们身边就存在着很多与分段函数有关的问题:
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夏天, 大家都喜欢吃西瓜, 而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关。 某人到一个水果店去买西瓜, 价格表上写着: 重量(斤) 6 斤以下 (含 6 斤) 每斤的价 格(元) 0.9 6 斤以上至 9 斤以 超过 9 斤 下(含 9 斤) 1 1.1

此人挑了一个西瓜,称重后店主说 9 元 6 角,你给 9 元 5 角吧,少收你 1 角。可这位聪明的顾 客马上说,你不仅没少要,反而多收了我的钱。当顾客讲出理由,店主只好承认了错误,照实收了 钱。 (1)同学们,你知道顾客是怎么晓得店主坑人的吗?其实这样的数学问题在我们身边有很多, 只要你注意观察、积累,并学以致用,就能成为一个更聪明人,因为数学可以使人聪明起来。 (2)请写出西瓜的重量 x (斤)与应付款 y (元)之间的函数解析式,并写出其定义域、画出图 像(先列表,图像可在课堂上利用几何画板演示)。 (说明:本题目从 http://wenku.baidu.com/view/4eb5160a581b6bd97f19ea66.htm 下载后经 修改引用) (设计意图:1、激发学生进一步学习分段函数的兴趣;2、促进学生运用分段函数解决生活中 的实际问题;3、理解分段函数的作法,并作出图象。 ) 3、请每个小组寻找一例分段函数在生活中的实际应用,并构建其分段函数解析式,画出图像。 ( 同 学 们 可 通 过 “ 百 度 ” 搜 索 “ 分 段 函 数 在 生 活 中 的 实 际 应 用 ” http://www.baidu.com/s?wd=%E5%88%86%E6%AE%B5%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9C%A8%E7%94%9F%E6%B 4%BB%E4%B8%AD%E7%9A%84%E5%AE%9E%E9%99%85%E5%BA%94%E7%94%A8&rsv_spt=1&issp=1&rsv_bp=0& ie=utf-8&tn=baiduhome_pg&rsv_n=2&rsv_sug3=1&rsv_sug1=1&rsv_sug4=210&inputT=958) (设计意图:让学生进入社会调察,更好地理解数学数学在生活中的应用是广泛的,并通过寻 找生活中分段函数的实例,促进学生与人沟通的能力,提高学生的团结互助精神。 ) 新课:
时间 (分 钟)

教学过程 分段函数的概念:

教师及学 生活动

设计意 图 通过观 察使学 生对分 段函数 有了初 步的了 解。

6

教师利用 多媒体教 引入: 学 平 台 请你观察下面的这个函数, 说出它与前面学习过的函数有什么不同。 (课件) 将题目投 影在屏幕 ? x ? 1, x ? 0 上,一个 y?? 小组讲解 ? 2, x ? 0 完成,其
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拓展提问: 1、这个函数的定义域是什么? 2、 f (?3) 和 f (3) 值等于什么? 3、如何作出这个函数的图像? 归纳: 分段函数的概念:一个函数在自变量的不同取值范围内,需要有不 同的解析式来表示,我们就把这个函数叫做分段函数。 分段函数的定义域是自变量的不同的取值范围的并集。 求 f (a ) 的值时,首先要明晰 a 属于函数定义域中的哪个部分,然后 代入相应的解析式求值。 分段函数的图像作法:在同一个直角坐标平面内,分别按照定义域 中的各部分所对应的解析式依次作图。 相关知识点可连接:http://www.docin.com/p-592914422.html 分段函数的实际应用: 分段函数有关的问题,例如: 某人到一个水果店去买西瓜,价格表上写着: 重量(斤) 6 斤以下 (含 6 斤) 每斤的价 格(元)
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他同学有 疑问可提 出,共同 解答,教 师点评, 并与学生 一起归纳 分段函数 的有关知 识点。

教师利用

1、 激发

分段函数实际生活中有着广泛的应用,在我们身边就存在着很多与 多 媒 体 教 学生进
学 平 台 一步学 习分段 函数的 兴趣; 2、 促进 学生运 用分段 函数解

夏天,大家都喜欢吃西瓜,而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关。 (课件)
将题目投 影在屏幕 上,一个 小组讲解

6 斤以上至 9 斤以下 (含 9 斤)

超过 9 斤

0.9

1

1.1

完成,其 他同学有

此人挑了一个西瓜,称重后店主说这个西瓜 9 元 6 角,你给 9 元 5 疑 问 , 可 决生活 角吧,少收你 1 角。可这位聪明的顾客马上说,你不仅没少要,反而多 提 出 共 同 中的实 收了我的钱。当顾客讲出理由,店主只好承认了错误,照实收了钱。
解答,教 际 问

(1) 同学们, 你知道顾客是怎么晓得店主坑人的吗?其实这样的数 师 给 予 适 题;3、 学问题在我们身边有很多,只要你注意观察、积累,并学以致用,就能 当 的 指 理解分 成为一个更聪明人,因为数学可以使人聪明起来。
导,完成 段函数 作

(2) 请写出西瓜的重量 x (斤)与应付款 y (元) 之间的函数解析式, 后 点 评 并 的 示)。 http://wenku.baidu.com/view/4eb5160a581b6bd97f19ea66.htm) 解答: (1)若西瓜重量 9 斤内则最多应付 9 元,若西瓜重量超过 9 斤,则
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并写出其定义域、画出图像(先列表,图像可在课堂上利用几何画板演 与 学 生 一 法,并
起分享分 作出图

( 说 明 : 本 题 目 从 下 面 网 页 下 载 后 经 修 改 引 用 段 函 数 的 象。
应用。

价格要超过 9.9 元,不可能出现 9.6 元这样的价钱,所以店主坑人了。 (2)分析:西瓜的重量 6 斤以下(含 6 斤) 斤以上至 9 斤以下 、6 (含 9 斤)和超过 9 斤的价格标准不同,因此,需要分别在三个范围内 研究。 函数解析式是: ?0.9 x, 0 ? x ? 6 ? y ? ? x, 6 ? x ? 9 ? 1.1x, x ? 9 ? 注意:要在不同的解析式后注明其自变量 x 的取值范围。 这个函数的定义域是自变量 x 的不同的取值范围的并集,即:[0, 6)∪(6,9]∪(9,+ ? )=[0,+ ? )。 这个分段函数的图像要在同一个直角坐标系中分别画出

y ? 0.9 x, 0 ? x ? 6 ; y ? x, 6 ? x ? 9 和 y ? 1.1x, x ? 9 的图像。
列表: (略) 作图: (让学生利用几何画板演示)
y

x

强调:如何作出分段函数的图像? 解答:在同一个直角坐标平面内,分别按照定义域中的各部分所对 应的解析式依次作图。 知识巩固练习:分段函数的实际应用
31 教师利用 多媒体教 进一步 理解分

我通过调察形成了下面关于分段函数的实际应用:
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为促进资源节约型和环境友好型社会建设,逐步减少工商业用户对 学 平 台 段函数

居民用户的电价交叉补贴,理顺电价关系,引导居民合理、节约用电, (课件) 电价如下: -600 度 0.66 元/度,第三档 600 度以上 0.91 元/度; 调察。 之间的函数解析式; (2)写出这个函数的定义域; (3)画出这个函数图像(几何画板演示图像); 费款(数的运算可利用计算器计算) 。 广东省阶梯电价调察: https://www.guangzhou.csg.cn/plugin/gzpsc/jtdj/index.html, http://www.cs.com.cn/xwzx/ms/201208/t20120801_3435416.html
影在屏幕

有关知

广东省决定对居民生活用电试行阶梯电价,其中一户一表用户执行阶梯 将 题 目 投 识点及
在生活

夏季(5 月-10 月)第一档 0-260 度 0.61 元/度,第二档 260 以上 上 , 学 生 中的实
先小组讨 际 应

非夏季(11 月-次年 4 月)阶梯电价本题不讨论,请课后自行社会 论 完 成 , 用。
然后请一

(1)写出夏季(5 月-10 月)每月用电量 x (度)与每月电费 y (元) 个 小 组 上
讲 台 完 成,教师 从旁给予

(4)周先生在 9 月份用电量为 310 度,求出周先生 9 月份应付的电 适 当 的 指
导。

解答: (1) 由阶梯电价夏季 月-10 月) (5 的方案即可写出每月用电量 x (度) 与每月电费 y (元)之间的函数解析式。 夏季(5 月-10 月)每月用电量 x (度)与每月电费 y (元)之间的 函数解析式如下:
? 0.61x, 0 ? x ? 260 ? y ? ? 0.61 ? 260 ? 0.66 ? ( x ? 260), 260 ? x ? 600 ?0.61 ? 260 ? 0.66 ? (600 ? 260) ? 0.91 ? ( x ? 600), x ? 600 ?

(2)这个函数的定义域是自变量 x 的不同的取值范围的并集,即: 这个函数的定义域是[0,+ ? ) 。 (3)这个函数的图像 列表: (略) 作图: (让学生利用几何画板演示)

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y

x
( 4 ) 周 先 生 在 9 月 份 用 电 量 为 310 度 , 它 属 于 定 义 域 中 的
260 ? x ? 600 部分,相应的解析式部份是 0.61? 260 ? 0.66 ? ( x ? 260)

所 以 周 先 生 9 月 份 应 付 的 电 费 款 为 0.61 × 260+0.66 × (310-260)=158.6+33=191.6(元) 归纳本节课的知识点: 本节课你学了哪些内容? 解答: 1、分段函数的概念 我们就把这个函数叫做分段函数。 2、分段函数是几个函数组成吗?
36 教师利用 多媒体教 学 平 台 (课件) 将题目投 理顺分 段函数 的五个 问题, 让学生

一个函数在自变量的不同取值范围内, 需要有不同的解析式来表示, 影 在 屏 幕 更清淅
上,学生 先小组讨 的理解 分段函

解答:不是,分段函数是一个函数,只是自变量的不同取值范围内, 论 完 成 , 数的概 有不同的解析式。 3、如何求分段函数的定义域? 解答:分段函数的定义域是自变量的不同的取值范围的并集。 4、如何求分段函数的函数值 f (a ) ? 求 f (a ) 的值时,首先要明晰 a 属于函数定义域中的哪个部分,然后 代入相应的解析式求值。 5、分段函数的图像作法? 解答:在同一个直角坐标平面内,分别按照定义域中的各部分所对 应的解析式依次作图。 6、你能说出分段函数在生活中的一些实际应用吗?
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然后教师 与学生一 起分享讨 论。

念、定 义域及 图像作 法。

情感交流: 员的哪些优点。 2、你对本节课的课堂教学有什么建议吗?
38

一起分享

通过情

1、本节课你用了什么样的学习方法,你在与组员讨论时,发现了组 本 节 课 的 感交流
学 习 过 程。 加强同 学之间 的 友

谊,同 时使课 堂气氛 更加融 洽。

课后社会调察归纳: 请每个小组将在生活中寻找到的一例分段函数的实际应用展示出 来,共同分享。 我通过调察形成了下面关于分段函数的实际应用:

让学生 进入社 会 调

察,更 好地理 解数学 在生活 中的应 用是广 泛的, 并通过 寻找生

40

活中分 段函数 的 实

例,促

(同学们可通过“百度”搜索“分段函数在生活中的实际应用”即 可) 另附:分段函数的实际应用参考网页 广东省水费计费: http://gz.bendibao.com/life/20121126/110428.shtml 出租车计费: http://www.iautos.cn/news/newscontent.asp?newsid=47352 航空托运行李计费:
第 7 页(共 8 页)

进学生 与人沟 通的能 力,提 高同学 之间的 团结互 助 神。 精

http://www.baidu.com/s?tn=baiduhome_pg&ie=utf-8&bs=%E5%87 %BA%E7%A7%9F%E8%BD%A6%E8%AE%A1%E8%B4%B9&f=8&rsv_bp=1&wd=% E8%88%AA%E7%A9%BA%E6%89%98%E8%BF%90%E8%A1%8C%E6%9D%8E%E8% AE%A1%E8%B4%B9&rsv_n=2&rsv_sug3=1&rsv_sug1=1&rsv_sug4=174 &inputT=911 2012 年个人所得税: http://baike.baidu.com/view/8105079.htm 邮寄信函的邮资: http://zf.11185.cn/index.do;jsessionid=DWclRGWH32sC1820T2 mVTy46Tg3ns544ypfpLVwMTcD60wp3CDB9!-1950560728 教学反思: 成功的做法: 1、教学过程通过生活中的实际问题去引导学生进一步理解分段函数、应用分段函数,激发学 生学习分段函数的兴趣; 2、利用几何画板学生更加直观理解了分段函数的图像作法; 3、课前布置了“前置任务资料” ,课堂中布置了巩固练习,教学组织贯彻 “先做、后学、再 提高” ,强调了学生自主学习、小组讨论的能力。 学生疑难: 学生对知识巩固练习中的求分段函数的解析式出现一定的难度, 说明一些学生对将文字题意归 纳成数学表达式存在困难。 改进措施: 1、加强学生的数学基础知识的训练; 2、从一些简单的应用题对学生的归纳能力进步训练。

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