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圆的标准方程4.1.1教案


4.1.1 圆的标准方程
教学目标:
知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会根据不同的已知条件,求圆的标准方程。 3、会判断点与圆的位置关系。 过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的 标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的 能力。 情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和 兴趣。

教学重点:1、圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会根据不同的已知条件,求圆的标准方程。

教学难点:会根据不同的已知条件,求圆的标准方程。 教学过程: 一、新课导入:生活中我们经常接触到一些圆形,有人说圆是最完美的曲线,同学们能从
数学的角度说说为什么吗?在平面直角坐标系中, 如何确定一个圆呢?确定一个圆最基本的要 素又是什么呢?

二、新知探究:
确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为 C(a,b),半径为 r。 (其中 a、b、r 都 是常数,r>0)设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自己列出) P={M||MC|=r},由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 化简可得: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ②
6



引导学生自己证明 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2
4

为圆的方程,得出结论。 方程②就是圆心为 C(a,b),半径为 r 的圆的 方程,我们把它叫做圆的标准方程。
-5

A
2

M

5

-2

-4

应用举例:

2、说出下列圆的圆心和半径

知识升华 圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 在坐标系的特殊位置时的方程特征: (学生根据幻灯片的图形探究 )

三、知识应用与解题研究
例 1:写出圆心为 A(2, ?3) 半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否在这 个圆上。 分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。 探究: 通过例 1 同学们探究一下在平面几何中如何判断点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的 关系? (学生根据幻灯片的图形探究 ) (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 (2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上 (3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内 例 2:
ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8), 求它的外接圆的方程

师生共同分析:从圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 用待定系数法确定 a、b、r 三个参数.(学生自己运算解决)

可知,要确定圆的标准方程,可

例 3:已知圆心为 C 的圆 l : x ? y ? 1 ? 0 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心 为 C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小 . 圆心为 C 的圆经过点
A(1,1) 和 B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等,所以圆心 C 在险段 AB 的垂直平分线 m

上,又圆心 C 在直线 l 上,因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。

(学生尝试解答, ) 同学们思考一下这道题可以用 待定系数法求解吗?请同学们讨论分组 讨论 总结归纳: (教师启发, 学生自己比较、 归纳)比较例 2、例 3 可得出 ABC 外 接圆的标准方程的两种求法: ①、 根 据 题 设 条 件 , 列 出 关 于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素,以及题设条件, 分别求出圆心坐标和半径大小,然后 再写出圆的标准方程. 练习:

4

l
2

A

-5

5

m

-2

C

B

-4

-6

小结: 1、圆的标准方程。 2、点与圆的位置关系的判断方法。 3、根据已知条件求圆的标准方程的方法:待定系数法、几何性质法 作业:课本 P124 习题 4.1A 第 2、3、4 题


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