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巧用贝努利不等式求解高考或竞赛试题


2 0 1 3年 第 5期  河北理科 教 学研 究  问题 讨论  巧 用 贝 努 利 不等 式 求解 高 考 或 竞赛 试 题  湖北省 大 冶市 第一 中学 黄俊 峰 袁方程 4 3 5 1 0 0   《 湖北省普通高中数学教学实施指导意  见》 将《 新课 程标准》 中选修系列 4— 5 “ 不等  式选讲” 作为指定学生选修习 I 的专题 , 而贝   努利不

等式就是其 中一个重要不等式 . 本文  主要探讨贝努利不等式及其推论在高考或竞  赛 解 题 中的应 用 .   贝努 利不 等式 : 若  ≥一 1 , n   E   N  , 则  有( 1+  )   ≥ 1+   ①, 当且 仅 当  =0或  n= 1 时, ① 式等 号成 立 .   贝努 利不 等 式 的一 般形 式 : 设 / 2个 实 数  ,  : , …,   均 大于 一1 , 并 且 正 负 同号 ( 约  { n  }的通 项 公 式 ; ( 2 )让 明 : 对 于一切 正 整数  , 不 等式 5 7 , 1?0 2… …? 。  < 2?n!   分析 : 本 题第 ( 2 )问不 等式 证 明 , 原标 准  答案是通过转换命题 , 构造 出一个新 的不等  式, 以此 实现数 学 归纳法 解 题 的 目的 , 但重 构  一 个 新 命 题 的技 巧 性 太强 . 如 果利 用 贝努 利  不 等式 的一般 形式 , 就 会大 大 降低难 度 .   解: ( 1 ) 易 求得 口  =   ( 2 ) 要证 0 1 ? 0 2 … …? 0  <2? n! , 只要  证 明  ∈ N  时 有 ( 1一   1) ? ( 1 一   ) …… ( 1   定0 可 以当正数使用 , 也可 以当负数使用 ) ,   一   )>  1 . 那么 贝努利 不 等式 的一般 形 式 为 ( I+   ) ( 1   +  2 ) …( 1 +   ) ≥1 +  1 +  2 +… +   ②.   利用 贝努利不等式的一般形式  一   ( ② 式) 得: ( 1一了 1 )? ( 1 ) …… ( 1一   )   ) l 一   ② 式可用数学归纳法证明 , 为节 约 版 面 , 证  明略.   ≥ 1一 (   1+  1 + …… +   = 推论 1 : 若 ≥0 , n   E   N  , 则有 t   ≥1 +   n (  一1 ) , 当且仅当  = 1 或/ 2= 1 时, 等号  成立 .   — ■—T _   :   +   一 _ > )   ,  … J   0 1 ‘   3   推论 2 : 设口 ,   >0 , n∈ N  , n>1 , 贝 0   0   ≥n 2  5 l , 一( n一1 )  , 当且仅当 口=   时  取 等号 .   。 2… …? ?0   <2? 凡! 局   立.   例2 ( 2 0 0 7 年高考湖北理科第 2 1 题)   已知 m, n为 正 整 数 , ( 1 )用 数 学 归 纳 法 证  明: 当  >一1 时, ( 1 +  )   ≥ 1+m ; ( 2 ) 对  于 n≥ 6 , 已知 ( 1一   )  <   , 求证( 1 一   例1 ( 2 0 0 6 年高 考江西理科第 2 2 题)   已知数 列 { 0   } 满 足:   = 詈, 且 0  =   ( n≥ 2 , n

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