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集合函数


第一章 集合与函数

第一章·第十一节

第十一节 函数模型及其应用

第一章·第十一节

考纲导学 1.了解指数函数、 对数函数以及幂函数的增长特征, 知道直线上升、 指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在 社会生活中普遍使用的

函数模型)的广泛应用.

第一章·第十一节

第一章·第十一节

1.下列函数中,随 x 的增大而增大,速度最快的是( 1 A.y=100ex C.y=x100 B.y=100lnx D.y=100· 2x

)

解析:因指数函数型增长快,又 e>2,则应选 A. 答案:A

第一章·第十一节

2.设甲、乙两地的距离为 a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲 地到乙地用了 20 分钟,在乙地休息 10 分钟后,他又以匀速从乙地 返回到甲地用了 30 分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图像为( )

第一章·第十一节

解析: 注意到 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而 不是位移,用定性分析法不难得到答案 D.

答案:D

第一章·第十一节

3.某企业去年销售收入 1 000 万元,年成本为生产成本 500 万元与年广告成本 200 万元两部分.若年利润必须按 p%纳税,且 年广告费超出年销售收入 2%的部分也按 p%纳税, 其他不纳税. 已 知该企业去年共纳税 120 万元.则税率 p%为( A.10% C.25% B.12% D.40% )

第一章·第十一节

解析:利润 300 万元,纳税 300· p%万元. 年广告费超出年销售收入 2%的部分为 200-1 000×2%=180(万元), 纳税 180· p%万元. 共纳税 300· p%+180· p%=120(万元), 1 ∴p%= =25%. 4
答案:C

第一章·第十一节

4.据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为 b,2013 年 产生的垃圾量为 a t,由此预测,该区下一年的垃圾量为 __________t,2018 年的垃圾量为__________t.
解析:由于 2013 年的垃圾量为 a t,年增长率为 b,故下一年 的垃圾量为 a+ab=a(1+b) t.同理,可知 2015 年的垃圾量为 a(1 +b)2 t,?,2018 年的垃圾量为 a(1+b)5 t.
答案:a(1+b) a(1+b)5

第一章·第十一节

5.某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元,并且每生产 一单位产品,成本增加 10 万元.又知总收入 K 是单位产品数 Q 的 1 2 函数,K(Q)=40Q- Q ,则总利润 L(Q)的最大值是__________. 20
1 2 解析:总利润 L(Q)=40Q-20Q -10Q-2 000 1 =- (Q-300)2+2 500. 20 故当 Q=300 时,总利润最大值为 2 500 万元.
答案:2 500 万元

第一章·第十一节

1.三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)

①______ ④________

②______ ⑤________

③______ 相对平稳

第一章·第十一节

随 x 增大逐渐 随 x 增大逐渐 图象的变化 表现为与⑥ ______平行 表现为与⑦ ______平行

随 n 值变化 而不同

第一章·第十一节

2.函数 y=ax(a>1), y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)的增长速度比 较 (1)指数函数 y=ax 和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上,无 论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定范围内 ax 会小于 xn,但由于 y= ax 的增长速度⑧______y=xn 的增长速度,因此总存在一个 x0,当 x >x0 时有⑨______.

第一章·第十一节

(2)对于对数函数 y=logax(a >1)和幂函数 y= xn(n>0)在区间 (0,+∞),尽管在 x 的一定范围内可能会有 logax>xn,但由于 y= logax 的增长速度慢于 y=xn 的增长速度,因此在(0,+∞)上总存在 一个实数 x0,使 x>x0 时,⑩______. (3)y=ax(a>1),y=logax(a>1)与 y=xn(n>0)尽管都是增函数, 但由于它们?__________不同,而且不在同一个“档次上”,因此 在(0,+∞)上随 x 的增大,总会存在一个 x0,当 x>x0 时,有? ______________.

第一章·第十一节

答案:①增函数 ⑤越来越慢 ?增长速度

②增函数 ⑦x 轴

③增函数 ⑧快于

④越来越快 ⑨ax>xn ⑩logax<xn

⑥y 轴

?ax>xn>logax

第一章·第十一节

第一章·第十一节

1.常见函数模型的理解 (1)直线模型, 即一次函数模型, 其增长特点是直线上升(x 系数 k>0),通过图象可以很直观地认识它. (2)指数函数模型: 能用指数型函数表达的函数模型, 其增长特 点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(a>1),常形 象地称之为“指数爆炸”.

第一章·第十一节

说明:指数函数 y=ax(a>1),从图象上看,在开始过程中增长 缓慢,但随着 x 的逐渐增大,当 x 增加一个非常小的增量 Δx,其函 数值变化 Δy 会大的惊人,因此常称之为“指数爆炸”.

第一章·第十一节

(3)对数函数模型: 能用对数函数表达式表达的函数模型, 其增 长的特点是开始阶段增长的较快(a>1),但随着 x 的逐渐增大,其 函数值变化越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”. (4)幂函数型函数模型: 能用幂函数表达的函数模型, 其增长情 况随 xn 中 n 的取值变化而定,常见的有二次函数模型.

第一章·第十一节

2.构建函数模型的基本步骤 不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律, 函数模型 可以处理生产、生活、科技中很多实际问题. 解决应用问题的基本步骤 (1)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系,恰当选 择模型. (2)建模:将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言,利用 数学知识,建立相应的数学模型;

第一章·第十一节

(3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将利用数学知识和方法得出的结论,还原 为实际问题的意义.

第一章·第十一节

考点一 例 1

利用图象刻画实际问题

(1)(2015· 三明月考)如图,下面的四个容器高度都相同,将水从 容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应 的图象表示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系,其中不正 确的有( )

第一章·第十一节









A.1 个 C .3 个

B.2 个 D.4 个

第一章·第十一节

(2)如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1,l2 之间,l∥l1,l 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边 相交于 E,D 两点.设弧 FG 的长为 x(0<x<π),y=EB+BC+CD, 若 l 从 l1 平行移动到 l2,则函数 y=f(x)的图象大致是( )

第一章·第十一节

A

B

C

D

第一章·第十一节

解析: (1)将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中, 容 器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系可以从高度随时间的变化率 上反映出来,图①应该是匀速的,故下面的图象不正确,②中的变 化率是越来越慢的,正确;③中的变化规律是逐渐变慢再变快,正 确;④中的变化规律是逐渐变快再变慢,也正确,故只有①是错误 的.

第一章·第十一节

2 3 (2)△ABC 的高为圆的半径 1,可求边长为 3 ,弧 FG 所对的 x 1-cos 2 2 3 x 圆心角为 x,所以 O 到 FG 的距离为 cos2,则 EB= π = 3 sin 3
? x? ?1-cos ?,故 2? ?

x? 2 3 4 3? 4 3 x ? ? y= 3 1-cos2 + 3 =2 3- 3 cos2,0<x<π, ? ?

结合余弦函数的图象知选项 D 正确.

答案:(1)A

(2)D

第一章·第十一节

【师说点拨】 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种 方法 (1)构建函数模型法: 当根据题意易构建函数模型时, 先建立函 数模型,再结合模型选图象. (2)验证法: 当根据题意不易建立函数模型时, 则根据实际问题 中两变量的变化快慢等特点, 结合图象的变化趋势, 验证是否吻合, 从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.

第一章·第十一节

变式探究 1

(2014· 武汉模拟)如图(1)是反映某条公共汽车线路

收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y 与乘客量 x 之间 关系的图象.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出了两 种调整的建议,如图(2)(3)所示.

(1)

(2)

(3)

第一章·第十一节

给出以下说法: ①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价 降低成本,并保持票价不变 成本不变 ②图(2)的建议是:

③图(3)的建议是:提高票价,并保持

④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. )

其中所有正确说法的序号是( A.①③ C.②③ B.①④ D.②④

第一章·第十一节

解析:对于图(2),当 x=0 时,函数值比图(1)中的大,表示成 本降低,两直线平行,表明票价不变,故②正确;对于图(3),当 x =0 时,函数值不变表示成本不变,当 x>0 时,函数值增大表明票 价提高,故③正确.

答案:C

第一章·第十一节

考点二 例 2

应用所给函数模型解决实际问题

(1)(2014· 沈阳模拟)一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下 一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae
bt


(cm3) ,经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过

______min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. (2)(2014· 宜昌模拟)某企业生产 A、B 两种产品,根据市场调查 与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图 1;B 产品的利 润与投资的算术平方根成正比, 其关系如图 2(注: 利润和投资单位: 万元).
第一章·第十一节

图1

图2

第一章·第十一节

①分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式. ②已知该企业已筹集到 18 万元资金, 并将全部投入 A, B 两种 产品的生产. (ⅰ)若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? (ⅱ)问:如果你是厂长,怎样分配这 18 万元投资,才能使该企 业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?

第一章·第十一节

解析:(1)依题意有a· e ln2 所以b= ,所以y= 8

-b×8

1 =2a,

若容器中的沙子只有开始时的八分之一, 则有 1 =8a,解得t=24,

所以再经过的时间为24-8=16(min).

第一章·第十一节

(2)①设 A,B 两种产品分别投资 x 万元,x 万元,x≥0,所获 利润分别为 f(x)万元、g(x)万元. 由题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2 x. 根据图象可解得 f(x)=0.25x(x≥0). g(x)=2 x(x≥0).

第一章·第十一节

②(ⅰ)由①得 f(9)=2.25,g(9)=2 9=6. 所以总利润 y=8.25 万元. (ⅱ)设 B 产品投入 x 万元,A 产品投入(18-x)万元,该企业可 获总利润为 y 万元. 1 则 y=4(18-x)+2 x,0≤x≤18. 令 x=t,t∈[0,3 2]. 1 1 17 2 2 则 y= (-t +8t+18)=- (t-4) + . 4 4 2

第一章·第十一节

17 所以当 t=4 时,ymax= 2 =8.5,此时 x=16,18-x=2. 所以当 A,B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时,可使该企 业获得最大利润,约为 8.5 万元.

答案:(1)16

(2)见解析

第一章·第十一节

【师说点拨】应用所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.

第一章·第十一节

变式探究 2

(2015· 郑州月考)某化工厂打算投入一条新的生产

线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续 1 生产 n 年的累计产量为 f(n)=2n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超 过 150 吨,会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这 条生产线拟定最长的生产期限是( A.5 年 C .7 年 B.6 年 D.8 年 )

第一章·第十一节

解析:第 n 年的年产量
? ?f?1?,n=1, y=? ? ?f?n?-f?n-1?,n∈N,n≥2,

1 因为 f(n)=2n(n+1)(2n+1),所以 f(1)=3, 1 当 n≥2 时,f(n-1)=2n(n-1)(2n-1),

第一章·第十一节

所以 f(n)-f(n-1)=3n2. n=1 时,也满足上式,所以第 n 年的年产量为 y=3n2,令 3n2≤150,所以 n2≤50, 因为 n∈N,n≥1,所以 1≤n≤7,所以 nmax=7.
答案:C

第一章·第十一节

考点三 例 3

构建函数模型解决实际问题

(2014· 青岛模拟 ) 已知一家公司生产某种产品的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件该产品需另投入 2.7 万元,设该公司一年内 生产该产品 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)万元, 1 2 ? ?10.8-30x ,0<x≤10, 且 R(x)=? ?108-1 000 ,x>10. 3x2 ? x

第一章·第十一节

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时, 该公司在这一产品的产销过程中所获 利润最大?

第一章·第十一节

x3 解析:(1)当 0<x≤10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x-30- 10, 1 000 当 x>10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x, 3x x3 ? ?8.1x-30-10,0<x≤10, 所以 W=? ?98-1 000-2.7x,x>10. 3x ?

第一章·第十一节

x2 (2)①当 0<x≤10 时,由 W′=8.1-10=0,得 x=9, 当 x∈(0,9)时,W′>0;当 x∈(9,10]时,W′<0, 1 所以当 x=9 时,W 取得最大值,即 Wmax=8.1×9- ×93- 30 10=38.6. ②当 x>10 38,
?1 000 ? 时, W=98-? 3x +2.7x?≤98-2 ? ?

1 000 ×2.7x= 3x

第一章·第十一节

1 000 100 当且仅当 3x =2.7x,即 x= 9 时,W 取得最大值 38. 综合①②知:当 x=9 时,W 取得最大值为 38.6 万元, 故当年产量为 9 千件时, 该公司在这一产品的产销过程中所获 利润最大.

第一章·第十一节

【师说点拨】(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域. (2)对构建的较复杂的函数模型, 要适时地用换元法转化为熟悉 的函数问题求解.

第一章·第十一节

变式探究 3

(2014· 厦门模拟 )国家推行“节能减排,低碳经

济”政策后,环保节能的产品供不应求.为适应市场需求,某企业 投入 98 万元引进环保节能生产设备,并马上投入生产.第一年需 各种费用 12 万元,从第二年开始,每年所需费用会比上一年增加 4 万元.而每年因引入该设备可获得年利润为 50 万元.请你根据 以上数据,解决以下问题.

第一章·第十一节

(1)引进该设备多少年后,该厂开始盈利? (2)若干年后,因该设备老化,需处理老设备,引进新设备,该 厂提出两种处理方案: 第一种:年平均利润达到最大值时,以 26 万元的价格卖出. 第二种:盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格卖出.问哪 种方案较为合算?

第一章·第十一节

解析:(1)设引进该设备 x 年后开始盈利,盈利额为 y 万元. 则
? ? x?x-1? ? ? 2 y=50x-98-?12x+ =- 2 x +40x-98, 令 × 4 ? 2 ? ?

y>0,

得 10- 51<x<10+ 51, 因为 x∈N*, 所以 3≤x≤17.即引进该设 备三年后开始盈利.

第一章·第十一节

y y 98 (2)第一种:年平均盈利为x,x=-2x- x +40≤-2 40=12,当且仅当 2x=

98 2x· x+

98 ,即 x=7 时,年平均利润最大,共盈利 x

12×7+26=110(万元). 第二种:盈利总额 y=-2(x-10)2+102,当 x=10 时,取得最 大值 102,即经过 10 年盈利总额最大,共计盈利 102+8=110(万 元),两种方案获利相等,但由于方案二时间长,采用第一种方案 较合算.

第一章·第十一节

?方法与技巧 解答数学应用题关键有两点:一是认真审题,读懂题意,理解 问题的实际背景,将实际问题转化为数学问题;二是灵活运用数学 知识和方法解答问题,得到数学问题中的解,再把结论转译成实际 问题的答案.

第一章·第十一节

?失误与防范 1.函数模型应用不当,是常见的解题错误,所以,正确理解 题意,选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数 的定义域. 3.注意问题反馈,在解决函数模型后,必须验证这个数学解 对实际问题的合理性.

第一章·第十一节

1.(2014· 北京卷)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总 粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率 p 与加 工时间 t(单位:分钟)满足函数关系 p=at2+bt+c(a,b,c 是常数), 如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以 得到最佳加工时间为( )

第一章·第十一节

A.3.50 分钟 C.4.00 分钟

B.3.75 分钟 D.4.25 分钟

第一章·第十一节

解析:由实验数据和函数模型知,二次函数 p=at2+bt+c 的 图 象 过 点 (3,0.7) , (4,0.8) , (5 , 0.5) , 分 别 代 入 解 析 式 , 得 ?0.7=9a+3b+c, ? ?0.8=16a+4b+c, ?0.5=25a+5b+c, ? ?a=-0.2, ? 解得?b=1.5, ?c=-2. ?

第一章·第十一节

所以 p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当 t =3.75 分钟时,可食用率 p 最大.故选 B.

答案:B

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2.(2015· 湖北联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放 时污染物的含量不得超过 1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数 量 P(单位:毫克/升)与过滤时间 t(单位:小时)之间的函数关系为: P=P0e-kt(k, P0 均为正的常数). 若在前 5 个小时的过滤过程中污染 物被排除了 90%.那么,至少还需( 1 A. 小时 2 C.5 小时 5 B. 小时 9 D.10 小时 )过滤才可以排放.( )

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解析:设原污染物数量为 a,则 P0=a. 由题意有 10%a=ae
-5k

,所以 5k=ln10.

设 t 小时后污染物的含量不得超过 1%, 则有 1%a≥ae tk,所以 tk≥2ln10,t≥10.


因此至少还需 10-5=5 小时过滤才可以排放.
答案:C

第一章·第十一节

3.(2014· 北京海淀一模)某商场 2013 年一月份到十二月份月销 售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型:①f(x)=p· qx(q >0,q≠1);②f(x)=logpx+q(p>0,p≠1);③f(x)=x2+px+q. 能较准确反映商场月销售额 f(x)与月份 x 关系的函数模型为 __________(填写相应函数的序号),若所选函数满足 f(1)=10,f(3) =2,则 f(x)=__________.

第一章·第十一节

解析:因为①②中函数要么单调递增,要么单调递减,不满足 题意,③为二次函数且开口向上,即 f(x)先减后增,满足题意,所 以选③. 由 f(1)=10,f(3)=2,得 1+p+q=10,9+3p+q=2,解得 p= -8,q=17. 所以 f(x)=x2-8x+17.
答案:③ x2-8x+17

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4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内 接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为______m.

第一章·第十一节

x 40-y 解析:设矩形高为 y,由三角形相似得:40= 40 ,且 x>0, y>0,x<40,y<40?40=x+y≥2 xy,当且仅当 x=y=20 时,矩 形的面积 S=xy 取最大值 400.
答案:20

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