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等比数列前n项和教案和学案


第三届学生教学技能竞赛教学设计

学 院 数学与计算机科学学院 参赛组别 高中理科组 课 程 名 称 《等比数列前 n 项和》 指 导 教 师 夏小刚、王宽明 参赛队成员 郭川瑜、辛美婷、于海伦
李丹丹、周 达

2012 年 5 月 16 日

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1.教案.................................................... 1-11 2.学案................................................... 11-16 3.选用教材封面复印件 ........................................17

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贵州师范大学第三届学生教学技能竞赛教学设计

【课题】等比数列的前 n 项和
【教材】全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上) 【授课对象】高二(上)的学生 【课时安排】1 个课时 【授课教师】郭川瑜 一、教材分析 ● 教学内容 《等比数列的前 n 项和》是高中数学人教版第一册(上)第三章 《数列》第五节的内容,教学大纲安排本节内容授课时间为两课时, 本节课作为第一课时,重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导过 程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用. ● 地位与作用 《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容, 就知 识的应用价值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的 一个模型,在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款 的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、 化归、 分类讨论、 整体变换和方程等思想方法 ,都是学生今后学习和工作中必备的数 学素养. 就内容的人文价值来看, 等比数列的前 n 项和公式的探究与 推导需要学生观察、归纳、猜想、证明,这有助于培养学生的创新 思维和探索精神 ,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载 体. 二、学情分析 ● 知识基础: 前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项 公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.
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● 认知水平与能力: 高一学生初步具有自主探究的能力,能在教师的引导下独立、 合作地解决一些问题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容 与等差数列前 n 项和公式的形成、特点等方面进行类比, 这是积极因 素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前 n 项和 公式的推导有所不同,这对学生的思维是一个突破, 另外,对于 q ? 1 这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤其是在后面使用的过程中 容易出错. 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情 分析,我制定了如下教学目标: 1.教学目标 ● 知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程, 掌握公式 的特点,并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题. ● 过程与方法 通过对公式的研究过程,提高学生的建模意识及探究问题、分 析与解决问题的能力,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方 法,渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想,优化思维品质. ● 情感、态度与价值 通过学生自主对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓励学生大 胆尝试、勇于探索、敢于创新,磨练思维品质,并从中获得成功的 体验,感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的 严谨美.

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2.教学重点、难点 ● 重点:等比数列前 n 项和公式的推导及公式的简单应用. 突出重点的方法:“抓三线、突重点”,即 (一)知识技能线:问题情境→公式推导→公式运用; (二)过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数 学思想; (三)能力线:观察能力→初步解决问题能力. ● 难点:错位相减法的生成和等比数列前 n 项和公式的运用. 突破难点的手段:“抓两点,破难点”,即一抓学生情感和思维 的兴奋点,激发他们的兴趣,鼓励学生大胆猜想、积极探索,并及 时给予肯定;二抓知识的切入点,从学生原有的认知水平和所需的 知识特点入手,教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 教学模式 :本课采用“探究——发现”教学模式.

教师的教法:利用多媒体辅助教学,突出活动的组织设计与方 法引导. 学生的学法:突出探究、发现与交流. 教学手段:多媒体、PPT 五、教学过程分析 教学过程 教学 环节 一、 复 【问题】 习 (1)等比数列定义及通项公式? 回 顾 教学内容 教师 活动 学生 活动 强化学生对 教 师 学 生 等比数列特 提问 思 考 征的认知:从 设计意图

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并 回 第二项起每 铺 垫 新 知 2’ (2)等比数列的项之间有何特点? 答 一项比前一 项 q 倍,为学 生掌握“错位 相减法”求和 埋下伏笔. 二、 创 设 情 境 提 出 问 题 8 【多媒体动画演示】 宰相西萨曾发明了象棋,国王十分高兴 ,决 定重重的奖赏他。国王说; “无论你说出什 么要求,我都想法满足你。 ”他回答说; “我 想请您在有 64 个格子的棋盘的第 1 个给我 1 粒麦子,在第 2 个格子上赐给我 2 粒,第 3 个格子上赐给我 4 粒,第 4 个格子上赐给我 8 粒,第 5 格 16 粒....照这样,每一格是前 面一格的 2 倍,赐给我满 64 格的麦子,臣就 心满意足了。 ”那么西萨一共可以得多少麦 子呢? 探究:如何求和
1? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

?2 ?2
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【问题】 (1)能否逐一相加得结果? (2)这个数列有什么特点? (3)这是一个什么样的数学问题?

引 导 学 生 回 忆 : 等 差 数 列 求 和 的 重 要 方 法 , 剖 析 其 本 质 特 征 . 能 否 类 比 其 特 点 , 来 解 决 问 题?

学 观 动 并 考 题

生 情境动画的 看 引入,激发学 画 生的兴趣。 思 问

培养学生用 数学的眼光 观察生活中 的问题 学 生 小 组 合 作 探 究 问题

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三、 问题 1: 合 Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ... ? a1qn?1 ,各项之间有何联 作 系? 探 索 启发学生: 如果我们把每一项都乘以 q,你 有什么发现? 一 般 等 比 数 列 前 n 项 和 : 形 成 公 式 5
S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ?? ? a n?1 ? a n ? ?

引 导 学 生 培养学生发 学 生 会 发 现问题、分析 观 察 现 , 问题、解决问 数 学 后 一 题的能力 表 达 项 都 式 的 是 前 特 一 项

即 Sn ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ?a1q n?2 ? a1q n?1 ? ? 错位相减法
2 n?2 ? ? a1q n?1 ?S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? a1q ? 2 3 n ?1 ? ? a1q n ?qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ? a1q
n

征 , 的 2 强 调 倍)

“ 错 学生 推导 位 相 公式 这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的 公比能不能为 1?q=1 时是什么数列?此时 减 sn=? 法” n
a (1 ? q n ) ? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q ? 1 1? q

适 时 启 q ?1 发 、 在学生推导完成之后,老师再问:由 有 效 n a ?a q 引导 (1 ? q)S ? a ? a q n 得 S ? 1 1
n 1 1
n

? a1 (1 ? q ) ? ? Sn ? ? 1 ? q ? na ? ? 1

q ?1

1? q

探究等比数列前 n 项和公式,还有其它 对 于 学 生 方法吗?我们知道, 易 错 2 n-1 n-2 sn =a1 +a1q+a1q + +a1q =a1 +q(a1 +a1q+ +a1q ) 点 强 调 那么我们能否利用这个关系而求出 Sn 呢? “ 这 方法 2:提取公比 q 里 的 S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ?a1q n?2 ? a1q n?1 q 能 ? a1 ? q(a1 ? a1q ? ?a1q n?2) 不 能 ? a1 ? q(S n ? a1q n?1) 等 于 ? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n 根 据 等 比 数 列 的 定 义 又 有 1?”
a2 a3 a4 = = = a1 a2 a3 = an = q ,能否联想到等比定理 an-1

以疑导思,营 造一个学生 主动思考、探 学 生 究、讨论的氛 小 组 围,通过另外 合 作 两种方法的 讨 论 推导,促进学 推 导 生的思维发

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从而求出 sn 呢? 方法 3:利用等比定理
a a a a2 ? 3 ? 4 ?? n ?q a3 a1 a2 a n ?1

公式



a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a n a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n?1
(1 ? q)S n ? a1 ? an q
……

?q?

S n ? a1 S n ? an

采用变式教 学设计题组, 引 导 深化学生对 学 生 公式的认识 和理解, 通过 思 直接套用公 考 , 式、 变式运用 公式、 研究公 巡 视 式特点这三 课 个层次的问 题解决, 促进 堂 , 学 生 1? 2 学生新的数 若 c ? 0 且 c ? 1 ,则 8min 做 个 做 题 学认知结构 c 2 [1 ? (c 2 ) n ] 2 4 6 2n ( ) 的形成. 通过 c ?c ?c ? ?c ? 别 指 练习 1 ? c2 以上形式, 让 例 1.求和 1 ? a ? a 2 ? a 3 ? ? a n 导 , 全体学生都 例 2. 求等比数列 1 , 1 , 1 , 1 ,? 的第 5 项到 2 4 8 16 参与教学, 以 请 个 第 10 项的和. 此培养学生 方 法 1 : 观 察 、 发 现 : 别 学 自主学习的 a5 ? a6 ? ? ? a10 ? S10 ? S 4 . 意识.解题 生 上 方法 2: 此等比数列的连续项从第 5 项 时, 以学生分 到第 10 项构成一个新的等比数 台 讲 析为主, 教师 列 : 首 项 为 a5 ? 16 , 公 比 为 适时给予点 解 后 1 2 3 4 5 拨。 , , , , ? q?2 , 项 数 为 2 4 8 16 32 点 评 n ? 6. 1 1 1 1 变式 1: 求1 1 , 2 ,3 ,4 ,5 ? 的前 n 项和. 总结
2 4 8 16 32

六、 (1)口答: 巩 在公比为 q 的等比数列 {an } 中 若 a1 ? 2 , q ? 1 ,则 S n ? ________,若 a1 ? 1,q ? 1 , 固 3 3 则 S n ? ________ 提 若 a1 =—15, a4 =96,求 q 及 S4 , 高, 1 1 若 a3 ? 1 , S 3 ? 4 ,求 a1 及 q. 2 2 深 (2)判断是非: 化 1? (1 ? 2 n ) ( ) 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? (?2) n?1 ? 1? 2 认 1? (1 ? 2 n ) ( ) 1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? 识

教 师

变式 2:求的前 n 项和.

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教 师 学 生 【问题】计算出西萨所需小麦粒数? 六、 a (1 ? q n ) 故 解: a1 ? 1, q ? 2 , Sn ? 1 1? q 事 结 1(1 ? 264 ) ? S64 ? ? 264 ? 1 1? 2 束,
2 ? 1 ? 1.84 ?10
64 19

向 学 思

解疑情景问

生 提 考 , 题,学生通过 出 问 解 决 感受西萨所 题 , 问 要小麦数量,

首 尾 呼 应

并 向 题 , 感受数学国 学 生 感 受 度的奇妙无 指 出 西 萨 穷 西 萨 所 要 所 需 小 麦 小 麦 数量 数 , 并 向 学 生 布 置 思 考 题

我们可以计算出国王奖赏的小 麦约为 1.84 ?1019 粒,大约 7000 亿吨,用这么 多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、 厚 8 米的大道,大约是全世界一年粮食产量 的 459 倍,显然国王兑现不了他的承诺 【问题】请大家下去查阅有关资料计算这个 过程

问题:你学到了什么? 1、 七、 总 结 归 纳 等比数列前 n 项和公式
q ?1 q ?1

? a1 (1 ? q n ) ? ? Sn ? ? 1 ? q ? na ? ? 1

剖析公式中 的基本量及 提 问 结构特征,识 记公式,同时 学 学 生 也培养学生 生 , 思 考 分类讨论的 数学思想. 待 学 总结 教 学

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生 回 加 2、错位相减法 深 理 解 3min 八、 分 层 作 巩固作业(必做题): 业 1、课本 P143 习题 3.5 (1、3、5) 教 师 强 化 解 释 知 问题 识 创新作业(选择题): 1min 2、“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增, 共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”这首 中国古诗的答案是多少? 答 完 毕 , 点 评 总结 作业进一步巩 固了本节课知 学 生 识,拓展了学 思考 生数学视野, 而巩固作业 (必做题)和 创新作业(选 择题)两种设 计体现了不同 的人在数学上 得到不同的发 展的新课标教 学理念.

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七、板书设计

等比数列的前 n 项和
一、情景问题探究 二、公式推导 四、巩固练习

三、公式

六、教学反思 根据教学经历和学生的反馈信息,我对本课有如下几点反思: (1) 在教学过程中,我重点突出了学生活动,设计了四个活动 环节:(1)公式的探究活动;(2)公式的应用;(3)方法的 拓展;(4)学生课后的拓展学习.根据实际教学情况, 学生掌握本课知识较好. (2) 本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理, 在富有启发性的问题下,学生通过积极的思维,完成了对 公式的自主探究,同时注意对重、难点知识采用“欲扬先 抑”的方法,让学生在错误中感悟,在争论中抓住问题的 本质;在公式的应用后,学生的思维又得到了进一步的发 展和提高. (3) 本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课 程的理念. (4) 本节课充分利用了多媒体技术的强大功能,把现代信息技 术作为学生学习、解决问题的强有力工具,使学生乐意投 入其中. (5) 在推导等比数列前 n 项公式过程中,大多数学生忽略了对 q =1 的讨论,这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的 教学中注意加强.

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一、课前预习导学
【学习目标】 1.理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程, 掌握公 式的特点,并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。 2、通过对公式的研究过程,体会公式探求过程中从特殊到一般 的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。 3、通过本节课的学习感受思维的奇异美、结构的对称美、形式 的简洁美、数学的严谨美。 【学习重难点】 1、学习重点:等比数列前 n 项和公式的推导及公式的简单应用。 2、学习难点:错位相减法的生成和等比数列前 n 项和公式的运用。

二、课堂自主导学
【复习回顾】 等差数列 定义 通项公式 变形 性质 等比数列

Sn

【自主阅读】 阅读课本?

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【自主探究】 1、 Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ... ? a1qn?1,各项之间有何联系?

2、一般等比数列前 n 项和: S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ?? ? a n?1 ? a n ? ? 即 Sn ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ?a1q n?2 ? a1q n?1 ? ?

3、

还可以通过什么方法推导出等比数列前 n 项和公式?

【公式形成】

? Sn ? ? ?

q ?1
q ?1

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【例题精讲】 宰相西萨曾发明了象棋,国王十分高兴,决定重重的奖赏他。国 王说; “无论你说出什么要求,我都想法满足你。 ”他回答说; “我想 请您在有 64 个格子的棋盘的第 1 个给我 1 粒麦子,在第 2 个格子上 赐给我 2 粒,第 3 个格子上赐给我 4 粒,第 4 个格子上赐给我 8 粒, 第 5 格 16 粒....照这样,每一格是前面一格的 2 倍,赐给我满 64 格 的麦子,臣就心满意足了。 ”那么西萨一共可以得多少麦子呢?

解:

a1 ? 1, q

a1 (1 ? q n ) ? 2 , Sn ? 1? q

1(1 ? 264 ) ? S64 ? ? 264 ? 1 1? 2 64

2 ? 1 ? 1.84 ?1019

答:西萨需要的小麦数是 264 ? 1 粒,约等于1.8 ?1019 粒。 三、知识运用导练 【强化练习】 例 1:在公比为 q 的等比数列 {an } 中 若 a1 ? 2 , q ? 1 ,则 S n ? ________,若 a1 ? 1,q ? 1 ,则 S n ? ________
3 3

若 a1 =—15, a4 =96,求 q 及 S4 , 若 a3 ? 1 , S 3 ? 4
1 2 1 ,求 a1 及 q. 2

例 2:判断是非:
1? (1 ? 2 n ) ( 1? 2 1? (1 ? 2 n ) ( 1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? 1? 2 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? (?2) n?1 ?

) ) )

若 c ? 0 且 c ? 1 ,则
c2 ? c4 ? c6 ? ? c2n ? c 2 [1 ? (c 2 ) n ] ( 1 ? c2

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例 3:求和

1 ? a ? a 2 ? a3 ? ? a n

例 4:求等比数列 1 , 1 , 1 , 1 ,? 的第 5 项到第 10 项的和.
2 4 8 16

1 1 1 1 变式 1:求1 1 , 2 ,3 ,4 ,5 ? 的前 n 项和. 2 4 8 16 32

变式 2:求的前 n 项和.

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