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2012高中数学 模块质量检测A课后练习同步导学 新人教A版选修2-1


模块质量检测( 模块质量检测(A)
(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订) (考试时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.命题“若 a>-1,则 a>-2”及其逆命题、否命题、逆否命题 4 个命题中,真命题 的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.4

解析: 原命题为真命题,故逆否命题为真命题;逆命题为“若 a>-2,则 a>-1”为 假命题,故否命题为假命题.故 4 个命题中有 2 个真命题.故选 C. 答案: C
4 2

R,2 2.命题“任意的 x∈R, x -x +1<0”的否定是( R,
4 2

)
4 2

A.不存在 x∈R, x -x +1<0 R,2 R,
4 2

B.存在 x∈R, x -x +1<0 R,2 R,
4 2

C.存在 x∈R, x -x +1≥0 R,2 R, 解析: 全称命题的否定是特称命题,
4 2

D.对任意的 x∈R, x -x +1≥0 R,2 R,

所以该命题的否定是:存在 x∈R, x -x +1≥0. R,2 R, 答案: C
2 2

3.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A. 1 4 B. 1 2

)

C.2
2

D.4

y
2 2 2

解析: 由 x +my =1,得 x + =1, 1

m
又∵椭圆的焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的 2 倍, 1 1 ∴ =4,即 m= . m 4 答案: A 4. 平面内有两定点 A、 及动点 P, B 设命题甲是: PA|+|PB|是定值”, “| 命题乙是: “点

P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆”,那么(
A.甲是乙成立的充分不必要条件 C.甲是乙成立的充要条件 解析: ∵甲?/乙,乙?甲 ∴甲是乙的必要不充分条件,故选 B.

) B.甲是乙成立的必要不充分条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件

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-1-

答案: B 5.下列结论正确的个数是( )

①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题;
2

R ②命题“?x∈R,x +2<0”是全称命题;
2 2

③若 p:?x∈R,x +4x+4≤0,则 q:?x∈R,x +4x+4≤0 是全称命题. R R A.0 C.2 解析: 只有命题①正确. 答案: B 6.设 θ∈? B.1 D.3

?3π,π?,则关于 x,y 的方程 x - y =1 所表示的曲线为( ? sin θ cos θ ? 4 ?
2 2

)

A.实轴在 y 轴上的双曲线 C.长轴在 y 轴上的椭圆 解析: ∵θ∈?

B.实轴在 x 轴上的双曲线 D.长轴在 x 轴上的椭圆

?3π,π?, ? ? 4 ?

∴cos θ<0,且|cos θ|>sin θ>0,

x2
∴原方程可化为 +

y2

=1, sin θ -cos θ

x2


y2

+ =1,它表示长轴在 y 轴上的椭圆. sin θ |cos θ|

答案: C 7. 已知直线 l 过点 P(1,0, -1), 平行于向量 a=(2,1,1), 平面 α 过直线 l 与点 M(1,2,3), 则平面 α 的法向量不可能是( A.(1,-4,2) 1? ? 1 C.?- ,1,- ? 2? ? 4 ) 1? ?1 B.? ,-1, ? 4 2? ? D.(0,-1,1)

→ 解析: PM=(0,2,4),直线 l 的方向向量为 a=(2,1,1), 设平面 α 的法向量 n=(x,y,z), 则?

?n·→=0 PM ?n·a=0,
经检验,A,B,C 都是平面 α 的法向量.故选 D.

答案: D 8.顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是(
2 2

)

A.y =-4x
2 2

B.x =4y
2 2

C.y =-4x 或 x =4y

D.y =4x 或 x =-4y
-2-

用心 爱心 专心

解析: 采用排除法,选 C. 答案: C 9.正四面体 ABCD 中,点 E,F,G 分别是 AB,AD,DC 的中点,给出向量的数量积如下: → → → → → → → → ①AB·CD;②AC·EF;③EF·FG;④EG·CD.其中等于 0 的个数是( A.1 C.3 解析: ①②③④均为 0. 答案: D B.2 D.4 )

x2

y2
)

10.过双曲线 - =1 的焦点作弦 MN,若|MN|=48,则此弦的倾斜角为( 9 18 A.30° C.30°或 150°
2

B.60° D.60°或 120°

解析: 用弦长公式 1+k |x1-x2|求解,显然直线 MN 的斜率存在,设直线斜率为 k,则 直线方程为 y=k(x-3 3),
2 2 2 2

与双曲线方程联立,得(2-k )x +6 3k x-27k -18=0,
2

所以|MN|= 1+k
2

?6 3k2?2 27k +18 ? 2 =48, 2 ? +4 2-k ? 2-k ?
2

解得 k =3.即 k=± 3,故选 D. 答案: D → 11.如图所示,正方体 ABCD-A′B′C′D 中,M 是 AB 的中点,则 sin〈DB′,CM〉的值 为( ) 1 2 2 3 210 15 11 15

A.

B.

C.

D.

解析: 以 D 为原点,DA,DC,DD′为 x,y,z 轴建系, → 设正方体的棱长为 1,则DB′=(1,1,1),C(0,1,0),

? ? → ? ? M?1, ,0?,CM=?1,- ,0?, ?
1 2

?

?

1 2

?

15 210 → → → → 故 cos〈DB′,CM〉= ,则 sin〈DB′,CM〉= . 15 15 答案: B 12.已知 a>0,b>0,且双曲线 C1: 2- 2=1 与椭圆 C2: 2+ 2=2 有共同的焦点,则双

x2 y2 a b

x2 y2 a b

用心 爱心 专心

-3-

曲线 C1 的离心率为( A. 2 2 3 3

) B.2 4 3 3

C.

D.
?a +b =c , ? 由已知? 2 2 2 ? ?2a -2b =c ,
2 2 2 2 2

解析:

所以 4a =3c ,所以 e=

c a



2 3 ,故选 C. 3

解析: C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上)
2

13.设命题 p:|4x-3|≤1,命题 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈 p 是綈 q 的必要 而不充分条件,则实数 a 的取值范围是________. 1 解析: 綈 p: x>1 或 x< ;綈 q:x>a+1 或 x<a, 2

?a≤1, ? 若綈 p?綈 q,綈 p?/ 綈 q,则? 2 ?a+1≥1, ?
1 答案: 0≤a≤ 2

1 所以 0≤a≤ . 2

→ → 14.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在AC1 上且AM= 1→ → MC1,N 为 B1B 的中点,则|MN|为________. 2 解析:

以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则 A(a,0,0),

a? ? C1(0,a,a),N?a,a, ?.

?

2?

设 M(x,y,z) → → 1→ ∵点 M 在AC1 上且AM= MC1, 2

用心 爱心 专心

-4-

1 ∴(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z) 2

a a 2 ∴x= a,y= ,z= 3 3 3

?2a a a? 得 M? , , ?, ? 3 3 3?
→ ∴|MN|= 21 a. 6 21 a 6

?a-2a?2+?a-a?2+?a-a?2 ? 3 ? ? 3? ? 2 3? ? ? ? ? ? ?



答案:

→ E 若 15.如图, O 为?ABCD 所在平面外任意一点, 为 OC 的中点. AE= 设 1→ → → OD+xOB+yOA,则 x=________,y=________. 2 → → → 1→ → 解析: AE=OE-OA= OC-OA 2 1 → → → 1 → → → = (OB+BC)-OA= (OB+AD)-OA 2 2 1 → → → → = (OB+OD-OA)-OA 2 3→ 1→ 1→ =- OA+ OB+ OD. 2 2 2 1 3 ∴x= ,y=- . 2 2 答案: 1 2 3 - 2

x2
16.若方程 +

y2

=1 所表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 4-t t-1

5 ①若 C 为椭圆,则 1<t<4,且 t≠ ; 2 ②若 C 为双曲线,则 t>4 或 t<1; ③曲线 C 不可能是圆; 3 ④若 C 表示椭圆,且长轴在 x 轴上,则 1<t< . 2 其中正确的命题是________.(把所有正确命题的序号都填在横线上)

用心 爱心 专心

-5-

?4-t>0, ? 解析: 若为椭圆?t-1>0, ?4-t≠t-1, ?

5 即 1<t<4,且 t≠ , 2

若为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,即 4<t 或 t<1; 5 5 当 t= 时,表示圆,若 C 表示长轴在 x 轴上的椭圆,则 1<t< ,故①②正确. 2 2 答案: ①② 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤).
2 2

17.(本小题满分 12 分)已知 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根;q:方程 4x +4(m -2)x+1=0 无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.
2

解析: 若方程 x +mx+1=0 有两不等的负根, 则?
? ?Δ=m -4>0,
2

?m>0, ?
2

解得 m>2,即 p:m>2.

若方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根,
2 2

则 Δ=16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0, 解得 1<m<3,即 q:1<m<3. 因 p 或 q 为真,所以 p,q 至少有一为真, 又 p 且 q 为假,所以 p、q 至少有一为假,因此,p、q 两命题应一真一假, 即 p 为真,q 为假或 p 为假,q 为真. ∴?
?m>2, ? ? ?m≤1或m≥3

或?

?m≤2, ? ? ?1<m<3,

解得 m≥3 或 1<m≤2. 18.(本小题满分 12 分)已知拋物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 2- 2=1 的一个焦

x2 y2 a b

?3 ? 点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,拋物线与双曲线交于点 P? , 6?,求拋物 ?2 ?
线方程和双曲线方程.
2

解析: 依题意,设拋物线方程为 y =2px(p>0), 3 ?3 ? ∵点? , 6?在拋物线上,∴6=2p· ,∴p=2, 2 ?2 ?
2

∴所求拋物线方程为 y =4x. ∵双曲线左焦点在拋物线的准线 x=-1 上,

?3 ? 2 2 ∴c=1,即 a +b =1,又点? , 6?在双曲线上, ?2 ?
-6-

用心 爱心 专心

??3? ??2? - 6 ? ? ∴? a b ?a +b =1 ?
2 2 2 2 2

2

=1

?a =1 ? 4 ,解得? 3 ?b =4 ?
2 2



x2 y2
∴所求双曲线方程为 - =1. 1 3 4 4
2

19.(本小题满分 12 分)已知 p:2x -9x+a<0,
?x -4x+3<0, ? q:? 2 ? ?x -6x+8<0,
2 2

且綈 p 是綈 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.
? ?1<x<3, 解得? ? ?2<x<4,

解析:

? ?x -4x+3<0, 由 q:? 2 ? ?x -6x+8<0,

即 2<x<3,∴q:2<x<3.
2

设 A={x|2x -9x+a<0},B={x|2<x<3}, ∵綈 p?綈 q,∴q?p,∴B?A,
2

∴2<x<3 满足不等式 2x -9x+a<0,
2

令 f(x)=2x -9x+a,
2

要使 2<x<3 满足不等式 2x -9x+a<0, 只需?
?f?2?≤0, ? ?f?3?≤0, ?

? ?8-18+a≤0, 即? ? ?18-27+a≤0,

∴a≤9,

故所求实数 a 的取值范围是{a|a≤9}. 20.(本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB= 1 90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点. 2

(1)证明:面 PAD⊥面 PCD. (2)求 AC 与 PB 所成角的余弦值. 解析: 建立如图所示的空间直角坐标系,

用心 爱心 专心

-7-

1? ? 则各点的坐标为 A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、M?0,1, ?. 2? ? → → → → (1)证明:∵AP=(0,0,1),DC=(0,1,0),AP·DC=0. ∴AP⊥DC, ∵AD⊥DC,∴DC⊥面 PAD. 又 DC 在平面 PCD 上,故面 PAD⊥面 PCD. → → (2)∵AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1), → → → → 故|AC|= 2,|PB|= 5,AC·PB=2, → → AC·PB 10 → → ∴cos〈AC,PB〉= = . → → 5 |AC||PB|

x2
2 2 2

21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 G: +y =1.过点(m,0)作圆 x +y =1 的切线 l 交椭圆 4

G 于 A,B 两点.
(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.
2 2

解析: (1)由已知得 a=2,b=1,所以 c= a -b = 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0).

离心率为 e= =

c a

3 . 2

(2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为?1, 此时|AB|= 3. 当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m).

? ?

3? ? 3? ?,?1,- ?. 2? ? 2?

?y=k?x-m?, ? 由 ? x2 2 ? 4 +y =1 ?

2

2

2

2 2

得(1+4k )x -8k mx+4k m -4=0.

设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

用心 爱心 专心

-8-

2

2 2

x1+x2=

8k m 4k m -4 2, x 1x 2= 2 . 1+4k 1+4k |km|
2 2 2 2 2 2

又由 l 与圆 x +y =1 相切,得
2

=1,即 m k =k +1. k +1
2

所以|AB|= ?x2-x1? +?y2-y1?
2 2

= ?1+k ???x1+x2? -4x1x2]



? 64k m2 2-4?4k m -4?? ?1+k ?? 2 ? 1+4k ??1+4k ? ?
4 2 2 2 2



4 3|m| . m2+3

由于当 m=±1 时,|AB|= 3, 4 3|m| 所以|AB|= 2 ,m∈(-∞,-1]∪?1,+∞). m +3 4 3|m| 因为|AB|= 2 = m +3 4 3 ≤2,且当 m=± 3时,|AB|=2, 3 |m|+ |m|

所以|AB|的最大值为 2. 22.(本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB 1 = PD. 2

(1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q-BP-C 的余弦值. 解析:

如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角 坐标系 D-xyz.

(1)依题意有 Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0), → → → 则DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0).

用心 爱心 专心

-9-

→ → → → 所以PQ·DQ=0,PQ·DC=0, 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC. 又 DQ∩DC=D, 所以 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ?平面 PQC, 所以平面 PQC⊥平面 DCQ. → → (2)依题意有 B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1). 设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的法向量,则 → ?n·CB=0, ? ? ? → ?n·BP=0,
?x=0, ? ? ?-x+2y-z=0.

即?

因此可取 n=(0,-1,-2).

?m·→=0, ? BP 同理,设 m 是平面 PBQ 的法向量,则? ? → ?m·PQ=0,
可取 m=(1,1,1).所以 cos(m,n)=- 15 . 5

故二面角 Q-BP-C 的余弦值为-

15 . 5

用心 爱心 专心

- 10 -


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