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柱锥台侧面展开与面积


请同学们观察下列几幅图,想一想你怎样才能做出它们

§7 简单几何体的再认识
7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积

授课人:康 磊

1.掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式.(重点)

2.能应用公式求柱体、锥体、台体的侧面积,熟悉
柱体与锥体、台体之间的转换关系.(难点)

探究点1

圆柱、圆锥、圆台的侧面积

思考1: 把圆柱的侧面沿着一条母线展开,得到什
么图形?展开的图形与原图有什么关系? 提示:长方形 长方形的面积等于圆柱的侧面积

r

l

长方形
长= 2?r

宽=

l

特别提醒

s圆柱侧面积 ? s 长方形 ? 2?rl

将空间图形问题转化为平面图形问题,是解立 体几何问题最基本、最常用的方法.

思考2:把圆锥的侧面沿着一条母线展开,得到 什么图形?展开的图形与原图有什么关系? 提示:扇形

扇形的面积等于圆锥的侧面积

R扇= l
l扇=2 ?r

扇形

S圆锥侧=S扇

l
r

1 ? l扇l ? πrl 2

思考3:把圆台的侧面沿着一条母线展开,得到

什么图形?展开的图形与原图有什么关系?
提示:扇环 扇环的面积等于圆台的侧面积

注意转化!

S圆台侧=S扇环
扇环
r1

? ? ?r1 ? r2 ?l
证明如下:

l
r2

? ?SO A ? ?SOB
'

S

x

r o′ 1

A

2p r1

l
r2
B

1 1 ? S扇 环 = ? 2? r2 ? l ? x ? ? ? 2? r1 ? x 2 2 2p r2 ? ? ? r1 ? r2 ? l

扇 环

O' A S A ? ? O B SB r1 x ? ? , r2 x ? l

rl ?x? 1 r2 ? r1

思考4:将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行比

较,你能发现它们的联系和区别吗?

S圆锥侧 = p rl
r1 = 0

S圆台侧 = p (r1 + r2 )l
r1 = r2 = r

S圆柱侧 = 2p rl

探究点2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 思考1:把直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面分别沿着一

条侧棱展开,分别得到什么图形?侧面积是多少?

类比圆柱、圆 锥、圆台!

h

d

b

h

h
b

a

a

d

S直棱柱侧=(a ? b ? d ) ? h ? ch 其中c为底面周长,h为高

S正棱锥侧
h'
h'

1 = ch ' 2

其中c为底面周长,h?为斜高, 即侧面等腰三角形的高.

S正棱台侧
C′

1 = (c ? c ')h ' 2

h'

h'
C

其中c?,c分别为上、下底面周长, h?为斜高,即侧面等腰梯形的高.

思考2:将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进 行比较,你能发现它们的联系和区别吗?

1 S正棱锥侧= ch ' 2

c'= 0
1 S正棱台侧= (c+c ') h ' 2

c'= c

S直棱柱侧=ch ' = ch

例:一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和

6 cm,高是 3 cm, 求三棱台的侧面积.
2

分析:关键是求出斜高,注意图中的直角梯形

3 解 如图 O1 , O 分别是上、下底面的中心 ,则 O1O = , 2
连接 A1O1 并延长交 B1C1 于 D1 , 连接 AO 并延长交 BC 于 D , 过 D1 作 D1 E ? AD 于 E .

A1 B1 A O

O1

C1
D1

3 在 Rt ? D1 ED 中 , D1 E ? O1O ? , 2
1 3 3 DE ? DO ? OE ? DO ? D1O1 ? ? ? (6 ? 3) ? , 3 2 2

C
E B D

3 3 DD1 ? D1 E 2 ? DE 2 ? ( ) 2 +( ) 2 ? 3 , 2 2

所以 S正三棱台侧 = (c ? c ?) ? DD1 ?
答 :三棱台的侧面积为

1 2

27 3 (cm 2 ). 2

27 3 2 ? cm . 2

简单几何体的侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=______ 2π rl r为底面半径 侧面母线长 l为___________

圆柱

S圆锥侧=_____ π rl
圆锥 r为底面半径 侧面母线长 l为___________

几何体

侧面展开图

侧面积公式 π (r1+r2)l S圆台侧=__________

圆台

r1为上底面半径 r2为下底面半径 侧面母线长 l为___________ ch S直棱柱侧=___

直棱柱

周长 c为底面_____ h为____ 高

1 ch′ 2 S正棱锥侧=________

正棱锥

周长 c为底面______ 斜高 ,即侧 h′为______ 面等腰三角形的高

S正棱台侧= 1 (c+c′)h′ __________ 2 c′为上底面_____ 周长 正棱台
周长 c为下底面______

h′为______ 斜高 ,即侧
面等腰梯形的高

作业:
p46 练习题 3,4


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