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2.2.2 导数的几何意义 同步课件(北师大版选修2-2)


2.2 导数的几何意义 【课标要求】 1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义. 2.会求导函数. 3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 【核心扫描】 1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程.(重点) 2.准确理解在某点处与过某点的切线方程.(易混点) 课前探究学习 课堂讲练互动 自学导引 1.切线:如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4,…)沿着曲线f(x)趋 近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定 位置的直线PT称为点P处的切线.显然割线PPn的斜率是kn f?xn?-f?x0? = xn-x0 ,当点Pn无限趋近于点P时,kn无限趋近于切线 PT的斜率. 课前探究学习 课堂讲练互动 2 .几何意义 :函数 y =f(x) 在 x = x0 处的导数的几何意义是曲线 y =f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的 斜率 ,也就是曲线y=f(x)在 f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx 点P(x0,f(x0))处的切线斜率k=Δx→0 =f′(x0). 相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) . :过曲线y=f(x)上的某一点作曲线的切线有且只有一条吗? 课前探究学习 课堂讲练互动 提示 不一定.可能多条也可能不存在,如 y =|x| ,在点(0, 0) 处无切线,又在如图所示的曲线中,过点 A 可作两条切 线. 课前探究学习 课堂讲练互动 名师点睛 1.对导数几何意义的理解 (1)以前学过的切线的定义是与封闭曲线只有一个交点的直 线叫做曲线的切线,而此处切线的定义是曲线割线的交 点,趋近于另一个交点的极限位置,是从极限的角度定义 切线的. (2) 与曲线有且只有 一个交点 的直线不 一定是曲 线的切 线.反之,曲线的切线与曲线的交点个数可能不只一 个.如y=1与y=sin x有无数个交点,但y=1却是y=sin x 的切线. 课前探究学习 课堂讲练互动 (3) 若曲线 y = f(x) 在点 P(x0 , f(x0)) 处的导数不存在,但有切 线,则切线与x轴垂直. (4) 显然 f′(x0)>0 ,切线的倾斜角为锐角; f′(x0)<0 ,切线倾斜 角为钝角;f′(x0)=0,切线与x轴平行或重合. 课前探究学习 课堂讲练互动 2.利用导数的几何意义求曲线上某点的切线方程的步骤 第一步:求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0); 第二步:根据直线的点斜式方程,得切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). π 注意:若在点(x0,f(x0))处切线 l 的倾斜角为 ,此时切线 2 平行于 y 轴, 导数不存在, 不能用上述方法求切线的方程, 可根据切线的定义直接得切线方程为 x=x0. 课前探究学习 课堂讲练互动 3.求切点的坐标 设切点坐标为(x0,y0),根据导数的几何意义,求出切线的斜 率,然后利用两直线平行,垂直等条件求出切点的坐标. 4.求切线的倾斜角 求出函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0) ,由导数的几何意义, 得f′(x0)=k=tan α,(其中α为曲线f(x)在(x0,f(x0)处的切线的 倾斜角 ) 进而求出 α.特别地,若 f(x) 在 x0 处的导数不存在,而 f (x)在x0处的切线存在,则此切线的倾斜角为90°. 课前探究学习 课堂讲练互动 题型一 曲线的切线方程 【例1】 曲线y=x3-

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