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16-17版:4.1.1 圆的标准方程(步步高)


第四章

§ 4.1 圆的方程

4.1.1 圆的标准方程

学习目标

1.掌握圆的定义及标准方程; 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,会用待定系数法求圆的标 准方程.

问题导学

题型探究

达标检测

问题

导学
知识点一 圆的标准方程

新知探究 点点落实

思考1 答案 思考2 答案

确定一个圆的基本要素是什么? 圆心和半径. 在平面直角坐标系中,如图所示,以 (1,2)为圆心,以2 为半径 能.

的圆能否用方程(x-1)2+(y-2)2=4来表示? 1.以点(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆的标 准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 2.以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2.
答案

知识点二 点与圆的位置关系

思考 答案

点A(1,1),B(4,0), C( 2, 2) 同圆x2+y2=4的关系 |OA|<2,|OB|>2,|OC|=2.

如图所示,则|OA|,|OB|,|OC|同圆的半径r=2是什么关系? 点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断方法 位置关系 点M在圆上 点M在圆外
点M在圆内

利用距离判断 |CM|=r |CM|>r
|CM|<r

利用方程判断 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
答案 返回

题型探究
类型一 求圆的标准方程

重点难点 个个击破

例1 (1)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( D ) A.(x+1)2+(y+2)2=10 C.(x+1)2+(y+2)2=25 解析 ∵AB为直径, B.(x-1)2+(y-2)2=100 D.(x-1)2+(y-2)2=25

∴AB的中点(1,2)为圆心, 1 1 半径为2|AB|=2 ?5+3?2+?5+1?2=5, ∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.
解析答案

(2)与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为
2+(y+3)2=25 ( x + 5) ___________________.

解析 ∵圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相切, ∴该圆的半径为5, ∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25.

解析答案

(3)过点 A(1,-1) , B( -1,1)且圆心在直线 x+y-2 = 0上的圆的标准方 程是________________.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1 解

求下列圆的标准方程:

(1)圆心在y轴上,半径长为5,且过点(3,-4);
设圆心(0,b),

则 ?3-0?2+?-4-b?2=5,
得b=0或-8,
所以圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.

解析答案

(2)已知圆和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),且经过点(9,6); 解
1 所以过点(4,-1)的直径所在直线的斜率为-1=-6. 其方程为y+1=-6(x-4),即y=-6x+23. 6

因为圆C和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),

又因为圆心在以(4,-1),(9,6)两点为端点的线段的中垂线 5 5 13 y-2=-7(x- 2 ), 即5x+7y-50=0上,
? ?y=-6x+23, 解得圆心坐标为(3,5), 所以由? ? ?5x+7y-50=0,

所以半径为 ?9-3?2+?6-5?2= 37,
故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-5)2=37.
解析答案

(3)圆过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上.

解 线段AB的垂直平分线为y-2=2(x-3),
令y=0,则x=2,

∴圆心坐标为(2,0),
半径 r = ?5-2?2+?1-0?2= 10,

∴圆的标准方程为(x-2)2+y2=10.

解析答案

类型二 点与圆的位置关系
例2 (1)点P(m2 , 5)与圆x2+y2=24的位置关系是( B )

A.在圆内
C.在圆上

B.在圆外
D.不确定

解析 由(m2)2+52=m4+25>24,∴点P在圆外. (2)已知点M(5 a+1, a )在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是[0,1) ____.

解析

由题意知(5 a+1-1)2+( a)2<26,

? ?26a<26, 解得0≤a<1. 即? ? ?a≥0
反思与感悟

解析答案

跟踪训练2

已知点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的外部,则a的取值范围

(-∞,-1)∪(1,+∞) 是________________________.
解析 由题意知, (1-a)2+(1+a)2>4, 2a2-2>0, 即a<-1或a>1,

解析答案

类型三

与圆有关的最值问题

例3 已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3. y (1)求x的最大值和最小值; 解 原方程表示以点(2,0)为圆心,以 3为半径的圆, y 设 x= k ,即 y = kx , 当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值和最小值, |2k-0| 此时 2 = 3,解得 k=± 3. k +1 y 故x的最大值为 3,最小值为- 3.
解析答案

(2)求y-x的最大值和最小值; 解 设y-x=b,即y=x+b, 当y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小值,

|2-0+b| 此时 = 3. 2

即 b=-2± 6.

故 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6.

解析答案

(3)求x2+y2的最大值和最小值.



x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知,

它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值,

又圆心到原点的距离为2,
故(x2+y2)max=(2+ 3)2=7+4 3,

(x2+y2)min=(2- 3)2=7-4 3.

反思与感悟

解析答案

1 跟踪训练 3 已知 x 和 y 满足(x+1) +y =4,试求: (1)x2+y2的最值;
2 2



由题意知x2+y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方,显然当圆上

的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大 值和最小值. 原点(0,0)到圆心(-1,0)的距离为d=1,
1 3 故圆上的点到坐标原点的最大距离为 1+2=2, 1 1 最小距离为 1-2=2, 9 1 2 2 因此 x +y 的最大值和最小值分别为4和4.
解析答案

(2)x+y的最值.
解 令y+x=z并将其变形为y=-x+z,

问题转化为斜率为-1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.
当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值, |-1-z| 1 2 此时有 =2, 解得 z=± 2 -1, 2 2 2 即最大值为 2 -1,最小值为- 2 -1.

解析答案

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达标检测
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( D ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2
解析

1

2

3

4

B.(x+1)2+(y+1)2=1 D.(x-1)2+(y-1)2=2

圆的半径 r= ?1-0?2+?1-0?2= 2,

圆心坐标为(1,1),
所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

解析答案

1

2

3

4

2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是( A ) A.-1<a<1 C.a>1或a<-1 解析 ∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4, ∴-1<a<1. B.0<a<1 D.a=±1

解析答案

1

2

3

4

1 3.若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值是____.
解析 x2+y2表示圆上的点(x,y)与(0,0)间距离的平方, 由几何意义可知,

最小值为 14- 52+122=1.

解析答案

1

2

3

4

4.圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆
2+(y+3)2=5 ( x - 2) C的方程为__________________.

解析

由题意知圆心坐标为(2,-3),

半径 r= ?2-0?2+?-3+2?2= 5.
∴圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.

解析答案

规律与方法
1.判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法:主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法:主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断: 点P(x0,y0)在圆C上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2; 点P(x0,y0)在圆C内?(x0-a)2+(y0-b)2<r2; 点P(x0,y0)在圆C外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2.

2.求圆的标准方程时常用的几何性质
求圆的标准方程,关键是确定圆心坐标和半径,为此常用到圆的以下

几何性质:
(1)弦的垂直平分线必过圆心.

(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.
(3)圆心与切点的连线长是半径长.

(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.
3.求圆的标准方程常用方法:

(1)利用待定系数法确定a,b,r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径.
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