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2012届卢湾区高三一模数学文


上海市卢湾区 2012 届高三上学期期末质量监测数学(文)试题
2012.1

(本卷完成时间为 120 分钟,满分为 150 分)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题纸相应编号的空格内 直接写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.不等式 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解集为 . . .

1 ,则 cos 2? ? 3 1 3.函数 y ? ln x ( x ? 0) 的反函数为 2
2.若 sin ? ?

4.若集合 A ? {x | 0 ≤ x ≤ 5, x ?Z} , B ? {x | x ? , k ? A} ,则 A ? B ? 表示) .

k 2

(用列举法

5. 若函数 f ( x) ? ax ? b 的零点为 x ? 2 , 则函数 g ( x) ? bx 2 ? ax 的零点是 x ? 0 和 x ? . ? ? a1 ? ? ? b1 ? ? ? c1 ? ?a1 x ? b1 y ? c1 , 6.已知二元一次方程组 ? ,若记 a ? ? ? , b ? ? ? , c ? ? ? ,则该方程组 ? b2 ? ? c2 ? ? a2 ? ?a2 x ? b2 y ? c2 ? ? ? 存在唯一解的条件为 (用 a 、 b 、 c 表示) . 7.若 (1 ? ax)5 ? 1 ? 10 x ? bx 2 ? ?? a 5 x 5 ,则 b ? 8.若常数 t 满足 | t |? 1 ,则 lim .

1 ? t ? t 2 ? ? ? t n ?1 ? . n ?? tn 2 9.已知数列 {an } ,若 a1 ? 14 , an?1 ? an ? ( n ? N* ) ,则使 an ? an ? 2 ? 0 成立的 n 的值 3 是 .
10.甲、乙、丙三人同在某公司上班,若该公司规定,每位职工可以在每周七天中任选两天 休息(如选定星期一、星期三) ,以后不再改动,则他们选定的两个休息日相同的概率是 (结果用数值表示) .

? x ? y ? 1≥ 0, ? 11.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ≤ 0, ( a 为常数)所表示的平面区 ?ax ? y ? 1≥ 0 ?
域内的面积等于 2 ,则 a 的值为 .

12.为了解某校高三学生的视力情况,随机 查了该校 100 名高三学生的视力情况,得到 分布直方图,如右图,由于不慎将部分数据 失, 但知道前 4 组的频数成等比数列, 6 组 后

频率 组距

地抽 频率 丢 的频

0. 3 0. 1 4. 3 4.44. 54. 6 4. 7 4. 8 4.9 5.0 5.15.2 视力

第1页

数成等差数列,那么最大频率为
x

,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为



13.已知函数 f ( x) ? ab ? c (b ? 0, b ? 1) , x ? [0, ??) ,若其值域为 [?2,3) ,则该函数的一 个解析式可以为 f ( x) ? . 14. 若对于满足 ?1 ≤ t ≤ 3 的一切实数 t , 不等式 x2 ? (t 2 ? t ? 3) x ? t 2 (t ? 3) ? 0 恒成立, x 则 的取值范围为 . 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.在复平面内,复数 z ? (1 ? i)i ( i 为虚数单位)对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 16. ? ? 2k ? ? ? (k ? Z) ”是“ tan ? ? tan ? ”成立的( “ A.充分非必要条件 C.充要条件 则函数 f ( x) 可以是( ) . ) . ) .

D.第四象限

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

17.若函数 f ( x) 同时满足下列三个条件:①有反函数 ②是奇函数 ③其定义域与值域相同,

? ? A. f ( x) ? sin x ( ? ≤ x ≤ ) 2 2
C. f ( x) ? ? x 3

e x ? e?x B. f ( x) ? 2 1? x D. f ( x) ? ln 1? x
) . B. y ? 4 ? x2 ( 0 ? x ? 2 ) D. y ? 2 ? x2 ( 0 ? x ? 1 )

18.已知函数 f ( x) ?| x2 ? 1| ,若 0 ? x ? y ,且 f ( x) ? f ( y) ,则( A. y ? 4 ? x2 ( 0 ? x ? 2 ) C. y ? 2 ? x2 ( 0 ? x ? 2 ) 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号

在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 a ? 2b cos C , b ? c ? 3a . 求 sin A 的值. 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 已知函数 f ( x) ?| x ? a | , g ( x) ? x2 ? 2ax ? 1( a 为正常数) ,且函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像 在 y 轴上的截距相等. (1)求 a 的值; (2)若 h( x) ? f ( x) ? b g ( x) ( b 为常数) ,试讨论函数 h( x) 的奇偶性.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

第2页

? ? 已知 a 、 b 是两个不共线的非零向量. ??? ? ? 1 (1)设 OA ? a , OB ? tb ( t ? R ) OC ? (a ? b) ,当 A 、 B 、 C 三点共线时,求 t 的 , 3 P 值. E ? ???? ? ??? ? ( 2 ) 如 图 , 若 a ? O D , b ? OE , a 与 b 夹 角 为 120? , ? ? ? | a |?| b |? 1 , 点 P 是 以 O 为 圆 心 的 圆 弧 DE 上 一 动 点 , 设

??? ? ???? ??? ? ,求 x ? y 的最大值. OP ? xOD ? yOE ( x, y ?R )

第(2)小题

O

D

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 7 分. 已知数列 {bn } ,若存在正整数 T ,对一切 n ? N* 都有 bn?T ? bn ,则称数列 {bn } 为周期数 列, T 是它的一个周期.例如: 数列 a , a , a , a ,? ① 可看作周期为 1 的数列; 数列 a , b , a , b ,? ② 可看作周期为 2 的数列; 数列 a , b , c , a , b , c ,? ③ 可看作周期为 3 的数列?

?a n为正奇数, (1)对于数列②,它的一个通项公式可以是 an ? ? 试再写出该数列的一 ?b n为正偶数. 个通项公式;
(2)求数列③的前 n 项和 Sn ; (3)在数列③中,若 a ? 2, b ? , c ? ?1 ,且它有一个形如 bn ? A sin(?n ? ? ) ?B 的通 项公式,其中 A 、 B 、 ? 、 ? 均为实数, A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? 式 bn .

1 2

? ,求该数列的一个通项公 2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ?

x ?1? t ( t 为常数) . t?x

y

(1)当 t ? 1 时,在图中的直角坐标系内作出函数

y ? f ( x) 的大致图像, 并指出该函数所具备的基本性质
的两个(只需写两个) . (2)设 an ? f (n) ( n ? N* ) ,当 t ? 10 ,且 t ? N * 试判断数列 {an } 的单调性并由此写出该数列中最大项 最小项(可用 [t ] 来表示不超过 t 的最大整数) .

1 ?1 O 1 ?1


x

时, 和

第3页

(3)利用函数 y ? f ( x) 构造一个数列 {xn } ,方法如下:对于给定的定义域中的 x1 ,令 ,? x2 ? f ( x1 ) , x3 ? f ( x2 ) ,?, xn ? f ( xn?1 ) ( n ≥ 2 , n ? N* ) 在上述构造过程中,若 xi ( i ? N * )在定义域中,则构造数列的过程继续下去;若 xi 不 在定义域中,则构造数列的过程停止. 若可用上述方法构造出一个常数列 {xn } ,求 t 的取值范围.

数学参考答案及评分标准
零分. 1. ? 2.

2012.1

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,每个空格填对得 4 分,否则一律得

? ? 6. a 与 b 不平行
10.

7 9

3. y ? e2x ( x ? R ) 7. 40 11. (文) 3 8.

4. {0,1, 2}

5. ?

1 2

1 t ?1

9. 21

1 441
x

12. 0.27 , 78 14. (??, ?4) ? (9, ??)

?1? 13. ?5 ? ? ? 3 (满足 0 ? b ? 1 的 b 均可) ?2?

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.B 16.D 17.C 18.D

三、解答题(本大题满分 74 分) 19. (本题满分 12 分) 由 a ? 2b cos C 及正弦定理,得 sin A ? 2sin B cos C ,又 A ? ? ? ( B ? C ) , 可化为 sin( B ? C ) ? 2sin B cos C ,展开整理得 sin( B ? C ) ? 0 , 分) (4 在三角形中得 B ? C ? 0 ,即 B ? C ,可得 b ? c , 分) (6 于是由 b ? c ? 3a ,得 2b ? 3a ,因此 cos C ? 可得 sin C ?

a 1 (8 ? , 分) 2b 3

2 2 , (10 分) 3

故 sin A ? sin(? ? 2C ) ? 2sin C cos C ?

4 2 . (12 分) 9

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. (1)由题意, f (0) ? g (0) ,即 | a |? 1 ,又 a ? 0 ,故 a ? 1 . 分) (4 (2) h( x) ? f ( x) ? b g ( x) ?| x ?1| ?b | x ? 1| ,其定义域为 R , 分) (8

h(? x) ?| ? x ? 1| ?b | ? x ? 1|?| x ? 1| ?b | x ? 1| .
若 h( x) 为偶函数,即 h( x) ? h(? x) ,则有 b ? 1 ,此时 h(2) ? 4 , h(?2) ? 4 , 故 h(2) ? ?h(?2) ,即 h( x) 不为奇函数;

第4页

若 h( x) 为奇函数,即 h( x) ? ?h(? x) ,则 b ? ?1 ,此时 h(2) ? 2 , h(?2) ? ?2 , 故 h(2) ? h(?2) ,即 h( x) 不为偶函数; 综上,当且仅当 b ? 1 时,函数 h( x) 为偶函数,且不为奇函数, (10 分) 当且仅当 b ? ?1 时,函数 h( x) 为奇函数,且不为偶函数, (12 分) 当 b ? ?1 时,函数 h( x) 既非奇函数又非偶函数. (14 分) 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. ??? ? ??? ? (1)由题意,可设 AB ? k BC , 分) (2 ??? ??? ??? ? ? ??? ???? ??? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? 将 AB ? OB ? OA ? tb ? a , BC ? OC ? OB ? a ? ( ? t )b 代入上式,

3 3 ? ? k? ? 1 1 得 tb ? a ? a ? k ( ? t )b ,解得 k ? ?3 , t ? . 分) (6 3 3 2

1 3 ). (2)以 O 为原点, OD 为 x 轴建立直角坐标系,则 D(1,0) , E ( ? , 2 2
设 ?POD ? ? ( 0 ≤? ≤

??? ? ???? ??? ? ?? 1 c ,sin ) ,则 P( os ? ) ? ,由 O ?x D yO ,得 c s ? ? x ? y , P O ?E o 3 2 2 1 3 sin ? , x ? cos ? ? sin ? , sin ? ? y ,于是 y ? (10 分) 2 3 3 ? 于是 x ? y ? cos? ? 3sin ? ? 2sin(? ? ) , 6 ? 故当 ? ? 时, x ? y 的最大值为 2 . (14 分) 3 ??? ???? ? ???? ???? ??? ???? ? ?? 另解:设 ?POD ? ? ( 0 ≤? ≤ ) ,由 OP ? OD ? xOD ? OD ? yOE ? OD , 3 ??? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? ?? 1 1 OP ? OE ? xOD ? OE ? yOE ? OE ,可得 cos? ? x ? y , cos( ? ? ) ? ? x ? y , 3 2 2 ?? ? 于是 x ? y ? 2[cos? ? cos( ? ? )] ? 2sin(? ? ) , 3 6 ? 故当 ? ? 时, x ? y 的最大值为 2 . 3
22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 7 分. (1) an ? [1 ? (?1)n?1 ] ? [1 ? (?1)n ] 或 an ? a | sin (2)当 n ? 3k ? 1 时, Sn ? 当 n ? 3k ? 2 时, Sn ?

a 2

b 2

n?2 (7 (a ? b ? c) ? a ? b ; 分) 3 n 当 n ? 3k ? 3 时, Sn ? (a ? b ? c) ( k ? N )(9 分) . 3 2? 2? (3)由题意, ? ? 0 ,应有 , (10 分) ? 3 ,得 ? ? ? 3

n ?1 (5 (a ? b ? c) ? a ; 分) 3

n? n? (3 | ?b | cos | 等. 分) 2 2

第5页

于是 bn ? Asin(

2? ? ? A sin( 3 ? ? ) ? B ? 2, (1) ? 4? 1 1 ? 把 b1 ? 2 , b2 ? , b3 ? ?1 代入上式得 ? A sin( ? ? ) ? B ? , (2) (12 分) 3 2 2 ? ? A sin(2? ? ? ) ? B ? ?1, (3) ? ?
由(1)(2)可得 A cos ? ? (13 分)

2? n ? ?) ? B , 3

3 A 5 1 ,再代入(1)的展开式,可得 ? sin ? ? B ? ,与(3)联立得 B ? , 2 2 4 2

3 ? ? (14 分) Asin ? ? ? ,于是 tan ? ? ? 3 ,因为 | ? |? ,所以 ? ? ? , 2 3 2 于是可求得 A ? 3 . (15 分) 2n? ? 1 故 bn ? 3sin( ? ) ? ( n ? N* ) 3 3 2 2n? ? 1 或写成 bn ? 3sin[ . (3k ? 1) ? ] ? ( k ? Z , n ? N* )(16 分) 3 3 2
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)当 t ? 1 时, f ( x) ? 图像如图(2 分) 基本性质: (每个 2 分) 奇偶性:既非奇函数又非偶函数; 单调性:在 (??,1) 和 (1, ??) 上分别递增; 零点: x ? 0 ; 最值:无最大、小值. 分) (6
1 ?1 O 1 ?1

x ?1 . ? ?1 ? 1? x x ?1

y

x

n ?1? t ?1 , ? ?1 ? t ?n n ?t 当 1≤ n ≤ [t ] , n ? N* 时,数列单调递增,且此时 an 均大于 ?1,
(2) an ? 当 n ≥[t ] ? 1 , n ? N* 时,数列单调递增,且此时 an 均小于 ?1, 分) (8 [t ] ? 1 ? t 因此,数列中的最大项为 a[ t ] ? , (10 分) t ? [t ] [t ] ? 2 ? t 最小项为 a[ t ]?1 ? . (12 分) t ? 1 ? [t ] (3) (文)根据题意,只需当 x ? t 时,方程 f ( x) ? x 有解, 亦即方程 x2 ? (1 ? t ) x ? 1 ? t ? 0 有不等于 t 的解, (14 分) 将 x ? t 代入方程左边,得左边为 1 ? 0 ,故方程不可能有 x ? t 的解. (16 分) 由 ? ? (1 ? t )2 ? 4(1 ? t ) ≥ 0 ,解得 t ≤ -3 或 t ≥ 1 ,

第6页

即实数 t 的取值范围是 (??, ?3] ? [1, ??) . (18 分)

第7页


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