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高三数学暑假衔接第八讲


第 8 讲 解析几何(一)
【考纲要求】 1.掌握直线斜率与倾斜角、直线方程、两条直线平行垂直、距离等. 2.掌握确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆 的位置关系;初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用. 4.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单 的问题. 5. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简 单的问题. 6.了解圆锥曲线的简单应用,理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系. 【教学重难点】 重点:.直线与圆 难点:圆锥曲线的定义、方程和性质 【重难点命题方向】

例 2:若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则 m 的倾 斜角可以是: ① 15
?

② 30

?

③ 45

?

④ 60

?

⑤ 75

?

其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案的序号) 要点考向 2:两直线的位置关系

例 2: (·安徽高考·T4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 (A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0

(2)经过点 (?2 , 3) 且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线方程为



1

要点考向 3:圆的方程 例 3:(·广东高考文科·T6)若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方程是( A. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 ) B. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 C. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 D. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5

要点考向 4:直线和圆的位置关系 例 4: (·重庆高考T8)若直线 y ? x ? b 与曲线 ? 则实数 b 的取值范围为( ) A. (2 ? 2,1) C. (??, 2 ? 2) ? (2 ? 2, ??) B. ? 2 ? 2, 2 ? 2 ?

? x ? 2 ? cos ? , ( ? ?? 2 ,0 ? ? )有两个不同的公共点, ? y ? sin ?

?

?

D. (2 ? 2, 2 ? 2)

(2)直线 2ax ? by ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相交于 A , B 两点(其中 a , b 是实数) ,且 ?AOB 是直角三角形( O 是坐标原点) ,则点 P ? a , b ? 与点 ? 0 , 1? 之间距离的最大值为( A. 2 ? 1 B. 2 C. 2 D. 2 ? 1 ) )

(3)直线 x ? y ? 2 ? 0 截圆 x2 ? y 2 ? 4 所得劣弧所对圆心角为( A.

π 6

B.

π 3

C.

π 2

D.

2π 3

( 4)已知点 A ?1 , ? 1? ,点 B ? 3 , 5? ,点 P 是直线 y ? x 上动点,当 | PA | ? | PB | 的值最小时,点 P 的坐标 是 .

( 5)经过点 P(2, ? 3) 作圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 25 的弦 AB ,使点 P 为弦 AB 的中点,则弦 AB 所在直线方程为 ( ) x ? y ? 5 ?0 A. C. x ? y ? 5 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 D. x ? y ? 5 ? 0

要点考向:圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程 1(高考课标Ⅱ卷)设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 C 上的点 a 2 b2
( )

PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30? ,则 C 的离心率为

A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未 找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 x2 y2 y2 2(1)设椭圆 + =1 和双曲线 -x2=1 的公共焦点分别为 F1、 F2, P 为这两条曲线的一个交点, 则|PF1|· |PF2| 2 m 3 2

的值等于________. (2)已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|, 则 k=________.

x2 1 2 3(高考山东卷(文) )抛物线 C1 : y ? x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 3 2p
于第一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线,则 p =( )

A.

3 16

B.

3 8

C.

2 3 3

D.

4 3 3

x2 y2 3 (1)(2012· 山东)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2-y2=1 的渐近线与 a b 2 椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 x2 y2 A. + =1 8 2 x2 y2 C. + =1 16 4 x2 y2 B. + =1 12 6 x2 y2 D. + =1 20 5 ( )

(2)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,B, 交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 ( A.y2=9x C.y2=3x B.y2=6x D.y2= 3x )

(· 安徽高考· T19) 已知椭圆 E 经过点 A ? 2,3? , 对称轴为坐标轴, 焦点 F1 , F2 在 x 轴上, 离心率 e ? (1)求椭圆 E 的方程;

1 。 2

l (2)求 ?F 1 AF 2 的角平分线所在直线 的方程;
(3)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由。

考点二 圆锥曲线的几何性质 例2 x2 y2 (1)(2013· 辽宁)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F, C 与过原点的直线相交于 A, B 两点, a b

3

4 连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为( 5 3 A. 5 5 B. 7 4 C. 5 6 D. 7

)

x2 y2 (2)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 点 P 在双曲线的右支上, 且|PF1|=4|PF2|, a b 则双曲线的离心率 e 的最大值为________.

(1)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且 B F =2 F D ,则 C 的离心率为________.
2 x2 y2 2 2 a (2)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x +y = 的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右 a b 4





支于点 P,若 E 为 PF 的中点,则双曲线的离心率为________.

【高考真题探究】
1. 【高考福建卷第 9 题】设 P, Q 分别为 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆
2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间的最 10

大距离是( A. 5 2

) B. 46 ? 2 C. 7 ? 2 D. 6 2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1的 2. 【高考广东卷理第 4 题】 若实数 k 满足 0 ? k ? 9 , 则曲线 ( 25 9 ? k 25 ? k 9
A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等



P 是他们的一个公共点, 3.【高考湖北卷理第 9 题】 已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, 且 ?F1PF2 ?
则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A. ) D.2

?
3

,

4 3 3

B.

2 3 3

C.3

4.【高考湖南卷第 15 题】 如图 4, 正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a, b ? a ? b ? , 原点 O 为 AD 的中点, 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 经过 C , F 两点,则
2

b ? _____ . a

4

图 14 5. 【江西高考理第 15 题】 过点 M (1,1) 作斜率为 ? 若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为

1 x2 y 2 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B , 2 a b
.
[来源:Zxxk.Com]

6. 【辽宁高考理第 10 题】已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y 2 ? 2 px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一 象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A. )

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 3

7. 【辽宁高考理第 15 题】已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对 9 4
.

称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?
2 2

8. 【全国 1 高考理第 4 题】已知 F 为双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条 渐近线的距离为( A. ) C.

3

B. 3

3m

D. 3m
2

9. 【全国 1 高考理第 10 题】已知抛物线 C: y ? 8x 的焦点为 F,准线为 l ,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 得一个焦点,若 PF ? 4FQ ,则 QF ? ( A. )

7 2

B.

3

C.

5 2

D.

2

10. 【全国 2 高考理第 10 题】设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A, B 两点,O 为坐标原点,则 △OAB 的面积为( A. )

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4

x2 y2 + = 4(a>b>0) 2 b2 (2017 山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 a 与焦点为 F 的抛物线

x2 = 2py( p > 0) 交于 A,B 两点,若 AF + BF = OF ,则该双曲线的渐近线方程为_________.

【老师 5 分钟答疑】 5

6


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