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2015年山东省威海市高考数学一模试卷(理科)


2015 年山东省威海市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1. (5 分) (2015?威海一模)已知 i 是虚数单位,若 z(1+3i)=i,则 z 的虚部为( ) A. B. ﹣ C. D. ﹣

【考点】 : 复数代数形式的乘除运算. 【

专题】 : 数系的扩充和复数. 【分析】 : 把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解析】 : 解:由 z(1+3i)=i,得 ∴z 的虚部为 . ,

故选:A. 【点评】 : 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2. (5 分) (2015?威海一模) 已知集合 A={x|x ≥1}, B={x|y=
2

}, 则 A∩ ?RB= (



A. (2,+∞) B. (﹣∞,﹣1]∪(2,+∞) C. (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) D. [﹣ 1,0]∪[2,+∞) 【考点】 : 交、并、补集的混合运算. 【专题】 : 集合. 【分析】 : 求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 x 的范围确定出 B,找出 A 与 B 补 集的交集即可. 【解析】 : 解:由 A 中不等式解得:x≥1 或 x≤﹣1,即 A=(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) , 由 B 中 y= ,得到 1﹣log2x≥0,即 log2x≤1=log22,

解得:0<x≤2,即 B=(0,2], ∴?RB=(﹣∞,0]∪(2,+∞) , 则 A∩ ?RB=(﹣∞,﹣1]∪(2,+∞) , 故选:B. 【点评】 : 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3. (5 分) (2015?威海一模)设 x、y 是两个实数,命题“x、y 中至少有一个数大于 1”成立 的充分不必要条件是( ) 2 2 A. x+y=2 B. x+y>2 C. x +y >2 D. xy>1 【考点】 : 充要条件.

【分析】 : 先求出

的必要不充分条件;利用逆否命题的真假一致,求出命题“x、y 中

至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件. 【解析】 : 解:若 满足 所以 是 x+y≤2 的充分不必要条件. 时有 x+y≤2 但反之不成立,例如当 x=3,y=﹣10 满足 x+y≤2 当不

所以 x+y>2 是 x、y 中至少有一个数大于 1 成立的充分不必要条件. 故选 B 【点评】 : 本题考查逆否命题的真假是相同的, 注意要说明一个命题不成立, 常通过举反例. 4. (5 分) (2015?威海一模)如图程序框图中,若输入 m=4,n=10,则输出 a,i 的值分别 是( )

A. 12,4 B. 16,5 C. 20,5 D. 24,6 【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 图表型;算法和程序框图. 【分析】 : 模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 i,a 的值,当 a=20 时,满足条件 n 整 除 a,退出循环,输出 a 的值为 20,i 的值为 5. 【解析】 : 解:模拟执行程序,可得 m=4,n=10,i=1 a=4, 不满足条件 n 整除 a,i=2,a=8 不满足条件 n 整除 a,i=3,a=12 不满足条件 n 整除 a,i=4,a=16 不满足条件 n 整除 a,i=5,a=20

满足条件 n 整除 a,退出循环,输出 a 的值为 20,i 的值为 5. 故选:C. 【点评】 : 本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的 i,a 的值是解题的 关键,属于基本知识的考查.

5. (5 分) (2015?威海一模)已知双曲线 x+3y+1=0 垂直,则双曲线的离心率等于( A. B. C. D. )

=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 渐近线与直线 x+3y+1=0 垂直,得 a、b 关系,再由双曲线基本量的平方关系, 得出 a、c 的关系式,结合离心率的定义,可得该双曲线的离心率. 【解析】 : 解:∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 x+3y+1=0 垂直.

∴双曲线的渐近线方程为 y=± x ∴ =3,得 b =9a ,c ﹣a =9a , 此时,离心率 e= = .
2 2 2 2 2

故选:C. 【点评】 : 本题给出双曲线的渐近线方程,求双曲线的离心率,考查了双曲线的标准方程与 简单几何性质等知识,属于基础题.

6. (5 分) (2015?威海一模) 定义:

|=a1a4﹣a2a3, 若函数 f (x) =



将其图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值 是( ) A. B. π C. D. π

【考点】 : 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;两角和与差的正弦函数. 【专题】 : 三角函数的图像与性质. 【分析】 : 由题意可得解析式 ( f x) =2sin (x﹣ (x+m﹣ ) ,由 m﹣ =kπ+ ) , 平移后所得到的图象解析式可求得 y=2sin

,k∈Z,即可求 m 的最小值.

【解析】 : 解:由题意可得:f(x)=

sinx﹣cosx=2sin(x﹣

) , ) ,

将其图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象解析式为:y=2sin(x+m﹣ 由于所得到的图象关于 y 轴对称,则有:m﹣ 故解得:m(m>0)的最小值是 . =kπ+ ,k∈Z,

故选:B. 【点评】 : 本题主要考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,两角和与差的正弦函数公式 的应用,属于基本知识的考查.

7. (5 分) (2015?威海一模)已知函数 f(x)=

,则 y=f(2﹣x)的大

致图象是(



A.

B.

C.

D.

【考点】 : 函数的图象. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 先由 f(x)的函数表达式得出函数 f(2﹣x)的函数表达式,由函数表达式易得 答案.

【解析】 : 解:∵函数 f(x)=



则 y=f(2﹣x)=



故函数 f(2﹣x)仍是分段函数,以 x=1 为界分段,只有 A 符合, 故选:A. 【点评】 : 本题主要考查分段函数的性质,对于分段函数求表达式,要在每一段上考虑. 8. (5 分) (2015?威海一模)如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体 积为( )

A. 2

B. 3

C. 5

D. 5

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 : 根据几何体的三视图,得出该几何体是正三棱柱与一球体的组合体,结合数据求 出它的体积. 【解析】 : 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底部为正三棱柱,上部为一球体的组合体; 且正三棱柱的底面三角形的边长为 2,高为 5, 球的半径为 × = ;

∴该组合体的体积为 V=V 三棱柱+V 球= ×2× ×5+ π× =5 + π.

故选:D. 【点评】 : 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题, 解题时应根据三视图得出几何体的 结构特征,是基础题目.

9. (5 分) (2015?威海一模)若实数 x,y 满足的约束条件

,将一颗骰子投掷

两次得到的点数分别为 a, b, 则函数 z=2ax+by 在点 (2, ﹣1) 处取得最大值的概率为 ( A. B. C. D.



【考点】 : 几何概型;简单线性规划. 【专题】 : 应用题;概率与统计. 【分析】 :利用古典概型概率计算公式, 先计算总的基本事件数 N, 再计算事件函数 z=2ax+by 在点(2,﹣1)处取得最大值时包含的基本事件数 n,最后即可求出事件发生的概率.

【解析】 : 解:画出不等式组

表示的平面区域,

∵函数 z=2ax+by 在点(2,﹣1)处取得最大值, ∴直线 z=2ax+by 的斜率 k= ≤﹣1,即 2a≥b.

∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为(a,b) ,则这样的有序整数对共有 6×6=36 个 其中 2a≤b 的有(1,1) , (1,2) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3, 3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6)共 30 个 则函数 z=2ax+by 在点(2,﹣1)处取得最大值的概率为 故选:D. = .

【点评】 : 本题考查了古典概型概率的计算方法,乘法计数原理,分类计数原理,属于基础 题

10. (5 分) (2015?威海一模)已知 M 是△ABC 内的一点(不含边界) ,且

?

=2

,∠

BAC=30°若△MBC,△MAB,△MCA 的面积分别为 x,y,z,记 f(x,y,z)= + + ,则 f(x,y,z)的最小值为( ) A. 26 B. 32 C. 36 D. 48 【考点】 : 函数的最值及其几何意义. 【专题】 : 综合题;不等式的解法及应用. 【分析】 : 先由条件求得 AB?AC=4,再由 S△ABC= AB?AC?sin30°=1,可得 x+y+z=1. 再 由 f(x,y,z)= + + =( + + ) (x+y+z) ,利用基本不等式求得它的最小值. 【解析】 : 解:∵ ? =2 ,∠BAC=30°,

∴AB?AC?cos30°=2

,∴AB?AC=4.

∵S△ABC= AB?AC?sin30°=1=x+y+z. ∴f(x,y,z)= + + =( + + ) (x+y+z) =1+4+9+ + + + + + ≥14+4+6+12=36,

即 f(x,y,z)= + + 的最小值为 36, 故选:C. 【点评】 : 本题主要考查两个向量的数量积的定义,基本不等式的应用,属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应题的横线 上. 11. (5 分) (2015?威海一模)已知 α∈(π,2π) ,cosα=﹣ ,tan2α= ﹣ .

【考点】 : 二倍角的正切. 【专题】 : 三角函数的求值. 【分析】 : 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sinα、tanα 的值,再利用二倍角的正切 公式求得 tan2α 的值. 【解析】 : 解:∵α∈(π,2π) ,cosα=﹣ ∴sinα=﹣ ∴tan2α= = =﹣ ,tanα= =﹣ , , =2,

故答案为:



【点评】 : 本题主要考查同角三角函数的基本关系, 二倍角的正切公式的应用, 属于基础题. 12. (5 分) (2015?威海一模)采用系统抽样方法从 600 人中抽取 50 人做问卷调查,为此将 他们随机编号为 001,002,…,600,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码 为 003,抽到的 50 人中,编号落入区间[001,300]的人做问卷 A,编号落入区间[301,495] 的人做问卷 B,编号落入区间[496,600]的人做问卷 C,则抽到的人中,做问卷 C 的人数为 8 . 【考点】 : 系统抽样方法. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 由题意可得抽到的号码构成以 3 为首项、以 12 为公差的等差数列,求得此等差 数列的通项公式为 an=12n﹣9,由 496≤12n﹣9≤600,求得正整数 n 的个数,即为所求. 【解析】 : 解:∵600÷50=12, ∴由题意可得抽到的号码构成以 3 为首项、以 12 为公差的等差数列,

且此等差数列的通项公式为 an=3+12(n﹣1)=12n﹣9. 落人区间[496,600]的人做问卷 C, 由 496≤12n﹣9≤600, 即 505≤12n≤609 解得 42 ≤n≤50 .

再由 n 为正整数可得 43≤n≤50, ∴做问卷 C 的人数为 50﹣43+1=8, 故答案为:8 【点评】 : 本题主要考查等差数列的通项公式,系统抽样的定义和方法,根据系统抽样的定 义转化为等差数列是解决本题的关键,比较基础. 13. (5 分) (2015?威海一模) 对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:
3 3 3 3

2

,3

,4

,…仿此,若 m 的“分裂”数中有一个是 73,则 m 的值为 9 .

【考点】 : 等差数列的通项公式;数列的函数特性. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : 由题意可得 a3﹣a2=7﹣3=4=2×2,a4﹣a3=13﹣7=6=2×3,…am﹣am﹣1=2(m﹣1) , 累加由等差数列的求和公式可得 am,验证可得. 3 【解析】 : 解:由题意可得 m 的“分裂”数为 m 个连续奇数, 3 设 m 的“分裂”数中第一个数为 am, 则由题意可得 a3﹣a2=7﹣3=4=2×2, a4﹣a3=13﹣7=6=2×3, …am﹣am﹣1=2(m﹣1) , 以上 m﹣2 个式子相加可得 am﹣a2=
2

=(m+1) (m﹣2) ,

∴am=a2+(m+1) (m﹣2)=m ﹣m+1, 3 ∴当 m=9 时,am=73,即 73 是 9 的“分裂”数中的第一个 故答案为:9 【点评】 : 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,涉及累加法求数列的通项公式,属中 档题. 14. (5 分) (2015?威海一模)已知偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣
2

,且当 x∈[﹣1,

0]时,f(x)=x ,若在区间[﹣1,3]内,函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有 4 个零点,则 实数 a 的取值范围是 [5,+∞) . 【考点】 : 抽象函数及其应用;函数的零点与方程根的关系. 【专题】 : 综合题;函数的性质及应用.

【分析】 : 根据 f(x+1)=﹣
2

,可得 f(x)是周期为 2 的周期函数. 再由 f(x)是

偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x ,可得函数在[﹣1,3]上的解析式.根据题意可得函数 y=f(x)的图象与 y=loga(x+2 有 4 个交点,即可得实数 a 的取值范围. 【解析】 : 解:函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣ 故 f(x)是周期为 2 的周期函数. 再由 f(x)是偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x , 2 2 可得当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x ,故当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=x ,当 x∈[1,3]时,f(x) 2 =(x﹣2) . 由于函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有 4 个零点,故函数 y=f(x)的图象与 y=loga(x+2) 有 4 个交点, 所以可得 1≥loga(3+2) , ∴实数 a 的取值范围是[5,+∞) . 故答案为:[5,+∞) . 【点评】 : 本题主要考查函数的周期性的应用,函数的零点与方程的根的关系,体现了转化 的数学思想,属于基础题. 15. (5 分) (2015?威海一模)抛物线 y =12x 的焦点为 F,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为 其准线上的动点,当△FPM 为等边三角形时,则△FPM 的外接圆的方程为 .
2 2

,故有 f(x+2)=f(x) ,

【考点】 : 抛物线的简单性质. 【专题】 : 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 利用抛物线的定义得出 PM 垂直于抛物线的准线, 设M (﹣3,m) , 则 P(9,m) , 求出△PMF 的边长,写出有关点的坐标,得到外心 Q 的坐标,△FPM 的外接圆的半径,从 而求出其方程. 【解析】 : 解:据题意知,△PMF 为等边三角形,PF=PM, ∴PM⊥抛物线的准线,F(3,0) 设 M(﹣3,m) ,则 P(9,m) ,等边三角形边长为 12,如图. 在直角三角形 APF 中,PF=12,解得外心 Q 的坐标为(3,±4 ) . 则△FPM 的外接圆的 半径为 4 , ∴则△FPM 的外接圆的方程为 故答案为: . .

【点评】 : 本题主要考查了抛物线的简单性质,直线与抛物线的综合问题.考查了学生综合 把握所学知识和基本的运算能力 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤. 16. (12 分) (2015?威海一模) △ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, sin(B﹣A)=cosC. (Ⅰ)求 A,B,C; (Ⅱ)若 S△ABC=3+ ,求 a,c. ,

【考点】 : 正弦定理;两角和与差的正弦函数. 【专题】 : 解三角形. 【分析】 : (Ⅰ)直接利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式,结合已 知条件,通过解三角方程即可求 A,B,C; (Ⅱ)通过 S△ABC=3+ 【解析】 : 解: (Ⅰ)∵ ,以及正弦定理即可求 a,c. ,∴ ,

∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB, 得 sin(C﹣A)=sin(B﹣C) . ∴C﹣A=B﹣C,或 C﹣A=π﹣(B﹣C) (不成立) . 即 2C=A+B,得 ∴ ∵ 则 ∴ ,或 , , (舍去) . ,

(Ⅱ)∵ 又∵ 即 , ,

∴ . 【点评】 : 本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法,两角和与差的三角函数的应用,考 查计算能力. 17. (12 分) (2015?威海一模)已知数列{an}是等比数列,首项 a1=1,公比 q>0,其前 n 项 和为 Sn,且 S1+a1,S3+a3,S2+a2 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 an+1=( ) m 的最大值. 【考点】 : 数列递推式;等差数列的通项公式;数列的求和. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : (Ⅰ)法一:由 S1+a1,S3+a3,S2+a2 成等差数列,推出 4a3=a1,求出公比,然 后求解通项公式. (Ⅰ)法二:由 S1+a1,S3+a3,S2+a2 成等差数列,结合等比数列的和,求出公比,然后求 解通项公式. (Ⅱ)求出 ,利用错位相减法求出 ,转化 Tn≥m 恒成立, ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,若 Tn≥m 恒成立,求

为(Tn)min≥m,通过{Tn}为递增数列,求解 m 的最大值即可. 【解析】 : 解: (Ⅰ)法一:由题意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2) ∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2﹣2a3, 即 4a3=a1,于是 ∵a1=1,∴ ,∵q>0,∴ ;



(Ⅰ)法二:由题意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2) 当 q=1 时,不符合题意; 当 q≠1 时, ∴2(1+q+q +q )=2+1+q+q,∴4q =1,∴ ∵q>0,∴ ,
2 2 2





∵a1=1,∴



(Ⅱ)∵ ∴ ∴ ∴(1)﹣(2)得:

,∴ (1) (2)

,∴



= ∵Tn≥m 恒成立,只需(Tn)min≥m ∵



∴{Tn}为递增数列,∴当 n=1 时, (Tn)min=1, ∴m≤1,∴m 的最大值为 1. 【点评】 : 本题考查等差数列以及等比数列的综合应用, 数列的通项公式的求法以及数列求 和的方法的应用,数列的函数的性质,考查计算能力. 18. (12 分) (2014?安徽)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛 完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜 的概率为 ,各局比赛结果相互独立. (Ⅰ)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (Ⅱ)记 X 为比赛决胜出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望) . 【考点】 : 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (1)根据概率的乘法公式,求出对应的概率,即可得到结论. (2)利用离散型随机变量分别求出对应的概率,即可求 X 的分布列;以及均值. 【解析】 : 解:用 A 表示甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的是事件,Ak 表示第 k 局甲获 胜,Bk 表示第 k 局乙获胜, 则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5 (Ⅰ)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=( ) + ×( ) + × ×( )
2 2 2

=



(Ⅱ)X 的可能取值为 2,3,4,5.

P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)= , P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)= , P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)= , = ,

P (X=5) =P (A1B2A3B4A5) +P (B1A2B3A4B5) +P (B1A2B3A4A5) +P (A1B2A3B4B5) = 或者 P(X=5)=1﹣P(X=2)﹣P(X=3)﹣P(X=4)= 故分布列为: X2 3 45 P E(X)=2× +3× +4× +5× = . ,

【点评】 : 本题主要考查概率的计算,以及离散型分布列的计算,以及利用期望的计算,考 查学生的计算能力. 19. (12 分) (2015?威海一模)如图,在△ABC 中,已知∠ABC=45°,O 在 AB 上,且 OB=OC= AB,又 PO⊥平面 ABC,DA∥PO,DA=AO= PO. (Ⅰ)求证:PD⊥平面 COD; (Ⅱ)求二面角 B﹣DC﹣O 的余弦值.

【考点】 : 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【专题】 : 空间位置关系与距离;空间向量及应用. 【分析】 : (Ⅰ)设 OA=1,则 PO=OB=2,DA=1,由 DA∥PO,PO⊥平面 ABC,知 DA ⊥平面 ABC,可得 DA⊥AO.利用勾股定理的逆定理可得:PD⊥DO.由 OC=OB=2,∠ ABC=45°,可得 CO⊥AB,又 PO⊥平面 ABC,可得 PO⊥OC,得到 CO⊥平面 PAB.得到 CO⊥PD.即可证明. (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点,设 AB=1,利用线面垂直的性质、向量 垂直与数量积的关系得出两个平面的法向量,求出其夹角即可. 【解析】 : (Ⅰ)证明:设 OA=1,则 PO=OB=2,DA=1, 由 DA∥PO,PO⊥平面 ABC,知 DA⊥平面 ABC,

∴DA⊥AO.从而 , 在△PDO 中,∵PO=2, ∴△PDO 为直角三角形,故 PD⊥DO. 又∵OC=OB=2,∠ABC=45°, ∴CO⊥AB,又 PO⊥平面 ABC, ∴PO⊥OC, 又 PO,AB?平面 PAB,PO∩ AB=O, ∴CO⊥平面 PAB. 故 CO⊥PD. ∵CO∩ DO=O, ∴PD⊥平面 COD. (Ⅱ)解:以 OC,OB,OP 所在射线分别为 x,y,z 轴,建立直角坐标系如图. 则由(Ⅰ)知,C(2,0,0) ,B(0,2,0) ,P(0,0,2) ,D(0,﹣1,1) , ∴ 由(Ⅰ)知 PD⊥平面 COD,∴ 设平面 BDC 的法向量为 是平面 DCO 的一个法向量, ,∴ ,∴ , ,

令 y=1,则 x=1,z=3,∴







由图可知:二面角 B﹣DC﹣O 为锐角,二面角 B﹣DC﹣O 的余弦值为



【点评】 : 本题考查了线面垂直的判定与性质定理, 考查了通过建立空间直角坐标系利用线 面垂直的性质定理、 向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法、 勾 股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能 力. 20. (13 分) (2015?威海一模)已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=2 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程;

(Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)+ (Ⅲ)若 g(x)=﹣ 立,求 a 的取值范围.

,求函数 h(x)的单调区间;

,在[1,e](e=2.71828…)上存在一点 x0,使得 f(x0)≤g(x0)成

【考点】 : 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲 线上某点切线方程. 【专题】 : 导数的综合应用. 【分析】 : (Ⅰ)求出切点(1,1) ,求出 ,然后求解斜率 k,即可求解曲

线 f(x)在点(1,1)处的切线方程. (Ⅱ)求出函数的定义域,函数的导函数,① a>﹣1 时,② a≤﹣1 时,分别求解函数的单调区 间即可. (Ⅲ)转化已知条件为函数 在[1,e]上的最小值[h(x)]min≤0,利

用第(Ⅱ)问的结果,通过① a≥e﹣1 时,② a≤0 时,③ 0<a<e﹣1 时,分别求解函数的最小值, 推出所求 a 的范围. 【解析】 : 解: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx,f(1)=1,切点(1,1) , ∴ ,∴k=f′ (1)=1﹣2=﹣1,

∴曲线 f(x)在点(1,1)处的切线方程为:y﹣1=﹣(x﹣1) ,即 x+y﹣2=0. (Ⅱ) ,定义域为(0,+∞) ,

, ① 当 a+1>0,即 a>﹣1 时,令 h′ (x)>0, ∵x>0,∴x>1+a 令 h′ (x)<0,∵x>0,∴0<x<1+a. ② 当 a+1≤0,即 a≤﹣1 时,h′ (x)>0 恒成立, 综上:当 a>﹣1 时,h(x)在(0,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增. 当 a≤﹣1 时,h(x)在(0,+∞)上单调递增. (Ⅲ)由题意可知,在[1,e]上存在一点 x0,使得 f(x0)≤g(x0)成立, 即在[1,e]上存在一点 x0,使得 h(x0)≤0, 即函数 在[1,e]上的最小值[h(x)]min≤0.

由第(Ⅱ)问,① 当 a+1≥e,即 a≥e﹣1 时,h(x)在[1,e]上单调递减, ∴ ,∴ ,



,∴



② 当 a+1≤1,即 a≤0 时,h(x)在[1,e]上单调递增, ∴[h(x)]min=h(1)=1+1+a≤0, ∴a≤﹣2, ③ 当 1<a+1<e,即 0<a<e﹣1 时,∴[h(x)]min=h(1+a)=2+a﹣aln(1+a)≤0, ∵0<ln(1+a)<1,∴0<aln(1+a)<a,∴h(1+a)>2 此时不存在 x0 使 h(x0)≤0 成立. 综上可得所求 a 的范围是: 或 a≤﹣2.

【点评】 : 本题考查函数的导数的综合应用, 曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值 的应用,考查分析问题解决问题得到能力. 21. (14 分) (2015?威海一模)在△ABC 中,A,B 的坐标分别是 ,点 G 是△ABC 的重心,y 轴上一点 M 满足 GM∥AB,且 |MC|=|MB|. (Ⅰ)求△ABC 的顶点 C 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ) 直线 l: y=kx+m 与轨迹 E 相交于 P, Q 两点, 若在轨迹 E 上存在点 R, 使四边形 OPRQ 为平行四边形(其中 O 为坐标原点) ,求 m 的取值范围. 【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】 : 圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 : (I)设 C(x,y) ,由点 G 是△ABC 的重心,可得 G 点 M 满足 GM∥AB,可得 ,由 y 轴上一

.由|MC|=|MB|,利用两点之间的距离公式可得 ,即可得出;

(II)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,与椭圆方程联立化为(3+k )x +2kmx+m ﹣6=0,由△ >0, 可得 2k ﹣m +6>0, 由四边形 OPRQ 为平行四边形, 可得 y1+y2) ,利用根与系数的关系可得 R
2 2 2 2

2

2

2

, 可得 R (x1+x2,

.由点 R 在椭圆上,代入椭圆方

程化为 2m =k +3.结合△>0,即可解出 m 的取值范围. 【解析】 : 解: (I)设 C(x,y) ,∵点 G 是△ABC 的重心, ∴G , .

∵y 轴上一点 M 满足 GM∥AB,∴ ∵|MC|=|MB|,





化为

即为△ABC 的顶点 C 的轨迹 E 的方程;

(II)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,联立 由△>0,化为 2k ﹣m +6>0, ∴ , .
2 2

,化为(3+k )x +2kmx+m ﹣6=0,

2

2

2

∵四边形 OPRQ 为平行四边形, ∴ , ,

∴R(x1+x2,y1+y2) ,y1+y2=k(x1+x2)+2m=

∴R ∵点 R 在椭圆上, ∴ 代入△>0,可得 m >0, 又 2m ≥3,解得 ∴m 的取值范围是
2 2



=6,化为 2m =k +3.

2

2

或m ∪

. .

【点评】 : 本题考查了椭圆的标准方程及其质、三角形重心性质定理、重心与椭圆相交问题 转化为方程联立可得根与系数的关系、△>0,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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