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2017届云南省、四川省、贵州省高三上学期百校大联考数学(理)试题


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.设 i 为虚数单位,复数 z 满足 A. ?1 ? i B. 1 ? i

2i ? 1 ? i ,则复数 z 等于( z
D. ?1 ? i



>C. 1 ? i

2.设集合 M ? {x | 2 x ? x2 ? 0} , N ? {x | y ? A. (?1, 0] 3.已知 x ? ( ? A. B. [?1, 0]

1 1 ? x2

} ,则 M ? N 等于(



C. [0,1)

D. [0,1] )

?
2

, 0) , tan x ? ? 3 5

3 5

B. ?

4 ,则 sin( x ? ? ) 等于( 3 4 4 C. ? D. 5 5

4.从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如下,则这 100 个成绩的平均数为(



A.3

B.2.5

C.3.5

D.2.75

3 x2 y 2 5.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? x ,且其右焦点为 4 a b
(5,0) ,则双曲线 C 的方程为( A. ) C.

x2 y 2 ? ?1 9 16

B.

x2 y 2 ? ?1 16 9

x2 y 2 ? ?1 3 4

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

6.将函数 f ( x) ? 3 sin

x x 2? ? cos 的图象向右平移 个单位长度得到函数 y ? g ( x) 的图 2 2 3
) D. (

象,则函数 y ? g ( x) 的一个单调递减区间是( A. ( ?

? ?

, ) 4 2

B. (

?
2

,? )

C. ( ?

?

,? ) 2 4

?

3? , 2? ) 2

7.设 e 是自然对数的底, a ? 0 且 a ? 1 , b ? 0 且 b ? 1 ,则“ log a 2 ? logb e ”是 “ 0 ? a ? b ? 1 ”的( )

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

A. 2? ?

4 3

B. 4? ?

4 3

C. 4? ? 4

D. 2? ? 4

9.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《数书九章》中的“秦九韶算法”求多 项式的值.执行程序框图, 若输入 a0 ? 1 ,a1 ? 1 ,a2 ? 0 ,a3 ? ?1 ,则输出 u 的值为( )

A.2

B.1

C.0

D.-1

10.如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 底面为正三角形, 侧棱垂直底面,AB ? 4 , AA 1 ?6.

C1 F ? 若 E ,F 分别是棱 BB1 , 且 BE ? B1E , CC1 上的点,
所成角的余弦值为( )

1 AF CC1 , 则异面直线 A 1E 与 3

A.

3 6

B.

2 6

C.

3 10

D.

2 10

11.如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, A 1 , A2 , B 1 , B2 为椭圆的顶点, F2 为 右焦点,延长 B1F2 与 A2 B2 交于点 P ,若 ?B1PB2 为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围是 ( )

A. (

5?2 ,1) 2

B. (0,

5 ?2 ) 2

C. (0,

5 ?1 ) 2

D. (

5 ?1 ,1) 2

2 12.设函数 f ( x ) 在 R 上存在导函数 f '( x) ,对于任意的实数 x ,都有 f ( x) ? 4 x ? f (? x) ,

当 x ? (??,0) 时, f '( x) ? 是( )

1 ? 4 x .若 f (m ? 1) ? f (?m) ? 4m ? 2 ,则实数 m 的取值范围 2

A. [? , ??)

1 2

B. [? , ??)

3 2

C. [?1, ??)

D. [?2, ??)

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
?2 ? y ? 0, ? 13.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 2 ? 0, ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?4 x ? 5 y ? 2 ? 0. ?
__________.

14.在矩形 ABCD 中, ?CAB ? 30 , AC?AD ?| AC | ,则 AC ?AB ? ____________.
?

??? ? ????

??? ?

??? ? ??? ?

3 15. (2 x ? 1)( ? x) 的展开式中 x 的系数为______________.
6

1 x

16.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且满足 2cos

2

A 3 ? sin A , 2 3

sin( B ? C ) ? 4cos B sin C ,则

b ? ____________. c

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 设数列 {an } 是公差大于 0 的等差数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 9 ,且 2a1 ,

a3 ? 1, a4 ? 1 构成等比数列.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足

an ? 2n ?1 (n ? N * ) ,设 Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,证明 Tn ? 6 . bn

18. (本小题满分 12 分) 中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于 2016 年 7 月 14 日在山东威海开赛.种子选 手 M 与 B1 , B2 , B3 三位非种子选手分别进行一场对抗赛,按以往多次比赛的统计, M 获

3 2 1 , , ,且各场比赛互不影响. 4 3 2 7 (1)若 M 至少获胜两场的概率大于 ,则 M 入选征战里约奥运会的最终大名单,否则 10
胜的概率分别为 不予入选,问 M 是否会入选最终的大名单? (2)求 M 获胜场数 X 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 A ? BCD 中, AD ? 平面 BCD , CB ? CD , AD ? DB , P , Q 分别在 线段 AB , AC 上, AP ? 3PB , AQ ? 2QC , M 是 BD 的中点. (1)证明: DQ / / 平面 CPM ; (2)若二面角 C ? AB ? D 的大小为

? ,求 tan ?BDC . 3

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,直线 x ? my ? 3 与 E 交于 A , B 两点,且 OA? OB ? 6 , 其中 O 为坐标原点. (1)求抛物线 E 的方程; (2)已知点 C 的坐标为(-3,0) ,记直线 CA 、 CB 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明:

??? ? ??? ?

1 1 ? 2 ? 2m2 为定值. 2 k1 k2
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a x 1 ? ? (a ? ) ln x(a ? 0) . x a a

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)证明:当 a ? [ , 2] 时,函数 f ( x ) 没有零点(提示: ln 2 ? 0.69 )

1 2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,点 C 是圆 O 直径 BE 的延长线上一点, AC 是圆 O 的切线, A 为切点, ?ACB 的平 分线 CD 与 AB 相交于点 D ,与 AE 相交于点 F . (1)求 ?EFC 的度数;
2 (2)若 AB ? AC ,证明: AB ? AE ?BC .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C : ?

? ? x ? 3 cos a ( a 为参数) ,直线 l : x ? y ? 6 ? 0 . y ? sin a ? ?

(1)在曲线 C 上求一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值; (2)过点 M (?1, 0) 且与直线 l 平行的直线 l1 交 C 于 A , B 两点,求点 M 到 A , B 两点的 距离之积. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ? | 2 x ? a | (a ? 0) . (1)证明: f ( x ) ? f ( ? ) ? 6 ; (2)若不等式 f ( x ) ?

1 x

1 的解集为非空集,求 a 的取值范围. 2

高三数学试卷参考答案(理科)
一、选择题 1. D 2. C 由题意可知, z ?

2i ? ?1 ? i . 1? i

M ? {x | 0 ? x ? 2} , N ? {x | ?1 ? x ? 1} , M ? N ? [0,1) .

3. D 因为 x ? ( ? 4. A

?
2

, 0) , tan x ? ?

4 4 4 ,所以 sin x ? ? , sin( x ? ? ) ? ? sin x ? . 3 5 5

设这 100 个成绩的平均数即为 x ,则

1? 20 ? 2 ?10 ? 3 ? 40 ? 4 ?10 ? 5 ? 20 ? 3. 100 b 3 2 2 2 5. B 由题意得 ? , c ? a ? b ? 25 ,所以 a ? 4 , b ? 3 ,所求双曲线方程为 a 4 x?

x2 y 2 ? ?1. 16 9
6. C 因为 f ( x) ? 2sin( ? 则 g ( x) 在 ( ? 7. B 8. A

?

, ? ) 上递减. 2 4

?

x ? 2? x ? ? x ) ,所以 g ( x) ? f ( x ? ) ? 2sin( ? ? ) ? ?2 cos , 2 6 3 2 6 3 2

0 ? a ? b ? 1 ? loga 2 ? logb 2 ? logb e ,反之不成立.
该几何体可以看作是

1 个圆柱体和一个三棱锥组合而成,故体积 4 1 1 1 4 V ? (? ? 22) ? 2+ ( ? 2 ? 2) ? 2 ? 2? ? . 4 3 2 3
执行程序框图, u ? ?1 , n ? 2 ; u ? 0 , n ? 3 ; u ? 1 , n ? 4 .因为 4>3,所

9. B

以输出 u ? 1 . 10. D 以 BC 的中点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,则 A(2 3,0,0) ,

???? ??? ? A1 (2 3,0,6) , E (0, 2,3) , F (0, ?2, 4) , A1E ? (?2 3, 2, ?3) , AF ? (?2 3, ?2, 4) ,设
???? ??? ? | A1E ?AF | 4 2 ? ? . A1E , AF 所成的角为 ? ,则 cos ? ? ???? ??? ? | A1E |? | AF | 5 ? 4 2 10

11. C

设 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) , F2 (c,0) , A2 (a,0) .所以 B2 A2 ? (a, ?b) ,

????? ?

????? ????? ????? ? F2 B1 ? (?c, ?b) .因为 ?B1PB2 为钝角,所以 F2 B1 与 B2 A2 的夹角为锐角,所以 ????? ? ???? ? B2 A2 ?F2 B1 ? ?ac ? b2 ? 0 ,即 a 2 ? c2 ? ac ? 0 .两边同时除以 a 2 并化简得 e2 ? e ? 1 ? 0 ,
解得

? 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,又 0 ? e ? 1 ,所以 0 ? e ? . ?e? 2 2 2
∵ f ( x) ? 2x2 ? f (? x) ? 2x2 ? 0 ,设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 2 ,则 g ( x) ? g (? x) ? 0 ,

12. A

∴ g ( x) 为奇函数,又 g '( x) ? f '( x) ? 4 x ? ?

1 ,∴ g ( x) 在 (??, 0) 上是减函数,从而在 R 2

上是减函数,又 f (m ? 1) ? f (?m) ? 4m ? 2 等价于

f (m ? 1) ? 2(m ? 1)2 ? f (?m) ? 2(?m)2 ,即 g (m ? 1) ? g (?m) ,
∴ m ? 1 ? ?m ,解得 m ? ? 二、填空题 13. 8 根据约束条件画出可行域,当过点 (4, 2) 时, z ? x ? 2 y 取最大值为 8. 14.12 AC?AD ?| AC |? | AD |? cos60? ?| AC | , | AD |? 2 ,故 | AC |? 4 , | AB |? 2 3 , 所以 AC?AB ?| AC |? | AB |? cos30? ? 12 .
r ?6? 2 r 15.30 因为 ( ? x ) 的通项公式为 Tr ?1 ? C6 ,所以 (2 x ? 1)( ? x) 的展开式中含 x x
6 6

1 . 2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 x

1 x

4 r ?5?2 r 的奇数次方的通项为 2C6 , 令 ?5? 2 r? 3 , 解得 r ? 4 .从而所求的系数为 2C6 ? 30 . x

16. 1 ? 6

因为 2cos

2

A 3 3 ? sin A ,所以 1 ? cos A ? sin A ,化简得 2 3 3

2? ? 3 .所以 A ? .又因为 sin( B ? C ) ? 4cos B sin C ,所以 sin( A ? ) ? 3 3 2
sin B cos C ? cos B sin C ? 6 cos B sin C ,所以 sin A ? 6cos B sin C ,即

c 2 ? a 2 ? b2 2 2 2 a ? 6c ? ,整理得 2a ? 3c ? 3b ? 0 . 2ca
(? ) ? b ? c ? bc , 又 a ? b ? c ? 2bc?
2 2 2 2 2

1 2

2 2 2 所以 b ? 2bc ? 5c ? 0 ,两边除以 c 得 ( ) ?
2

b c

2b b ? 5 ? 0 ,解得 ? 1 ? 6 . c c

三、解答题 17.解: (1)设数列 {an } 的公差为 d ,则 d ? 0 . ∵ S3 ? 9 ,∴ a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? 9 ,即

a2 ? 3 .???????????????????????2 分
又 2a1 , a3 ? 1, a4 ? 1 成等比数列,



1 1 1 Tn ? 1?( )0 ? 3? ( )1 ? ? ? (2n ? 1)? ( ) n ?1 ,???????????????????? 2 2 2
????7 分 所以

1 1 1 1 1 Tn ? 1?( )1 ? 3?( ) 2 ? ? ? (2n ? 3)?( ) n ?1 ? (2n ? 1)? ( ) n ,???????????? 2 2 2 2 2
???8 分 两式相减得:

1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 2?( )1 ? 2? ( ) 2 ? ? ? 2? ( ) n ?1 ? (2n ? 1)? ( )n 2 2 2 2 2 1 1 ? ( ) n ?1 2n ? 1 1 2n ? 1 2 ? 1? ? n ? 3 ? n ?2 ? n ,??????????????????? 1 2 2 2 1? 2
?????10 分 故

Tn ? 6 ?

2n ? 3 ,??????????????????????????????? 2n ?1

????11 分 因为 n ? N ,所以
*

Tn ? 6 ?

2n ? 3 ? 6 .??????????????????????????12 分 2n ?1

18.解: (1)记 M 与 B1 , B2 , B3 进行对抗赛获胜的事件分别为 A , B , C , M 至少获胜 两场的事件为 D ,则 P( A) ? 所以

3 2 1 , P( B) ? , P (C ) ? ,由于事件 A , B , C 相互独立, 4 3 2

P(D) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 17 ? ? ? ? ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? ? , 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 17 7 ? ,所以 M 会入选最终的大名 由于 24 10
单.?????????????????????????6 分 (2) M 获胜场数 X 的可能取值为 0,1,2,3,则

3 2 1 1 P( X ? 0) ? P( ABC ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ,?????????????? 4 3 2 24
??????7 分

3 2 1 3 2 1 3 2 1 6 P( X ? 1) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24

??????????????????????????????????????? ?????8 分

3 2 1 3 2 1 3 2 1 11 P( X ? 2) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24
?9 分

3 2 1 6 P( X ? 3) ? P( ABC ) ? ? ? ? ?????????????????????? 4 3 2 24
?????10 分 所以 M 获胜场数 X 的分布列为:

??????????????????????????????????????? ?????11 分 数学期望为

E( X ) ? 0 ?
12 分

1 6 11 6 23 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .?????????????????? 24 24 24 24 12

19.(1)证明:取 AB 的中点 E ,连接 ED 、 EQ ,则 又 EQ ? 平面 CPM ,所以 EQ / / 平面

AE AQ ?2? ,所以 EQ / / PC . EP QC

CPM .????????????????????????2 分
又 PM 是 ?BDE 的中位线,所以 DE / / PM , 从而 DE / / 平面

CPM .??????????????????????????????????4 分
又 DE ? EQ ? E ,所以平面 DEQ / / 平面

CPM ,??????????????????????5 分
因为 DQ ? 平面 DEQ ,所以 DQ / / 平面

CPM .???????????????????????6 分
(2)解:法 1:由 AD ? 平面 BCD 知, AD ? CM , 由 BC ? CD , BM ? MD 知 BD ? CM , 故 CM ? 平面

ABD .???????????????????????????????????7
分 由(1)知 DE / / PM ,而 DE ? AB ,故 PM ? AB .

所以 ?CPM 是二面角 C ? AB ? D 的平面角, 则

?CPM ?

?
3

.?????????????????????????????????

????9 分 设 PM ? a ,则 CM ? 3a ,又易知在 Rt ?ABD 中, ?B ? 在 Rt ?CMD 中,

?
4

,可知 DM ? BM ? 2a ,

tan ?MDC ?

MC 3a 6 .?????????????????????12 分 ? ? MD 2 2a

法 2:以 M 为坐标原点, MC , MD , ME 所在的直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系. 设 MC ? a , MD ? b ,则 C (a,0,0) , B(0, ?b, 0) ,

A(0, b, 2b) ,???????????????7 分
则 BC ? (a, b,0) , BA ? (0, 2b, 2b) , 设 n1 ? ( x, y, z) 是平面 ABC 的一个法向量,

??? ?

??? ?

??

?? ??? ? ? ?ax ? by ? 0, ?n1 ?BC ? 0, 则 ? ?? ??? ,即 ? ,取 ? ?2by ? 2bz ? 0. ? ?n1 ?BA ? 0, ?? n1 ? (b, ?a, a) ,???????????????????9 分
不难得到平面 ABD 的一个法向量为

?? ? n2 ? (1,0,0) ,??????????????????????10 分
所以 | cos n1 , n2 |? 在 Rt ?CMD 中,

?? ?? ?

b b2 ? 2a 2

?

1 a 6 ,所以 ? , 2 b 2

tan ?MDC ?

MC a 6 ? ? .??????????????????????12 分 MD b 2

? y 2 ? 2 px 20. (1) 解: 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 联立方程组 ? , 消元得 y 2 ? 2 pmy ? 6 p ? 0 , ? x ? my ? 3
所以 y1 ? y2 ? 2 pm ,

y1 y2 ? ?6 p .?????????????????????????????2 分


??? ? ??? ? ( y y )2 OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 22 ? y1 y2 ? 9 ? 6 p ? 6 ,??????????????? 4p
?????6 分 所以 p ?

1 ,从而 2

y 2 ? x .?????????????????????????????????5 分
(2)因为 k1 ?

y1 y1 y2 y2 , k2 ? , ? ? x1 ? 3 my1 ? 6 x2 ? 3 my2 ? 6

所以

1 6 ? m? , k1 y1

1 6 ? m ? ,?????????????????????????????6 分 k2 y2
因此

1 1 6 6 ? 2 ? 2m 2 ? ( m ? ) 2 ? ( m ? ) 2 ? 2 m 2 2 k1 k2 y1 y2 1 1 1 1 ? ) ? 36( 2 ? 2 ) ? 2m2 ??????????????????? y1 y2 y1 y2

? 2m2 ? 12m(

?????8 分

y ?y ( y ? y )2 ? 2 y y ? 2m2 ? 12m? 1 2 ? 36? 1 2 2 2 1 2 ? 2m2 y1 y2 y1 y2
又 y1 ? y2 ? 2 pm ? m ,

y1 y2 ? ?6 p ? ?3 ,?????????????????????????9 分
所以

1 1 ?m m2 ? 6 2 2 ? ? 2 m ?? 2 m ? 12 m ? ? 36 ? ? 2m2 ? 24 .??????????? 2 2 k1 k2 3 9
???11 分 即

1 1 ? 2 ? 2m2 为定 2 k1 k2

值.????????????????????????????????12 分

a x 1 1 a2 ? (a 2 ? 1) ln x] , 21.解: (1)因为 f ( x) ? ? ? (a ? ) ln x ? [ x ? x a a a x
所以

f '( x) ?

( x ? 1)( x ? a 2 ) .???????????????????????????? ax 2

???2 分
2 2 因为 x ? 0 ,所以当 x ? (0, a ) 时, f '( x) ? 0 ,当时 x ? (a , ??) , f '( x) ? 0 . 2 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (a , ??) ,单调减区间为

(0, a 2 ) .???????????????4 分
当 x ? a 时, f ( x ) 取得极小值
2

1 f (a 2 ) ? [a 2 ? 1 ? (a 2 ? 1) ln a 2 ] .????????????????5 分 a
(2)由(1)可知:当 x ? a 时, f ( x ) 取得极小值,亦即最小值.
2

1 1 1 f (a 2 ) ? [a 2 ? 1 ? (a 2 ? 1) ln a 2 ] ,又因为 ? a ? 2 ,所以 ? a 2 ? 4 . a 2 4 1 设 g ( x) ? x ? 1 ? ( x ? 1) ln x( ? x ? 4) ,则 4

1 ? ln x ,?????????????????7 分 x 1 因为 g '( x ) 在 [ , 4] 上单调递减,且 g '(1) ? 0 , g '(2) ? 0 , 4 1 所以 g '( x ) 有唯一的零点 m ? (1, 2) ,使得 g ( x) 在 [ , m) 上单调递增,在 (m, 4] 上单调递 4 g '( x) ?
减,????9 分 又由于 g ( ) ?

1 4

5 ? 6 ln 2 ?0, 4

g (4) ? 5 ? 6ln 2 ? 0 ,????????????????????10 分
所以 g ( x) ? 0 恒成立.从而 f (a ) ?
2

1 2 [a ? 1 ? ( a 2 ? 1) ln a 2 ] ? 0 恒成立,则 f ( x) ? 0 恒成 a

立. 所以当 a ? [ , 2] 时,函数 f ( x ) 没有零 点.?????????????????????????12 分 22.解: (1)∵ AC 是圆 O 的切线, ∴ ?B ? ?EAC , 又 CD 是 ?ACB 的角平分线,

1 2

?DCB ? ?ACD ,??????????????????????2 分
∴ ?DCB ? ?B ? ?ACD ? ?EAC ,∴

?ADF ? ?AFD ,??????????????????3 分
又∵ BE 是圆 O 的直径,∴ ?BAE ? 90 ,
?

?AFD ? 45? ,???????????????????4 分
∵ ?EFC 与 ? AFD 为对顶角, ∴

?EFC ? 45? .?????????????????????????????????
????5 分 (2)∵ AB ? AC , ∴

?B ? ?ACB ? ?EAC ,????????????????????????????
????7 分



?ACE ∽ ?BCA ,??????????????????????????????
?????8 分 ∴

AC AE ? ,即 BC AB

AB2 ? AE ?BC .????????????????????????????10 分
23.解: (1)设点 P( 3 cos a,sin a) ,则点 P 到直线 l 的距离为

| 3 cos a ? sin a ? 6 | d? ? 2
∴当 sin(

| 2sin(

?
3

? a) ? 6 | 2


?

3 1 ? a) ? ?1 时, P (? , ) ,此时 3 2 2

dmax ? 4 2 .????????????????????5 分
x2 ? y 2 ? 1,即 x2 ? 3 y 2 ? 3 , (2)曲线 C 化为普通方程为: 3

? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 2 2 直线 l1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,代入 x ? 3 y ? 3 化简得: ? y ? 2 t. ? ? 2

2t 2 ? 2t ? 2 ? 0 ,得 t1t2 ? ?1 ,


| MA |? | MB |?| t1t2 |? 1 .?????????????????????????????
????10 分 24.解: (1) f ( x) ? f (? ) ? (| x ? a | ? | 2 x ? a |) ? (| ?

1 2 ? a | ? | ? ? a |) x x 1 2 1 2 ? (| x ? a | ? | ? ? a |) ? (| 2 x ? a | ? | ? ? a |) ?| ( x ? a) ? (? ? a) | ? | (2 x ? a) ? (? ? a) | x x x x

1 x

?| x ?

1 2 1 2 | ? | 2 x ? |?| x | ? ? | 2 x | ? ? 6 (当且仅当 x ? ?1 时取等 x x | x| |x|

号)???????????5 分

? ?2a ? 3x( x ? a), ? a ? (2)函数 f ( x) ?| x ? a | ? | 2 x ? a |? ?? x(a ? x ? ), 的图象如图所示. 2 ? 2 ? 3 x ? 2a ( x ? ) ? a ?
当x?

a a a 1 时, ymin ? ? ,依题意: ? ? ,解得 a ? ?1 , 2 2 2 2

∴ a 的取值范围是 (-1,0).????????????????????????????????10 分


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