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2.2等差数列


2.2 等差数列教案
教学目标
1.知识与技能 a 通过实例,理解等差数列的定义及符号表达式;探索并掌握等差数列的通项 公式及等差中项; b 能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问 题; 2. 过程与方法: a 让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出 等差数列的概念; b 通过对数列的分析、探究得到等差数

列的概念,提高学生观察、探索、发现 能力;. 3.情态与价值: a 通过学生的主动参与,师生、生生合作交流,提高学生的学习兴趣,激发求 知欲. b 培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。 4、教学重、难点 重点:等差数列的概念,等差数列的通项公式及等差中项. 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 课时 :1 课时

教学过程 一、新课导入
师:前面我们学习了数列的定义及相关的性质,对数列有了初步的了解,如果想 要深入了解数列,仅仅掌握这些是不够的,我们还需要从一些特殊的数列入 手。今天,我们就来学习一种比较特殊的数列——等差数列。 (黑板正中央板书:2.2 等差数列) 师:在日常生活中,我们经常这样数数,从 0 开始,每隔 5 个数数一次,例如 0、5、 10、15......,它们就构成了一个数列,对不对? 生:对 师:下面我把这个数列写出来。 (黑板右侧板书:?0、5、10、15........) 我们也经常这样数数 1、3、5、7、9........(板书?1、3、5、7、9........) 我们每周一早晨都要举行升国旗仪式,同学们还记得上周一我们升国旗的日 期吗? 生:4 月 13 日 师:对,上周我们升旗的日期 13 号,现在我把 4 月份我们要升旗的日期全都写下来

(板书?6、13、20、____ )同学们根据前面的规律,猜测一下,这个月我们最 后一次升国旗的日期是几号? 生:27 师:27,非常正确(把 27 填到横线上)

二、新课探究
(1)等差数列定义讲解 师:现在请同学们仔细观察这 3 个比较特殊的数列,看看他们有什么共同的特征 呢?提示一下,注意第二项与第一项,第三项与第二项的关系。 (请学生起来回 答) 师:观察出来了吗?第一个数列项与项之间有什么特征? 生:第一个数列第二项与第一项的差为 5,第三项与第二项的差也为 5,每一项 与它前一项的差都为 5. 师:恩,很好,那么是从第几项起,每一项与它前一项的差都为 5 呢? 生:第二项 师:很好,我们完整的说就是从第二项起,每一项与它前一项的差都为 5,对不 对? 生:对 师:那第二个数列该怎么说? 生:从第二项起,每一项与它前一项的差都为 2. 师:那第三个数列呢? 生:从第二项起,每一项与前一项的差都为 7. 师: 那么这 3 个数列共同的特征就是从第二项起,每一项与它前一项的差都等于 同一个常数,我们把具有这种特征的数列叫做等差数列。现在我给出等差数 列的准确定义(左侧板书等差数列的定义,边写边念) 师:如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,我们通常用小写 字母 d 来表示(d 用彩色粉笔) 。大家把这个定义看一下。 (几秒钟之后接着 讲)对于等差数列的定义,我还要补充三点:第一,等差数列一定要从第二 项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数(用彩色粉笔在定义上勾画), 如果一个数列是从第三项, 第四项起每一项与它前一项的差等于同一个常数, 那么就不能说它是一个等差数列,但是我们可以说它是从某一项开始是等差 数列的,比如-1,0,12,13,14,15......(在黑板右侧举例板书),它是一个 等差数列吗? 生:不是 师:对了,我们刚刚说了一定要从第二项起,但是我们可以说这个数列从第三项起 是等差数列的。第二点,等差数列的这个公差,一定是由后项减前项所得, 而不能是用前项减后项来求;第三点,公差 d>0 时,为递增数列,d<0 为递减 数列,d=0 为常数数列,常数数列也是等差数列. 师:我们说这是课本上给大家的等差数列的文字定义 ,那么如果定义要用符号来 表达该怎么表述呢 ?(板书 ) 我们前面学习数列的时候 , 用 an 来表示了数列的 任意一项,那么如果现在用 an 来表示数列的每一项,那它的前一项就该是 an ?1 ,

对吧.那符号表达式该怎么写? 生: an ? an?1 ? d 师:那 n 的范围呢? 生:n ? 2 且 n∈N ? . 师:恩,非常正确.我们知道数列的首项为 a1 ,这里有个 an ?1 ,那么 n-1 就该大于等 于 1,所以 n≥2 且 n∈N ? 。我们看当 n=2 时, a2 ? a1 ? d ;当 n=3 时,

a3 ? a2 ? d ......
当 n=n 时, an ? an?1 ? d ,连起来就是 a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ......? an ? an?1 ? d ,对吧. 那么符号表达式还能不能这样写 an?1 ? an ? d ?(板书) 生:可以 师:那么这时候 n 的取值范围呢? 生:n∈N ? (板书) 师:恩,很好.这两个式子都是等差数列的符号表达式 ,它们是判断一个数列是否 是等差数列的依据。 (2)等差数列通项公式推导 师:我们知道了等差数列的定义,现在又有一个新的问题产生了,等差数列是一 个特殊的数列,那它有没有通项公式,它的通项公式又是什么呢,我们接下 来就来探究一下(板书:二、通向公式 an ) 师:已知等差数列{ an },首项为 a1 ,公差为 d,求通向公式 an ?(边板书边念) 我们该怎么来推导 an 呢,大家先思考一下。 师:我们一起来看一下,已知了首项 a1 和公差 d,也就是要用 a1 和 d 来表示 an , 对吧。 我们可不可以根据等差数列定义的符号表达式来做?我们一起来推导 一下,根据符号表达式 an ? an?1 ? d ,我们就有 a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d ,

a4 ? a3 ? d ........ an ? an?1 ? d ,(板书竖着依次排列),有没有问题?
生:没有 师: 很好, 我们看这里有一个 a 2 , 这里有一个 ? a 2 , 这里有一个 a 3 , 这里也有一个
? a3 (用彩色粉笔勾画 a 2 , ? a 2 , a 3 , ? a3 ),那么我们既然要用 a1 和 d 来表示
an ,就该想办法消去其它的项对吧,该怎么做呢?(请同学起来回答)

生:左边和左边相加,右边和右边相加 师:回答得非常好,那我们就把左边和左边相加,右边和右边相加,(板书)左边就 该是 a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ......? an ? an?1 ,右边呢,我们看这里一共有几个等式? 生:(n-1)个 师:所以右边就该是(n-1)d,我们一起来计算一下, a 2 和 ? a 2 , a 3 和 ? a3 ......相 抵消 , 最后得到 ? a1 ? an ? (n ?1)d , 我们把它移项 , 也就得到了等差数列的通 项公式 an ? a1 ? (n ?1)d (板书用彩色粉笔),大家整理一下思路,看一下它的推 导过程. 师:其实我们推导等差数列的这种技巧是数学中比较常见的一种方法:累加法(用 彩色粉笔板书),以后会经常用到.我们再来看一下这个通项公式,从方程的角 度来看, 它有四个量 an , a1 ,n,d, 知道了其中三个量 , 都能求出另外一个未知 量.其中 a1 和 d 是基础量,知道了 a1 和 d,就能求出等差数列的任意一项.这就 是等差数列的通项公式. (3)等差中项讲解 师:接下来我们来学习第三个知识点:等差中项(板书:三、等差中项) 大家先思考这样一个问题:如果在 a 与 c 中间插入一个数 b,使 a ,b,c 成 等差数列数列,那么 b 应满足什么条件? 师:我们还是从等差数列的定义入手,a,b.c 组成了一个最简单的等差数列, a?c 由有定义可以知道 b-a=c-b,也就可以推出 b ? ,对不对? 2 生:对 师:这时候我们就说,如果 a, b,c 组成了一个等差数列,那么 A 是 a 与 b 的等差中 a?c a?c 项且 b ? ;反之,如果 b 是 a 与 c 的等差中项且 b ? ,那么 a, b,c 就 2 2 组成了一个等差数列,也就说他们之间的关系是充要条件(板书:注明” 充要条 件”) 师 : 同时根据等差中项 , 我们也可以得到等差数列相邻三项的关系 , 也就是

2an ? an?1 ? an?1 (n≥2 且 n∈N ? ).(板书公式)

三、例题讲解
师: (板书念题)已知等差数列{ an }, a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12 ,求 an ?,大家先思 考一下。 师:我们一起来解答,已知 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12 ,叫我们求通项公式 an 。我们 知道 an ? a1 ? (n ?1)d ,求 an 也就是要找到 a1 和 d,对吧。这里有两个等式,

我们可不可以根据这两个等式来构造方程呢?我们看, a 3 可以用 a1 ? 2d 来 表示,a2 可以用 a1 ? d ,a4 也就表示成了 a1 ? 3d ,那么已知的这两个等式也 就可以表示成 2a1 ? 2d ? 8,2a1 ? 4d ? 12 ,它们构造成了含有 a1 和 d 的一个二 元一次方程组, 我们只需要把 a1 和 d 求解出来,a1 ? 2, d ? 2 , 通项公式 an 也 就表示出来了, an ? 2n 对吧。 (边说边板书) 师:大家想想除了这一种方法还有没有其他的解法呢,提示一下,我们刚刚学了 等差中项,看看能不能用等差中项来解答? 师 : 我 们 一 起 来 看 , a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12 利 用 等 差 中 项 可 以 表 示 为

a1 ? a3 ? 2a2 ? 8, a2 ? a4 ? 2a3 ? 12 ,从而求出 a2 ? 4, a3 ? 6 ,那么 d ? a3 ? a2 ? 2 ,
再根据 a1 ? a3 ? 8 ,也就可以求出 a1 ? 2 了,所以通项公式 an ? 2n 。 师:这个例题我们运用了两种方法来解答,第一种是构造方程组,比较常规实用; 那第二种利用了等差中项,方法比较简单灵活,大家做题的时候要选取自己 适合的方法。

四、小结
师:通过本节课的学习,大家首先要理解和掌握等差数列的定义及符号表达式, 其次是要学会推导等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d , 最后就是对等差中 项的灵活运用。 板书


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