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暑假初升高数学衔接讲义 第2讲 集合之间的关系(教师版)


暑期初升高衔接讲义《数学》 第二讲集合之间的关系 教师版

第二讲 集合之间的关系
一、 【知识梳理】
知识点一 集合之间的关系 1、子集的定义:一般地,对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的 元素,则称集合 A 包含于集合 B ,或集合 B 包含集合 A ( A ? B 或 B ? A ). 2、集合相等:一般地,对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的 一个元素,同时如果集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的一个元素,则称 A ? B . 3、真子集:一般地,对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的一 个元素,同时集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中,则称 A 是 B 的真子集( A ? B ). 4、空集的性质 (1)空集是任何集合的子集 (2)空集是任何非空集合的真子集 知识点二 子集、真子集的个数 1、含 n 个元素的集合的子集数为 2n ; 2、含 n 个元素的集合的真子集数为 2n ? 1 ; 3、含 n 个元素的集合的非空子集数为 2n ? 1 ; 4、含 n 个元素的集合的非空真子集数为 2n ? 2 ; 知识点三 全集与补集 1、 补集:一般地,设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即 A ? S ) ,由 S 中所有不属于 , 记 作 Cs A , 即 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)

Cs A? { x? x? ,S 且

.A x ? }

补集的性质:① CU ? ? U ,② CU U ? ? ,③ CU (CU A) ? A . 2、 全集: 如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素, 这个集合就可以看作一个 全集,全集通常用 U 表示.

二、 【典例剖析】 题型一 元素与集合、集合与集合之间的关系
【例 1】用 ? , ? , ? , (1)? (5) 0 符号填空 (2)0 (6) ? 1,2?

?0? ; ?0? ;

? ; (3)?1?

??? ;

(4) N

Z;

??1?, ?1,2?, ?2,3??

解:根据元素与集合之间的从属关系,集合与集合之间的包含关系有: (1) ? , (2) ? , (3) ? , (4) ? , (5) ? (6) ? 【变式】1、在以下六个写法中:① {0} ?{0,1} ;② ? ? {0} ;③ {0, ?1,1} ? {?1, 0,1} ;④

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0 ?? ;⑤ ? ? {?} ;⑥( ? 0,0) ? ={0}.其中错误写法的个数是( B )
A 2个 B 3个

C 4个

D 5个

2、判断下列各式是否正确,并说明理由: (1) 2 ? {x ? x ? 10} ; (2) 2 ?{x ? x ? 10} ; (3) {2} ? {x ? x ? 10} ; (4) ? ? {x ? x ? 10} ; (5) ? ? {x ? x ? 10} ; (6) ? ? {x ? x ? 10} ; (7) {4,5, 6, 7} ? {2,3,5, 7,11} . 答案: (2) (3) (6) (7)正确
2 【例 2】已知 A ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 , B ? ?x | mx ? 1? .求使 B ? A 成立 m 的值.

?

?

解:

A ? ?2,3? ,? B 可能为 ?3? 或 ?2? 或 ? .

(1)当 B ? ?3? 时,有 m ?

1 ; 3 1 (2)当 B ? ?2? 时,有 m ? ; 2

(3)当 B ? ? 时,有 m ? 0 .

1 1 ? m 可取的值有 0, , . 2 3
【变式】1、设集合 M ? {x | x ? A. M ? N

k 1 k 1 ? , k ? Z } , N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则( B ). 4 2 2 4 ? ? B. M C. N D. M ? N ? M ? N

2 ? ? 2 2、已知 M ? {x | x ? n ? 1, n ? N } , N ? y | y ? k ? 4k ? 5, k ? N .则 M , N 的关系

?

?

为( B ) A. M ? N

B.

M?N

C.

M?N

D. N ? M

题型二 子集、真子集的个数
【例 3】解出集合 M ? ?a, b, c, d ? 的所有真子集. 答案: ?, ?a?,?b?,?c?,?d?,?a, b?,?a, c?,?a, d?,?b, c?,?b, d?,?c, d?
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?a, b, c?,?a, b, d?,?a, c, d?,?b, c, d?,?a, b, c, d?
【变式】1、能满足条件 {1, 2} ? M ? {1, 2,3, 4,5} 的集合 M 的个数是( C )

A 、3 个

B 、6 个

C 、7 个

D 、8 个


2、能满足条件 {a, b} ? A ? {a, b, c, d , e} 的集合 A 的个数是( C

A 、5 个

B 、6 个

C 、7 个

D 、8 个

题型三 全集、补集
2 【例 4】已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? x ? U | x ? 5 x ? q ? 0 .求 CU A 及 q 的值.

?

?

答案: CU A ? ?2,3,5? , q ? 4 或 CU A ? ?1,4,5? , q ? 6 【变式】1、设全集 U ? {2,3, x2 ? 2x ? 3}, A ? {5}, CU A ? {2, y} ,求实数 x, y 的值. 答案: ?

? x ? ?4 ? x ? 2 或? ? y ? 3 ?y ? 3

2、设全集 U ? {2,3, a2 ? 2a ? 3}, A ? {2a ?1 ,2}, CU A ? {5} ,求实数 a 的值. 答案: a ? 2

题型四 综合应用
【例 5】 (1)已知集合 A ? {x ? ?2 ? x ? 5}, B ? {x ? m ? 1 ? x ? 2m ? 1}, 且 B ? A ,求 m 的 取值范围. 答案: ?m | m ? 3? (2)设集合 A ? {x ? x ? 4x ? 0}, B ? {x ? x ? 2(a ? 1) x ? a ?1 ? 0}. 若 B ? A ,求 a 的取
2 2 2

值范围. 答案: a ? ?1或a ? 1

【变式】已知 A ? { x ? x ? 3}, B ? {x ? x ? a}.( 1 )若 B ? A ,求 a 的取值范围; ( 2 )若

CR A ? CR B ,求 a 的取值范围.
答案: (1) a ? 3 ; (2) a ? 3

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课 后 作 业
1.集合 A = {x | 0 ? x ? 3且x ? Z } 的真子集的个数是( A.5 B.6 C.7 D .8 2.在下列各式中错误的个数是( B ) C )

① 1?{0,1, 2} ; ② ?1? ?{ 01, , 2} ; ③ ?0 , 1 ? ,? 2 { , 10} , 2; ④ ?0 , 1 ? ,= 2{ , 0 2} , 1; ⑤

?0,1? ? {(0,1)} ;⑥ ? ? {0}
A.1 B.2 C.3 D.4 解析: ①正确; ②错. 因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系; ③正确; ④正确. 两 个集合的元素完全一样.⑤错,⑥正确. 答案: B 3.已知集合 A = {x | ax +2x+a=0, a ? R} ,若集合 A 有且仅有 2 个子集,则 a 的取值是 ( D ) A.1 B.-1 C.0,1 D.-1,0,1 2 解析:因为集合 A 有且仅有 2 个子集,所以 A 仅有一个元素,即方程 ax +2x+a=0(a∈R) 仅有一个根. (1)当 a=0 时,方程化为 2x=0,此时 A={0},符合题意. 2 2 (2)当 a≠0 时,由Δ =2 -4·a·a=0,即 a =1,∴a=±1. 此时 A={-1},或 A={1},符合题意.∴a=0 或 a=±1. 答案: D
2

4.已知 ? ? {x | x -x+a=0} ,则实数 a 的取值范围是________.
2

1 2 2 2 解析: ∵? ? {x|x -x+a=0}, ∴方程 x -x+a=0 有实根, ∴Δ =(-1) -4a≥0, a≤ . 4 1 答案: a≤ 4 5 . 已 知 三 个 集 合 A = {x | x -3x+2=0} , B= {x | x -ax+(a- 1)=0} ,
2

2

C= {x | x2-2 x+b=0} ,问同时满足 B ? A , C ? A 的实数 a , b 是否存在?若存在,求出 a , b 所有值;若不存在,请说明理由.
解析: 由题意 A={1,2},B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}, 若 a-1=1,则 B={1},满足 B A,∴a=2. 若 a-1≠1,则 B={1,a-1},显然不满足 B ? A ,∴a=2. 又∵C? A,∴C=?或{1}或{2}或{1,2}. 当 C=?时,Δ =4-4b<0,即 b>1.
? ?2+2=2 当 C={2}时,? ?2×2=b ?

当 C={1}时,?

?1+1=2 ? ?1×1=b ?

,∴b=1. ,不成立.

,不成立.

? ?1+2=2 当 C={1,2}时,? ?1×2=b ?

综上所述,同时满足 B ? A,C? A 的实数 a,b 为 a=2,b≥1.

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