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安徽省合肥八中2015届高三上学期第二次段考数学试卷(文科)


安徽省合肥八中 2015 届高三上学期第二次段考数学试卷 (文科)
一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项符合题意.请 1 把正确答案填涂在答题卡的相应位置. ) 1. (5 分)设全集 U 是实数集 R,M={x|x >1},N={x|0<x<2},则集合 N∩?UM=() A.{x|1<x<2} B.{x|0<x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 2. (5 分)已知命题 p:“?x∈,a≥e ”,命题 q:“?x∈R,x ﹣4x+a=0”,若命题 p,q 均是真 命题,则实数 a 的取值范围是() A. C. D. (﹣∞,1] 3. (5 分)已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=5﹣a2,则 S4=() A.9 B.10 C.11 D.12 4. (5 分)设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是() A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β B. 若 l∥α,α∥β,则 l?β C. 若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 5. (5 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2 +log2(1﹣x)+a(a 为 常数) ,则 f(3)=() A. B.
x x x 2 2

C.﹣6

D.6

6. (5 分)当函数 y=x?2 取极小值时,x=() A. B. C.﹣ln2 D.ln2

7. (5 分)在直角梯形 ACBD 中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=45°,AB=2CD=2,M 为腰 BC 的中点,则 A.1 =() B. 2 C. 3 D.4 个单位长度后,

8. (5 分)设函数 f(x)=cosωx(ω>0) ,将 y=f(x)的图象向右平移 所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于() A. B. 3
x

C. 6
2

D.9

9. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣1,g(x)=﹣x +4x﹣3,若有 f(a)=g(b) ,则 b 的取值 范围为() A. B.(2﹣ ,2+ ) C. D. (1,3)

10. (5 分)f(x)是偶函数,且 f(x)在恒成立,则实数 a 的取值范围是() A. B. C. D.

二、填空题(本题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案写在答题卷上. ) 11. (5 分)已知 f(x)= ,则满足 f(a)>2 的 a 的取值范围是.

12. (5 分)若正数 a,b 满足 a+2b=3,且使不等式 范围是.

﹣m>0 恒成立,则实数 m 的取值

13. (5 分)已知向量

满足| |=1,| |=2, ( +2 ) ( ﹣ )=﹣6,则| ﹣2 |=.

14. (5 分)设 m>1,在约束条件

下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的

值为. 15. (5 分)以下是关于函数 f(x)= ①f(x)的图象关于 y 轴对称; ②f(x)在区间∪上的最小值为﹣ ,求函数 f(x) (x∈R)的值域. 的四个命题:

17. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB⊥BC,D 为 AC 的中点,AA1=AB=2. (1)求证:AB1∥平面 BC1D; (2)若 BC=3,求三棱锥 D﹣BC1C 的体积.

18. (12 分)△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,向量 =(2sinB,2﹣cos2B) , =(2sin (
2

+ ) ,﹣1)且 ⊥ .

(1)求角 B 的大小; (2)若 a= ,b=1,求 c 的值. 19. (12 分)已知数列{an},{bn}满足 a1=2,2an=1+anan+1,bn=an﹣1,bn≠0 (1)求证数列 是等差数列,并求数列{an}的通项公式; 求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

(2) 令 cn=

20. (12 分)已知函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+lnx. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f (1) )处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间,a≥e ”,命题 q:“?x∈R,x ﹣4x+a=0”,若命题 p,q 均 是真命题,则实数 a 的取值范围是() A. C. D. (﹣∞,1] 考点: 复合命题的真假. 专题: 规律型. 分析: 分别求出命题 p,q 成立的等价条件,利用 p,q 都是真命题,确定实数 a 的取值范 围. 解答: 解:?x∈,a≥e ,则∴a≥e,即 p:a≥e. 2 若?x∈R,x ﹣4x+a=0,则判别式△ =16﹣4a≥0,解得 a≤4, 即 q:a≤4. ∵p,q 都是真命题, ∴ ,解得 e≤a≤4.即实数 a 的取值范围是.
x x 2

2

故选 C. 点评: 本题主要考查复合命题的与简单命题真假之间的关系,求出命题 p,q 成立的等价 条件是解决此类问题的关键. 3. (5 分)已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=5﹣a2,则 S4=() A.9 B.10 C.11 D.12 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解. 解答: 解:∵{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a3=5﹣a2, ∴a 2+a3=5, ∴S4= = 2×5=10.

故选:B. 点评: 本题考查等差数列的前 4 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题. 4. (5 分)设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是() A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β B. 若 l∥α,α∥β,则 l?β C. 若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空 间位置关系与距离. 分析: 本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系, 逐一分析四个答案中的结论, 发 现 A,B,D 中由条件均可能得到 l∥β,即 A,B,D 三个答案均错误,只有 C 满足平面平 行的性质,分析后不难得出答案. 解答: 解:若 l⊥α,α⊥β,则 l?β 或 l∥β,故 A 错误; 若 l∥α,α∥β,则 l?β 或 l∥β,故 B 错误; 若 l⊥α,α∥β,由平面平行的性质,我们可得 l⊥β,故 C 正确; 若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 或 l∥β,故 D 错误; 故选 C 点评: 判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点) ;②利 用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α) ;③利用面面平行的性质定理(α∥β, a?α?a∥β) ;④利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?,a∥α??a∥β) .线线垂直可由线 面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂 直的重要依据.垂直问题的证明, 其一般规律是“由已知想性质, 由求证想判定”, 也就是说, 根据已知条件去思考有关的性质定理; 根据要求证的结论去思考有关的判定定理, 往往需要 将分析与综合的思路结合起来. 5. (5 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2 +log2(1﹣x)+a(a 为 常数) ,则 f(3)=() A. B. C.﹣6 D.6
x

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用 函数的奇偶性,结合解析式求解. 解答: 解:∵f(x)为定义在 R 上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) , 0 得 f(0)=0,2 +0=0 即 a=﹣1, x ∵当 x≤0 时,f(x)=2 +log2(1﹣x)+a(a 为常数) , ∴f(3)=﹣f(﹣3)=﹣2 ﹣log2(1+3)+1=﹣ 故选:A 点评: 考查了函数概念和性质,容易题. 6. (5 分)当函数 y=x?2 取极小值时,x=() A. B. C.﹣ln2 D.ln2
x
﹣3

考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数研究函数的极值. 导数的综合应用. x x x 对函数求导,由 y′=2 +x?2 ln2=(1+xln2)?2 =0,即可得出结论. x x x 解:y′=2 +x?2 ln2=(1+xln2)?2 =0, .

即 1+xln2=0,x=

故选 B. 点评: 本题考查利用导数研究函数的极值问题,属于基础题. 7. (5 分)在直角梯形 ACBD 中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=45°,AB=2CD=2,M 为腰 BC 的中点,则 A.1 =() B. 2 C. 3 D.4

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: 以直角梯形的两个直角边为坐标轴,写出点的坐 标,求出向量的坐标,利用向量 数量积的坐标形式的公式求. 解答: 解:以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,建立直角坐标系. 则:A(0,0) ,B(2,0) ,D(0,1) ,C(1,1) ,M( .

因为 AB=2CD=2,∠B=45,所以 AD=DC=1,M 为腰 BC 的中点, 则 M 点到 AD 的距离= (DC+AB)= ,M 点到 AB 的距离= DA= 所以 所以 =9/4﹣1/4=2. , ,

故答案为 B 点评: 本题考查通过建立直角坐标系将几何问题问题转化为代数问题; 考查向量的坐标形 式的数量积公式.

8. (5 分)设函数 f(x)=cosωx(ω>0) ,将 y=f(x)的图象向右平移 所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于() A. B. 3 C. 6 D.9

个单位长度后,

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值. 分析: 函数图象平移 周期,容易得到结果. 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数个

解答: 解:f(x)的周期 T=

,函数图象平移

个单位长度后,所得的图象与原图象

重合,说明函数平移整数个周期,所以

,k∈Z.令 k=1,可得 ω=6.

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,三角函数的周期定义的理解,考查技 术能力,常考题型. 9. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣1,g(x)=﹣x +4x﹣3,若有 f(a)=g(b) ,则 b 的取值 范围为() A. (1,3) 考点: 专题: 分析: 解答:
a x 2

B.(2﹣

,2+



C.

D.

函数的零点与方程根的关系. 计算题;压轴题. 利用 f(a)=g(b) ,整理等式,利用指数函数的性质建立不等式求解即可. 解:∵f(a)=g(b) ,
2

∴e ﹣1=﹣b +4b﹣3 2 a ∴﹣b +4b﹣2=e >0 2 即 b ﹣4b+2<0,求得 2﹣ <b<2+ 故选 B 点评: 本题主要考查了函数的零点与方程根的关系. 10. (5 分)f(x)是偶函数,且 f(x)在恒成立,则实数 a 的取值范围是() A. B. C. D. 考点: 专题: 分析: 解答: ∵x∈, 函数恒成立问题. 函数的性质及应用. 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系转化为参数恒成立问题. 解:∵f(x)是偶函数,且 f(x)在 , 的最大值为﹣3,

∴不等式等价为 则﹣ ∈,

则﹣3≤a≤﹣2, 故选:D. 点评: 本题主要考查不等式恒成立问题, 根据函数的奇偶的和单调性的性质将不等式进行 转化,利用参数分离法是解决本题的关键. 二、填空题(本题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案写在答题卷上. )

11. (5 分)已知 f(x)= x>4.

,则满足 f(a)>2 的 a 的取值范围是 x<﹣1 或

考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 函数的性质及应 用;不等式的解法及应用. 分析: 本题先对参数 a 进行讨论,确定 f(a)的表达式,再解不等式 f(a)>2,得到 a 的取值范围,即本题结论. 解答: 解:∵f(x)= ,

f(a)>2, ∴当 a≥1 时, 原不等式转化为 log2a>2, 解得:a>4. ∴a>4; 当 a<1 时, 2 原不等式转化为 a ﹣a>2, 解得:a<﹣1 或 a>2, ∴a<﹣1. 综上, x<﹣1 或 x>4. 故答案为:x<﹣1 或 x>4. 点评: 本题考查的是对数不等式的解法、 一元二次不等式的解法, 还有分类讨论的数学思 想,本题难度适中,有一定的运算量,属于中档题.

12. (5 分)若正数 a,b 满足 a+2b=3,且使不等式 范围是 m .

﹣m>0 恒成立,则实数 m 的取值

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 分离参数 m,然后利用基本不等式求出 解答: 解:不等式 恒成立, ∵a+2b=3, ∴ 则 , . ﹣m>0 恒成立,即 的最小值得答案.

当且仅当

,即 a=b=1 时上式等号成立. .

∴实数 m 的取值范围是 故答案为: .

点评: 本题考查了恒成立问题,考查了分离变量法,训练了利用基本不等式求最值,是中 档题.

13. (5 分)已知向量

满足| |=1,| |=2, ( +2 ) ( ﹣ )=﹣6,则| ﹣2 |=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先根据已知条件求出 解答: 解: ∴ ∴ ; = . ,然后根据 = 求出结果即可. ;

故答案为: . 点评: 考查数量积的运算,以及求向量长度的方法:对向量的平方开方.

14. (5 分)设 m>1,在约束条件

下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的

值为 3. 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 根据 m>1,我们可以判断直线 y=mx 的倾斜角位于区间( , )上,由此我们

不难判断出 满足约束条件

的平面区域的形状,再根据目标函数 z=x+5y 在直线

y=mx 与直线 x+y=1 交点处取得最大值,由此构造出关于 m 的方程,解方程即可求出 m 的 取值范围.

解答: 解:满足约束条件

的平面区域如下图所示:

目标函数 z=x+5y 可看做斜率为﹣ 的动直线,其纵截距越大 z 越大, 由 当 x= 可得 A 点( ,y= 时, ; , )

目标函数 z=x+5y 取最大值为 4,即 解得 m=3. 故答案为:3.

点评: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中判断出目标函数 z=x+my 在 点取得最大值,并由此构造出关于 m 的方程是解答本题的关键.

15. (5 分)以下是关于函数 f(x)= ①f(x)的图象关于 y 轴对称; ②f(x)在区间∪递减, 画出函数 f(x)的草图:

的四个命题:

∴f(x)分别在区间和上的最小值为﹣ ,求函数 f(x) (x∈R)的值域.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)直接结合三角 恒等变换公式化简,然后,借助于三角函数的单调性求解其单 调区间; (2)结合,然后,借助于三角函数的单调性确定其值域. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= ∴ 其单调递增区间为 (2)∵ 则 , , sin2x+ cos2x+a﹣2, , .

∴ . ∴函数 f(x) (x∈R)的值域. 点评: 本题重点考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识,属于中档题. 17. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB⊥BC,D 为 AC 的中点,AA1=AB=2. (1)求证:AB1∥平面 BC1D; (2)若 BC=3,求三棱锥 D﹣BC1C 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 B1C,交 BC1 相交于 O,连接 OD,可证明 OD 是△ AB1C 的中位线,再 根据线面平行的判定定理即可证明. (2)由已知可得侧棱 CC1⊥面 ABC,把计算三棱锥 D﹣BC1C 的体积转化为计算三棱锥 C1 ﹣BCD 的体积. 解答: 解: (1)证明:连接 B1C,设 B1C 与 BC1 相交于 O,连接 OD, ∵四边形 BCC1B1 是平行四边形,∴点 O 为 B1C 的中点. ∵D 为 AC 的中点, ∴OD 为△ AB1C 的中位线,∴OD∥B1A. OD?平 BC1D,AB1?平面 BC1D, ∴AB1∥平面 BC1D.

(2)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1,∴侧棱 CC1∥AA1, 又∵AA1 底面 ABC,∴侧棱 CC1⊥面 ABC, 故 CC1 为三棱锥 C1﹣BCD 的高,A1A=CC1=2, ∴ ∴ . .

点评: 本题考查了线面平行和线面垂直及体 积,充分理解和掌握定理是解题的关键.

18. (12 分)△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,向量 =(2sinB,2﹣cos2B) , =(2sin (
2

+ ) ,﹣1)且 ⊥ .

(1)求角 B 的大小; (2)若 a= ,b=1,求 c 的值. 考点: 两角和与差的正弦函数;数量积的坐标表达式;余弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1)根据 得关于角 B 的三角函数的方程,解方程即可求出角 B;

(2)求出角 B 后,根据余弦定理可得一个关于 c 的一元二次方程,解这个方程求解 c 值. 解答: 解: (1) 由于 即 即 2sinB+2sin B﹣2+1﹣2sinB =0, 解得 . 或 ; (6 分) ,
2 2

, 所以

, 所以 ,



由于 0<B<π,所以

(2)由 a>b,得到 A>B,即 B= 由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB, 代入得:1=3+c ﹣2
2 2 2 2 2

c?
2

或 1=3+c ﹣2

2

c?(﹣

) ,

即 c +3c+2=0(无解)或 c ﹣3c+2=0, 解得 c=1 或 c=2. (12 分)

点评: 本题考查三角形中三角恒等变换、 解三角形. 方程思想在三角形问题中的应用极为 广泛,根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方 程,解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素. 19. (12 分)已知数列{an},{bn}满足 a1=2,2an=1+anan+1,bn=an﹣1,bn≠0 (1)求证数列 是等差数列,并求数列{an}的通项公式; 求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

(2)令 cn=

考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意可得 an=bn+1,结合 2an=1+anan+1,代入化简得:bn﹣bn+1=bnbn+1,从 而可得 ﹣ =1,{ }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,即可求得结论;

(2)由(1)知,Cn=cn=

=

,利用错位相减可求数列的和.

解答: 解: (1)证明:∵bn=an﹣1,bn≠0 ∴an=bn+1 又 2an=1+anan+1, ∴2(1+bn)=1+(bn+1) (bn+1+1) 化简得:bn﹣bn+1=bnbn+1…(2 分) ∵bn≠0 ∴ ﹣ =1 =1







=

=1

∴{ ∴

}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列.…(4 分) =1+(n﹣1)×1=n,

∴bn= ∴an=1+ = …(6 分) =

(2)由(1)知,Cn=cn=

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=

①,

Tn=

②…(9 分)

∴①﹣②得: Tn=



=



=1﹣



∴Tn=2﹣



点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列, 求解数列的通项公式, 错位相 减求解数列的和是数列求和方法中的重点与难点,要注意掌握熟. 20. (12 分)已知函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+lnx. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f (1) )处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间上单调递增, 所以 f(x)在上的最小值是 f(1)=﹣2; 当 当 时,f(x)在上的最小值是 时,f(x)在上单调递减, ,不合题意;
2

所以 f(x)在上的最小值是 f(e)<f(1)=﹣2,不合题意, 故 a 的取值范围为[1,+∞) . 点评: 本题考查了导数的几何意义, 导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜 率, 解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上. 利用导数研究函数在闭区间上的最值, 一般是求出导函数对应方程的根,然后求出跟对应的函数值,区间端点的函数值,然后比较 大小即可得到函数在闭区间上的最值.属于中档题. 21. (15 分)已知数列{an},a1=a,a2=p(p 为常数且 p>0) ,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn= .

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)试判断数列{an}是不是等差数列?若是,求其通项公式;若不是,请说是理由. (Ⅲ)若记 Pn= + (n∈N ) ,求证:P1+P2+…+Pn<2n+3.
*

考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 a1=S1 可求 a;

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得

,则

,两式相减得(n﹣1)an+1=nan,利用累

乘法可求得 an,由 an 可得结论; (Ⅲ)由(Ⅱ)可得 Pn= + = =2+ ,由裂项相消法可求得

P1+P2+…+Pn,于是可得结论; 解答: 解: (Ⅰ)依题意 a1=a,又 a1= ∴a=0; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a1=0, ∴ ,则 ,两式相减得(n﹣1)an+1=nan, =(n﹣1)p,n≥2, =0,

故有

又 a1=0 也满足上式,∴an=(n﹣1)p,n∈N+, 故{an}为等差数列,其公差为 p. (Ⅲ)由题意 ,

∴Pn=

+

=

=2+



∴P1+P2+…+Pn=(2+ ﹣ )+(2+ ﹣ )+…+(2+ =2n+3﹣ <2n+3.



点评: 该题考查 等差关系的确定、数列求和等知识,裂项相消法、累乘法是解决数列问 题的基本方法,要熟练掌握.


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