当前位置:首页 >> 数学 >>

第2讲-圆锥曲线的参数方程


新课标 ·数学 选修4-4


课 前 自 主 导 学

圆锥曲线的参数方程
当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

1.了解双曲线、抛物线的参数方 程. 课标 2.理解椭圆的参数方程及其应 解读 用. 3.能够利用圆锥曲线的参数方 程解决最值、有关点的轨迹问题.

r />
课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

1.椭圆的参数方程
课 前 自 主 导 学

普通方程 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2

参数方程
? ?x=acos φ ? ? ?y=b sin φ

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

(φ 为参数)
课 时 作 业

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

? ?x=bcos φ ? ? ?y=a sin φ

(φ 为参数)





新课标 ·数学 选修4-4

2.双曲线的参数方程 普通方程
课 前 自 主 导 学

参数方程
? ?x=a sec φ ? ? ?y=btan φ

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

(φ 为参数)

当 堂 双 基 达 标

3.抛物线的参数方程
课 堂 互 动 探 究

(1)抛物线 y2=2px 的参数方程是 为参数).

2 ? ?x=2pt ? ? ?y=2pt

(t∈R, t
课 时 作 业

(2)参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点

连线的斜率
菜 单

的倒数.

新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

1.椭圆的参数方程中,参数 φ 是 OM 的旋转角吗?
【提示】
?x=acos φ ? 椭圆的参数方程? ? ?y=b sin φ

(φ 为参数)中的参

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

数 φ 不是动点 M(x,y)的旋转角,它是点 M 所对应的圆的半 径 OA(或 OB)的旋转角,称为离心角,不是 OM 的旋转角.
课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

2.双曲线的参数方程中,参数 φ 的三角函数 sec φ 的意
课 前 自 主 导 学

义是什么?

1 π 3 【提示】 sec φ= ,其中 φ∈[0,2π)且 φ≠2,φ≠2π. cos φ
3.类比 y2=2px(p>0),你能得到 x2=2py(p>0)的参数方

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

程吗?

【提示】

? ?x=2pt, ? 2 ? y = 2 pt . ?

(p>0,t 为参数,t∈R)}

课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

椭圆的参数方程及应用
课 前 自 主 导 学

?x=5cos θ ? 将参数方程 ? ? ?y=3sin θ

(θ 为参数) 化为普通方

当 堂 双 基 达 标

程,并判断方程表示曲线的焦点坐标.
课 堂 互 动 探 究

【思路探究】

根据同角三角函数的平方关系,消去参
课 时 作 业

数,化为普通方程,进而研究曲线形状和几何性质.





新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

x ? ?x=5cos θ ?cos θ=5, ? 【自主解答】 由? 得? ? ?y=3sin θ ?sin θ= y, 3 ? x2 y2 两式平方相加,得52+32=1. ∴a=5,b=3,c=4. 因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆,焦点坐标为 F1(4,0) 和 F2(-4,0).

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

?x=acos θ, ? 椭圆的参数方程? ? ?y=b sin θ,

(θ 为参数,a,b 为常数,

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

且 a>b>0)中,常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长, 焦点在长轴上.
课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

? ?x=3cos θ 若本例的参数方程为? ? ?y=5sin θ

,(θ 为参数),则如何求

当 堂 双 基 达 标

椭圆的普通方程和焦点坐标?
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

?x ?x=3cos θ ?3=cos θ, ? 【解】 将? ,化为? ? ?y=5sin θ ?y=sin θ, ?5 x2 y2 两式平方相加,得32+52=1. 其中 a=5,b=3,c=4. 所以方程的曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,焦点坐标为 F1(0,-4)与 F2(0,4).

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

已知曲线
课 前 自 主 导 学

? ?x=-4+cos t C1:? ? ? y=3+ sin t

,(t 为参数),曲
当 堂 双 基 达 标

x2 y2 线 C2: 64+ 9 =1. (1)化 C1 为普通方程, C2 为参数方程; 并说明它们分别表

课 堂 互 动 探 究

示什么曲线? π (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= , Q 为 C2 上的动点, 2 求 PQ 中点 M 到直线 C3:x-2y-7=0 距离的最小值.
课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化;(2)由中点 坐标公式,用参数 θ 表示出点 M 的坐标,根据点到直线的距

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

离公式得到关于 θ 的函数,转化为求函数的最值.
课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

【自主解答】

? ?x=-4+cos t, (1)由? ? ?y=3+ sin t,
当 堂 双 基 达 标

课 前 自 主 导 学

?cos t=x+4, ? 得? ? ?sin t=y -3.

∴曲线 C1:(x+4)2+(y-3)2=1, C1 表示圆心是(-4,3),半径是 1 的圆. x2 y2 曲线 C2: 焦点在 x 轴上, 64+ 9 =1 表示中心是坐标原点, 长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
? ?x=8cos θ, 其参数方程为? ? ?y=3sin θ,
菜 单

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业

(θ 为参数)

π (2)依题设,当 t= 时,P(-4,4); 2 且 Q(8cos θ,3sin θ),
课 前 自 主 导 学

新课标 ·数学 选修4-4

3 故 M(-2+4cos θ,2+ 2sin θ). 又 C3 为直线 x-2y-7=0, 5 M 到 C3 的距离 d= 5 |4cos θ-3sin θ-13| 5 = |5cos(θ+φ)-13|, 5 4 3 3 从而当 cos θ= ,sin θ=- 时,(其中 φ 由 sin φ= ,cos 5 5 5 4 8 5 φ=5确定)cos(θ+φ)=1,d 取得最小值 5 .
菜 单

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业

新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

1 . 从第 (2) 问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越 性. 2.第(2)问设计十分新颖,题目的要求就是求动点 M 的

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

轨迹上的点到直线 C3 距离的最小值,这个最小值归结为求关 于参数 θ 的函数的最小值.
课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

x2 2 (2013· 开封质检)已知点 P 是椭圆 4 +y =1 上任意一点, 求点 P 到直线 l:x+2y=0 的距离的最大值.

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

x2 2 【解】 因为 P 为椭圆 4 +y =1 上任意一点,
课 前 自 主 导 学

故可设 P(2cos θ,sin θ),其中 θ∈[0,2π). 又直线 l:x+2y=0. 因此点 P 到直线 l 的距离

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

π |2cos θ+2sin θ | 2 2|sin?θ+4?| d= = . 2 2 5 1 +2 π π 2 10 所以,当 sin(θ+4)=1,即 θ=4时,d 取得最大值 5 .

课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

双曲线参数方程的应用
课 前 自 主 导 学

x2 y2 求证:双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上任意一点到 a b 两渐近线的距离的乘积是一个定值.

当 堂 双 基 达 标

【思路探究】
课 堂 互 动 探 究

设出双曲线上任一点的坐标,可利用双

曲线的参数方程简化运算.
课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

x2 y2 【自主解答】 由双曲线 2- 2=1,得 a b
课 前 自 主 导 学

两条渐近线的方程是:bx+ay=0,bx-ay=0, 设双曲线上任一点的坐标为(asec φ,btan φ), 它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2, |ab sec φ+abtan φ | 则 d1· d2= · 2 2 b +a |ab sec φ-abtan φ | b2+?-a?2 |a2b2?sec2 φ-tan2 φ?| a2b2 = = 2 2 2 2(定值). a +b a +b
菜 单

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业

新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时,使用曲线的 参数方程非常简捷方便,其中点到直线的距离公式对参数形 式的点的坐标仍适用, 另外本题要注意公式 sec2 φ-tan2 φ=1

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

的应用.
课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

如图 2-2-1,设 P 为等轴双曲线 x2-y2=1 上的一点,
课 前 自 主 导 学

F1、F2 是两个焦点,证明: |PF1|· |PF2 |= |OP| .

2

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业

图 2-2-1





新课标 ·数学 选修4-4

【证明】

设 P(sec φ,tan φ),

∵F1(- 2,0),F2( 2,0),
课 前 自 主 导 学

∴|PF1|= ?sec φ+ 2?2+tan2φ = 2sec2φ+2 2secφ+1 , |PF2|= ?sec φ- 2?2+tan2φ = 2sec2φ-2 2sec φ+1 ,

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

|PF1|· |PF2 |= ?2sec2φ+1?2-8sec2φ=2sec2φ-1. ∵|OP|2= sec2φ+tan2φ=2sec2φ-1, ∴|PF1|· |PF2 |= |OP|2.
菜 单

课 时 作 业

新课标 ·数学 选修4-4

抛物线的参数方程
课 前 自 主 导 学

设抛物线 y2=2px 的准线为 l,焦点为 F,顶点 为 O,P 为抛物线上任一点,PQ⊥l 于 Q,求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程.
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

程组得到交点的参数方程,然后化为普通方程即可.

课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

【自主解答】

设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数),

课 前 自 主 导 学

1 当 t≠0 时,直线 OP 的方程为 y= x, t p QF 的方程为 y=-2t(x- ), 2 它们的交点 M(x,y)由方程组 ? 1 ?y= t x ? ?y=-2t?x-p? 2 ?

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

确定,

课 时 作 业

p 两式相乘,消去 t,得 y =-2x(x-2),
2
菜 单

新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

∴点 M 的轨迹方程为 2x2-px+y2=0(x≠0). 当 t=0 时,M(0,0)满足题意,且适合方程 2x2-px+y2= 0. 故所求的轨迹方程为 2x2-px+y2=0.

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

1.抛物线

?x=2pt2, ? 2 y =2px(p>0)的参数方程为? ? ?y=2pt

(t 为参

数),参数 t 为任意实数,它表示抛物线上除顶点外的任意一 点与原点连线的斜率的倒数.

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

2.用参数法求动点的轨迹方程,其基本思想是选取适当 的参数作为中间变量,使动点的坐标分别与参数有关,从而 得到动点的参数方程,然后再消去参数,化为普通方程.
课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

?x=2pt2, ? (2012· 天津高考) 已知抛物线的参数方程为? ? ?y=2pt

(t

当 堂 双 基 达 标

为参数),其中 p>0,焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 M
课 堂 互 动 探 究

作 l 的垂线,垂足为 E,若|EF|= |MF|,点 M 的横坐标是 3, 则 p=________.

课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

【解析】
课 前 自 主 导 学

根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方 y2 M=6p,所以 p p E(-2,± 6p),F(2,0),
当 堂 双 基 达 标

程是 y =2px,所以

2

p 所以2+3= p2+6p,所以 p2+4p-12=0,解得 p=2(负值 舍去).
【答案】 2

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

(教材第 34 页习题 2.2,第 5 题) x2 y2 已知椭圆 2+ 2=1 上任意一点 M(除短轴端点外)与短轴 a b 两端点 B1,B2 的连线分别与 x 轴交于 P、Q 两点,O 为椭圆 的中心.求证:|OP|· |OQ|为定值.

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

x2 (2012· 徐州模拟)如图 2-2-2,已知椭圆 4 +
课 前 自 主 导 学

y2=1 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 B1、 B2 的连线 分别交 x 轴于 P、Q 两点.

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

图 2-2-2 求证:|OP|· |OQ|为定值.
菜 单

课 时 作 业

新课标 ·数学 选修4-4

【命题意图】
课 前 自 主 导 学

本题主要考查椭圆的参数方程的简单应
当 堂 双 基 达 标

用,考查学生推理与数学计算能力.

【证明】 设 M(2cos φ,sin φ)(φ 为参数), B1(0,-1),B2(0,1). sin φ+1 则 MB1 的方程:y+1= · x, 2cos φ 2cos φ 令 y=0,则 x= , sin φ+1 2cos φ 即|OP|=| |. 1+sin φ
菜 单

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业

新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

sin φ-1 MB2 的方程:y-1= x, 2cos φ 2cos φ ∴|OQ|= | |. 1-sin φ 2cos φ 2cos φ ∴|OP|· |OQ|=| |· | |=4. 1+sin φ 1-sin φ 因此|OP|· |OQ|=4(定值).

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

?x=cos θ ? 1.参数方程? ? ?y=2sin θ

,(θ 为参数)化为普通方程为 ( )

2 y A.x2+ =1 4

2 y B.x2+ =1 2

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

2 2 x x C.y2+ =1 D.y2+ =1 4 4 y 【解析】 易知 cos θ=x,sin θ= , 2
2 y ∴x2+ =1,故选 A. 4 【答案】 A
菜 单

课 时 作 业

新课标 ·数学 选修4-4

?xcos θ=a, ? 2.方程? ? ?y=bcos θ,
课 前 自 主 导 学

(θ 为参数,ab≠0)表示的曲线是 ( )
当 堂 双 基 达 标

A.圆 C.双曲线

B.椭圆

D.双曲线的一部分 a 【解析】 由 xcos θ=a,∴cos θ= , x
代入 y=bcos θ,得 xy=ab, 又由 y=bcos θ 知,y∈[- |b |, |b |], ∴曲线应为双曲线的一部分. 【答案】 D
菜 单

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业

新课标 ·数学 选修4-4
?x=t2, ? 3.(2013· 陕西高考)圆锥曲线? ? ?y=2t
课 前 自 主 导 学

(t 为参数)的焦点
当 堂 双 基 达 标

坐标是________.

【解析】 将参数方程化为普通方程为 y2=4x,表示开 口向右,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线,由 2p=4?p=2,则

课 堂 互 动 探 究

焦点坐标为(1,0).
【答案】 (1,0)
课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

4.(2012· 湖南高考)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:
?x=t+1, ? ? ? ?y=1-2t

(t 为参数)与曲线

?x=a sin θ, ? C2:? ? ?y=3cos θ

当 堂 双 基 达 标

(θ 为参数,

课 堂 互 动 探 究

a>0)有一个公共点在 x 轴上,则 a=________.

课 时 作 业





新课标 ·数学 选修4-4

【解析】
课 前 自 主 导 学

将曲线 C1 与 C2 的方程化为普通方程求解. 消去参数 t 得 2x+y-3=0. x2 y2 消去参数 θ 得 2+ =1. a 9
当 堂 双 基 达 标

? ?x=t+1, ∵? ? ?y=1-2t, ? ?x=a sin θ, 又? ? ?y=3cos θ,

课 堂 互 动 探 究

3 3 x2 方程 2x+y-3=0 中, 令 y=0 得 x= 2, 将(2, 0)代入 2+ a y2 9 3 9 =1,得4a2=1.又 a>0,∴a=2. 3 【答案】 2
菜 单

课 时 作 业

新课标 ·数学 选修4-4

课 前 自 主 导 学

课时作业(七)

当 堂 双 基 达 标

课 堂 互 动 探 究

课 时 作 业






相关文章:
第2讲-2 圆锥曲线的参数方程
第2讲-2 圆锥曲线的参数方程_数学_高中教育_教育专区。二 圆锥曲线的参数方程 课标解读 1.了解双曲线、抛物线的参数方程. 2.理解椭圆的参数方程及其应用. 3. ...
第2讲 参数方程
第2讲 参数方程_数学_高中教育_教育专区。第2讲 【2013 年高考会这样考】 参数方程 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题. 【复习指导】 复习本...
选修4-4 第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程