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【智慧测评】2015高考数学(人教A版,文科)一轮课时训练:第5篇 第3节 等比数列]


第五篇

第3节

一、选择题 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n+k(k 为常数),那么下述结论正确的是( A.k 为任意实数时,{an}是等比数列 B.k=-1 时,{an}是等比数列 C.k=0 时,{an}是等比数列 D.{an}不可能是等比数列 解析:∵Sn=3n+k(k 为常数), ∴a1=S1=3+k, n≥2 时

,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n 1+k)=2×3n 1,
- -

)

当 k=-1 时,a1=2 满足 an=2×3n 1,{an}是等比数列,


当 k=0 时,a1=3 不满足 an=2×3n 1,{an}不是等比数列.


故选 B. 答案:B 2.(2014 河北石家庄一模)已知等比数列{an},且 a4+a8=2,则 a6(a2+2a6+a10)的值为 ( ) A.16 C.8 B.4 D.2

2 2 解析:a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a6· a6+a6a10=a4 +2a4· a8+a2 8=(a4+a8) =4.故选 B.

答案:B 3.(2014 湖北华中师大附中模拟)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1+a2=1,a3 +a4=4,则 a5+a6+a7+a8 等于( A.80 C.32 解析:由等比数列前 n 项和性质知, S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6 也成等比数列, 即 1,4,a5+a6,a7+a8 成等比数列, ∴a5+a6=16,a7+a8=16×4=64, ∴a5+a6+a7+a8=80.故选 A. 答案:A 4.(2014 河北唐山市第三次模拟)若{an}为等比数列,a2+a3=1,a3+a4=-2,则 a5+ ) B.20 255 D. 3

a6+a7 等于( A.-24 C.-48

) B.24 D.48

?a1q+a1q2=1, ? 解析:由已知得? 2 3 ?a1q +a1q =-2. ?

1 解得 q=-2,a1= , 2 ∴a5+a6+a7=a5(1+q+q2)=a1q4(1+q+q2)=24.故选 B. 答案:B 1 1 1 5.(2014 亳州模拟)等比数列{an}中,a1=1,q=2,则 Tn= + +…+ 的结 a1a2 a2a3 anan+1 果可化为( 1 A.1- n 4 2 1 C. 1- n 3 4 解析:由题意得 an=2n 1,


) 1 B.1- n 2 2 1 D. 1- n 3 2

1 1 1 ∴Tn= + +…+ a1a2 a2a3 anan+1 = 1 1 1 + +…+ n n-1 1×2 2×22 22

1 1 1 1 = + 3+ 5+…+ 2n-1 2 2 2 2 1 1 1- 2 4n = 1 1- 4 2 1 = 1- n,故选 C. 3 4 答案:C
* 6.(2014 安庆二模)已知等比数列{an}的公比为负数,且 an+3· an-1=4a2 n(n∈N ,n≥2),

a2=2,则首项 a1 等于( A.1 C.-1

) B.4 D.-4

2 2 解析:∵an+3· an-1=4a2 n(n≥2),∴an+1=4an(n≥2),



an+12 an+1 =4(n≥2).又∵q<0,∴q= =-2, an an

a2 又 a2=2,∴a1= =-1, q

故选 C. 答案:C 二、填空题 7.(2014 山东师大附中第三次模拟)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a2· a6=9a4,a2 =1,则 a1=________. 解析:由 a2· a6=9a4 得 a2(a2q4)=9a2q2, 解得 q2=9, 所以 q=3 或 q=-3(舍去), 所以由 a2=a1q, a2 1 得 a1= = . q 3 1 答案: 3 8.(2014 河南省洛阳市高三检测)已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,3,…,且 a5· a2n
-5

=22n(n≥3),则 log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=________.
2n 解析:∵a5· a2n-5=a2 n=…=2 ,且 an>0,

∴an=2n, ∴log2a2n-1=log222n 1=2n-1,


n?1+2n-1? 2 ∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+2n-1= =n . 2 答案:n2
2 9.(2012 年高考辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列,且 a5 =a10,2(an+an+2)=5an+1,

则数列{an}的通项公式 an=______. 解析:∵2(an+an+2)=5an+1, ∴2an+2an· q2=5an· q, 即 2q2-5q+2=0, 1 解得 q=2 或 q= (舍去). 2 又∵a2 q5, 5=a10=a5· ∴a5=q5=25=32, ∴32=a1· q4,解得 a1=2, ∴an=2×2n 1=2n,故 an=2n.


答案:2n 10.(2013 年高考辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和,若 a1, a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根,则 S6=________. 解析:依题意 a1+a3=5,a1a3=4,

又数列{an}为递增数列, ∴解得 a1=1,a3=4, a3 ∴q2= =4,q=2, a1 a1?1-q6? 1-26 ∴S6= = =63. 1-q 1-2 答案:63 三、解答题 11. 一个项数为偶数的等比数列{an}, 各项之和为偶数项之和的 4 倍, 前 3 项之积为 64, 求此数列的通项公式. 解:设数列{an}的首项为 a1,公比为 q,全部奇数项、偶数项之和分别记为 S 奇、S 偶, 由题意知,S 奇+S 偶=4S 偶,即 S 奇=3S 偶. S偶 1 ∵数列{an}的项数为偶数,∴q= = . S奇 3 又∵a1· a1q· a1q2=64,∴a3 q3=64, 1· 即 a1=12.

?1?n-1. 故所求通项公式为 an=12· ?3?
12.(2014 长春调研)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N*). (1)求证:数列{an+1}是等比数列,并写出数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 4b1-1· 4b2-1· 4b3-1· …· 4bn-1=(an+1)n, 求数列{bn}的前 n 项和 Sn. (1)证明:∵an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1), 又 a1=1,∴a1+1=2≠0,an+1≠0, ∴ an+1+1 =2, an+1

∴数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. ∴an+1=2n,可得 an=2n-1. (2)解:∵4b1-1· 4b2-1· 4b3-1· …· 4bn-1=(an+1)n, ∴4b1+b2+b3+…+bn-n=2n2, ∴2(b1+b2+b3+…+bn)-2n=n2, 即 2(b1+b2+b3+…+bn)=n2+2n, 1 ∴Sn=b1+b2+b3+…+bn= n2+n. 2


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