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第二章数学竞赛


基础题目

谭老师(QQ:44294598)

第二章 一元函数微分学
1.设? f (0) = 0?,则? f ( x? )?在?x = 0?可导的充要条件为( (A)?lim?
h ?? 0?



1? f?(1 - cosh)?存在 h 2?

(C)

?lim? f ( h - sinh)?存在
h ?? 0?

1? h? f (1 - e? )?存在 h ?? 0? h 1? (D)?lim? [ f (2h ) - f ( h? )? ]?存在 h? 0? h
(B)?lim?

2. f?( x? )= í

ì x?2?,?x? 为无理数,? 求f?'?(0? )?. 0? ,? x? 为有理数 ,? ?
ì x?2 + 2?x?+ b? ,?x? ? 0? ,?在? x? = 0? 处可导 。 (ax?),?x? > 0? ?arctan?

3.讨论 a,b 为何值时,才能使函数 f?( x? ) =? í

1? ì k? ,? ? x? sin? ,?x?? 0? 4. 在什么条件下, f?( x? ) =?í x? ? ,? x?= 0? .? ?0? 1? ì 2 ,? ? x? sin? ,?x?? 0? 5. 设 j ( x ) =? í 又f? ? (?x? )? 在x?= 0? 处可导,?求f?[j ( x?)]在x?= 0? 处的导数 。 x? ? ,?x?= 0? ,? ?0? ì g?( x?) - e?-?x? x?? 0,? )= ? )?= 1? 6.设 f?( x? 其中g?(?x? )? 有二阶连续导数,?g?(0? ,?g?'?(? 0? )?= -1? ,? x? í ?0? x?= 0? ,? ? ,?

)?? ? (1)求 f?' ( x?
7.设?y? = ln?

(? 2? )? 讨论f? ? '?(?x? )? 在(? -?,? +?)?上连续性。

e?2?x? 1? 1? + 1?+ cos?2? + sin?2? ,求y? '?. 2?x? x? x? e? - 1?
9.设?

8.设?y? =

x?ln?x? ,?求y? '.? (ln?x? )?x?
2?

y? =

2?x?+ 1?× 3? 3? x?- 1? ,?求y?'?. 2? 5? (?x?+ 1? )? × 1?+ 3? x?

ì x?2?e?- x? ,? x? ? 1? ,? ? 10. 设 f?( x? 求f?'?( x?)?。 ) = í1? x? > 1? ,? ? ,? ? e?

ì ln?(1?+ x?) ,?x?? 0? ,? )= ? 11. 设 f?( x? 求f?'?( x?)?。 í x? ? ,? x?= 0? ,? ?1?
12. 设í

ì x =? f?'?(t?),? d?3?y? f?(t?)?具有三阶导数,且 f????(t?)?? 0,?求? 3? 。 d? x? ? y? = tf?'?(t?) - f?(t?),?

基础题目

谭老师(QQ:44294598)

13. 设函数 y=y(x)由方程 xe f? ( y?)? = e?y? 确定,其中 f 具有二阶导数,且? f?' ??1? ,求? 14.设函数 y=y(x)由方程?y?-?xe?y? = 1 所确定,求?

d?2? y? 。 dx?2?

d?2 y? x? =?0?的值。 dx?2?

15. 设 y=y(x) 由? í 16.设 f?(?x? )?=?
x?3?

,? ì x? = arctan?t?
2

dy? 所确定,?求 。 dx? ?2?y?- ty? + e? = 5?
t?

ò

x?2?

sin?xt? dt?(?x?> 0? ),?求f?'?(?x? )?。 t?

17.若 f(x)为连续函数,且?

ò

1? + x?3? 0?

f?(?x? )? dx?= x?2? - 1? ,?求f?(?x? )?

18.

ì x = cos(t? ? 2?)? ? 设í t? 1? dy? d?2?y? p 的值。 2? t? )?- ò? cos?udu? ,?求 ,? 2? 在t? = ? y? = t?cos(? 1? dx? dx? 2? 2? u? ?
2?

ì x? = t? f?(? u?2?)? du? ,? d?2? y? ? ò 0? 19. 设?í u? )?? 0? ,?求 2? .? 其中f?(? u?)?具有二阶导数,且? f?(? dx? 2? 2? ? y? = [? f? (? t? )]? ,? ?
20.设? y? = sin?4? x?+ cos?4? x? ,?求y?(?n?)?.?
x? 21.?y? = e? cos x?,?求y?( n?)?

22.? y? = x?2 e?x?,?求y?( n?)?
(n)

23. 设? f?( x?)? = 3?x?3?+ x?2? x? ,则使 f (0)存在的最高阶数 n 为何值. 24. 若圆半径以 2cm/s 的等速增加,则当圆半径 R=10cm 时,圆面积增加的速度如何. 25.长方形一边 x=20m,另一边 y=15m,若第一边以 1m/s 的速度减少,而第二边 2m/s 的速度 增加,问这长方形的面积和对角线变化的速度如何? 26.水流入半径为 10m 的半球形蓄水池,求水深 h=5m 时,水的体积 V 对深度 h 的变化率,如
3? 果注水速度?5? 3? m? /?min?,问 h=5m 时水面半径的变化速度是多少?

27.(1)证明可导的偶函数的导数为奇函数,可导奇函数的导数为偶函数; (2)证明可导的周期函数的导数仍为周期函数,并问是否具有相同的周期。 2 28. 若 y=2x+b 与 y=x 在某点处的法线相同,求 b. 29. 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数,它在 x=0 的某邻域内满足关系式?

f (1? ? + sin?x? )?- 3?f?(? 1?- sin?x? )? = 8? x?+ a (?x? )?
其中 α (x) 是当?x???0 时比 x 高阶的无穷小, 且 f(x)在 x=1 处可导, 求曲线 y=f(x)在点(6,f(6)) 处的切线方程 30. 例设 x=g(y)为 y=f(x)的反函数,试由? f?'?(? x? ),? f?"?(?x? ),? f?"?'?(?x? )? 计算g? "?(?y? ),?g? "?'?(?y? ).?


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