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湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期第二次月考数学(文)试题.doc


衡阳市八中 2015 年高二第二次月考试卷 数 学(文科) (本卷共 150 分,考试用时 120 分钟)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知命题 P : ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0 ,则命题 P 的否定是( A. ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0 B. ?x0 ? R, 2x2 ? 1 ? 0 C

. ?x ? R, 2x ? 1 ? 0
2



D. ?x0 ? R, 2x2 ? 1 ? 0

2.问题:①某地区 10000 名中小学生,其中高中生 2000 名,初中生 4500 名,小学生 3500 名, 现从中抽取容量为 200 的校本;②从 1002 件同一生产线生产的产品中抽取 20 件产品进行质 量检查.方法:I、简单随机抽样;II、分层抽样;III、系统抽样.其中问题与方法配对较 适宜的是( )

A. ①I,② II B.①III,②I C.①II,②III D.①III,②II 3.某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学去参加演讲比赛,事件“至少 1 名女生” 与事件“全是男生” ( )

A.是互斥事件,不是对立事件 B.是对立事件,不是互斥事件 C.既是互斥事件,也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件 4.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( 10 2
B. 4 2
3



A. 2 2

C. 2 3

D. 4 3

3 2 x ? 1 ,则( ) 2 1 1 A.最大值为 1,最小值为 B.极大值为 1,极小值为 2 2 1 C.最小值为 ,无最大值 D.极大值为 1,无极小值 2 f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 6. 若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 lim 等于( ) k ?0 2k 1 A. ?1 B. ?2 C.1 D. 2
5.若函数 f ( x) ? x ? 7.有5个不同的社团,甲、乙两名同学各自参加其中 1 个社团,每位同学参加各个社团的可 能性相同,则这两位同学参加的社团不同的概率为( )

A.

1 2 3 4 B. C. D. 5 3 4 5

? ? 2.1x ? 0.85 , 8.已知 x 与 y 之间的一组数据, 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 y 则m的
值为( ) 1 3 2 5.5 3 7 C. 0.6 D. 0.5

x
y

0

m

A. 0.85 B. 0.75

9.如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶 图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( 7 8 9 4464 )

7 3 A.84; 4.84 B.84; 1.6 C.85;4 D.85; 1.6 9 10.为大力提倡“厉行节约,反对浪费” ,衡阳市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否做

n(ad ? bc)2 到“光盘”行动,得到如右列联表及附表:经计算: K ? ? 3.03 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

参照附表,得到的正确结论是( 做不到“光盘”行动 男 女 45 30



做到“光盘”行动 10 15

(K 2 ? k )
k

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

A.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关” C.有 90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关” D.有 90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关”
2 11.函数 f ( x) ? ax ? bx (a ? 0, b ? 0) 在点 (1, f (1)) 处的切线率 2,则

8a ? b 的最小值是 ab





A.10 B.9 C.8 D. 3 2 12. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐 a 2 b2

近线于 A 、 B 两点,与双曲线的其中一个交点为 P ,设坐标原点为 O ,若

??? ? ??? ? ??? ? 2 OP ? mOA ? nOB, (m, n ? R) 且 mn ? ,则该双曲线的离心率为( 9
A.



9 3 2 3 5 3 2 B. C. D. 8 2 5 4

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.甲、 乙两下棋, 两人下成和棋的概率是

1 1 , 乙获胜的概率是 , 则甲获胜的概率是________. 2 3
2

14.在区间 ? ?2, 2? 上任取一个实数,则该数是不等式 x ? 1 的解的概率为________. 15.抛物线 y 2 ? ?4x 的准线方程为________. 16.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1;5? ,部分对应值如表, f ( x ) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象如 图所示,下列关于 f ( x ) 的命题: ①函数 y ? f ( x) 是周期函数; ②函数 y ? f ( x) 在 ? 0, 2? 上减函数; ③如果当 x ?? ?1, t ? 时, f ( x ) 的最大值是 2,那么 t 的最大值是 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 有 4 个零点; ⑤ 函数 y ? f ( x) ? a 的零点个数可能为 0,1,2,3,4. 其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号) .

x
f ( x)

-1 1

0 2

4 2

5 1

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分,应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 4 x ? ,求函数 f ( x) 在点 P(2, 4) 处的切线方程. 3 3

18.(本题满分 10 分)已知 p : ( x ? 2)( x ? 6) ? 0, q : x ? 2 ? 5 ,命题“ p ? q ”为真, “ ?p ” 为真,求实数 x 的取值范围.

率分布直方图. (1)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值; (2)若从车速在 ?60,70? 的车辆中任抽取 2 辆,求车速在 ?65,70? 的车辆恰有一辆的概率.

20.(本题满分 12 分)已知关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 ,其中 a, b ? R .若 a 随
2 2

机选自区间 ? 0, 4? , b 随机选自区间 ?0,3? ,求方程有实根的概率.

21.(本小题满分 13 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上任意一点到两焦点 F1F2 距离之和 a 2 b2

为 4 2 ,离心率为

3 . 2

(1)求椭圆的标准方程; (2) 若直线 l 的斜率为 的面积的最大值.

1 , 直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点. 点 P(2,1) 为椭圆上一点, 求 ?PAB 2

22.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? a( x ?1)2 ? ln x, a ? R .

1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; 4 1 1 (II) a ? 时,令 h( x) ? f ( x) ? 3ln x ? x ? .求 h( x) 在 ?1, e? 上的最大值和最小值; 2 2
(I)当 a ? ? (III)若函数 f ( x) ? x ? 1 对 ?x ??1, ??? 恒成立,求实数 a 的取值范围 .

参考答案 一、选择题 1-10:BCCDB 二、填空题 13.

ADDDC

11-12. BC

1 6

14.

P ( x 2 ? 1) ?

1 2

15. x=1

16. ②⑤

三、解答题 17.【答案】∵ f ' ( x) ? x 2 ∴在点 P(2,4) 处的切线的斜率 k ? f ' (2) ? 4 ∴函数 f ( x ) 在点 P(2,4) 处的切线方程为 y ? 4 ? 4( x ? 2), 即 4 x ? y ? 4 ? 0 18. 【答案】 (1) p : ?2 ? x ? 6 , q : ?3 ? x ? 7 ,由题意可知 p, q 一真一假, p 真 q 假时, 由?

? x ? ?2或x ? 6 ? ?2 ? x ? 6 ? x ?? p 假 q 真时,由 ? ? ?3 ? x ? ?2或6 ? x ? 7 ? x ? ?3或x ? 7 ? ?3 ? x ? 7

所以实数 x 的取值范围是 ? ?3, ?2? ? ? 6,7? 19. 【答案】 (1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为:

0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ? x ? 75? ? 0.5 ,解得 x ? 77.5
即中位数的估计值为 77.5 (2)从图中可知,车速在 ?60,65? 的车辆数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆) , 车速在 ?65,70? 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆)

? a, c?? a, d ?? a, e?? a, f ??b, c ??b, d ??b, e ??b, f ? 共 8 种所以,车速在 ?65,70? 的车辆恰有一
辆的概率为 P ? 20.

8 15

【 答 案 】 因 为 a ?? 0 , ? 4 b? ,?

, ? 0,

则 3 试 验 的 全 部 结 果 构 成 区 域

? ? ? b? , ?? 3的 面 积 为 ?? ? 3 ? 4 ? 12, 事 件 A 所 构 成 的 区 域 ? | 0?a ?4 , 0 ?? a, b ? ? ?? a, b? | 0 ? a ? 4,0 ? b ? 3, a ? b? , A 的面积为
?A ? 3? 4 ? 1 15 ? 3? 3 ? ,所以 2 2

15 m 5 P ( A) = A = 2 = mW 12 8

? 2a ? 4 2 ? c 3 ? 21. 【答案】 : (1)由条件得: ? e ? ? ,解得 a ? 2 2 , c ? 6 , b ? 2 ,所以椭圆的 ? 2 a 2 22 ? ?a ? b ? c
x2 y2 ? ?1 方程为 8 2
(2)设 l 的方程为 y ?

1 x ? m ,点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 2

1 ? y? x?m ? ? 2 2 2 由? 2 消去 y 得 x ? 2m x ? 2m ? 4 ? 0 . 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8
2 2 令 ? ? 4m ? 8m ? 16 ? 0 ,解得 m ? 2 ,由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m2 ? 4 .

则由弦长公式得 AB ? 1 ?

1 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 5(4 ? m2 ) . 4
m 1 1? 4 ? 2m 5


又点 P 到直线 l 的距离 d ?

∴ S?PAB ?

1 1 2m m2 ? 4 ? m2 AB d ? ? ? 5(4 ? m2 ) ? m2 (4 ? m2 ) ? ?2, 2 2 2 5

2 当且仅当 m ? 2 ,即 m ? ? 2 时取得最大值.∴△PAB 面积的最大值为 2.

22. 【答案】 : (Ⅰ) a ? ? f' (x) ? ?

1 1 2 , f ( x ) ? ? ( x ? 1) ? ln x ,(x>0) 4 4

1 1 1 ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)(x ? 1) x? ? ? ? , 2 2 x 2x 2x

当 0< x < 2 时,f' (x)>0,f(x)在(0,2)单调递增;当 x>2 时,f' (x)<0,f(x)在 (2,??) 单调递减;所以函数的单调递增区间是(0,2) ,单调递减区间是 (2,??) .

(Ⅱ)

h?( x ) ? x ?

2 ? x?? ?1, 2 ? 时 h?( x) <0, x ,令 h?( x) ? 0 得 x ? 2 ,当

当 x ? ? 2,e ? 时 h?( x ) >0,故 x ?

?

?

2 是函数 h( x) 在 ?1,e? 上唯一的极小值点,
又 h(1) ?

故 h( x)min ? h( 2) ? 1 ? ln 2 所以 h( x)max ?

1 , 2

h (e) ?

1 2 1 e ?2? , 2 2

e2 ? 4 1 2 e ?2= . 2 2

(Ⅲ)由题意得 a( x ? 1) 2 ? ln x ? x ? 1对 x ? [1,??) 恒成立, 设 g ( x) ? a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 , x ? [1,??) ,则 g ( x) max ? 0 , x ? [1,??)
2

求导得 g'(x) ?

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ,当 a ? 0 时,若 x ? 1 ,则 g ' ( x) ? 0 , x x

所 以 g ( x) 在 [1,??) 单 调 递 减 g ( x) m a x? g (1) ? 0 ? 0 成 立 , 得 a ? 0 ; 当 a ?

1 时, 2

1 ? 1 , g ( x) 在 [1,??) 单调递增,所以存在 x ? 1 ,使 g ( x) ? g (1) ? 0 ,则不成立; 2a 1 1 1 1 ? 1 ,则 f ( x) 在 [1, ] 上单调递减, [ ,?? ) 单调递增, 当 0 ? a ? 时, x ? 2a 2 2a 2a 1 1 1 1 1 1 ,?? ) ,有 g ( ) ? a( ? 1) 2 ? ln ? ? 1 ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 , 则存在 ? [ a 2a a a a a 所以不成立,综上得 a ? 0 . x?


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