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第一讲 运动学


第一讲
一.内容提要

运动学

(一)高考涉及的运动学知识 1.基本概念 (1)机械运动、平动和转动. (2)质点. (3)参照物(系) .为描述运动而假定不动的物体. (4)时间和时刻. (5)速度和速率. (6)加速度 a ?

?v vt ? v0 ? ?t t

注意 vt ? v

0 为矢量差,若在一条直线上,则设定

正方向后,用正负号来表示其方向. 2.直线运动的有关规律 (1)变速运动的平均速度 (2)匀变速直线运动:

v?

s t

s:位移.平均速度是矢量.

vt ? v0 ? at

s ? v0 t ?

1 2 at 2

2 2as ? vt2 ? v0

s?

v 0 ? vt t ? vt 2

中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度

vt ?
2

S v 0 ? vt ? t 2

(3)自由落体运动:上面方程组中的 v0=0,a=g (4)竖直上抛运动:上面方程组中的 a=-g (5)运动图像:s—t 图和 v—t 图. 3.运动的合成与分解 运动的合成与分解是指位移、速度、加速度等矢量的合成与分解,遵循平行四边形法 则.注意:合运动是质点的实际运动. 4.平抛运动的有关规律 平抛运动可视为沿初速度方向的匀速直线运动和与初速度方向垂直的自由落体运动的 合运动.如果以初速度方向为 X 轴,以加速度方向为 Y 轴,以抛出位置为坐标原点建立坐标系,则:

sx ? v0t
sy ? 1 2 gt 2

2 2 s ? sx ? sy

1

v x ? v0

2 2 v ? vx ? vy

v y ? gt ? 2 gs y ? v sin ? ? v0 tan ?
二.竞赛补充的提高知识 1.绝对速度、相对速度和牵连速度 通常 取地球参照系为静系, 相对于地球参照系的速度称为绝对速度. 令地球参照系为 a, .. b 物体相对于地球运动的速度为 vba, c 物体相对于 b 物体的速度为 vcb. 则 c 对 a 的速度 vca = vba+ vcb (注意此加法应依照矢量合成的平行四边形法则进行)其中, vca 称为绝对速度;vcb 称为相对速度;vba 称为牵连速度.(这一规律可记为:丙物体对甲物体的速度,等于丙物体 对乙物体的速度和乙物体对甲物体的速度的合成.)位移和加速度也有类似的规律: sca = sba+ scb aca = aba+ acb 2.斜抛物体运动 一般的抛体运动,通常是指初速度与加速度的夹角不为 900、 00 和 1800 的情形. 解决这类 问题还是分解到两个方向来考虑. (1) 平面直角坐标分解法:即沿加速度 a 的方向和垂直 a 的方向分解,两个分运动分别 是相互垂直的匀速运动和匀变速运动. (2) 沿初速度 v0 和加速度 a 的方向分解法: 两个分运动分别是速度为 v0 的匀速运动和初 速度为 0、加速度为 a 的匀加速运动. 二.练习题 1.如图 1-1 所示,光滑斜面 AE 被分成四个长度相等的部分,即 AB=BC=CD=DE, 一物体由 A 点由静止释放,下列结论正确的是 A.物体到达各点的速率 vB : vC : vD : vE ? 1 : 2 : 3 : 2 B.物体到达各点所经历的时间 t E ? 2t B ?

2t C ?

2t D 3
图 1-1

C.物体从 A 运动到 E 的全过程平均速度 v ? vB

D.物体通过每一段的速度增量均相等 2.一辆匀速行驶的摩托车经过一静止的汽车时,汽车启动, 以后汽车和摩托车的速度时间图像如图所示,下列判断正确的是: A.前 8 秒内汽车的平均速度大于 7.5m/s B.汽车前 8 秒内的加速度逐渐增大 C.汽车与摩托车只能相遇一次 图 1-2 D.汽车和摩托车可以相遇两次 3.静止在光滑水平面上的木块,被一颗子弹沿水平方向击穿,若子弹击穿木块的过程 中子弹受到木块的阻力大小恒定,则当子弹入射速度增大时,下列说法正确的是: A.木块获得的速度变大 B.木块获得的速度变小 C.子弹穿过木块的时间变长 D.子弹穿过木块的时间变短
2

4.汽车在第一个红绿灯处由静止启动,沿平直公路驰向车站并停在车站,运行的距离 为 s,若汽车加速时,加速度大小恒为 a1,减速时,加速度大小恒为 a2,由此可知汽车在这段路 上运行的最短时间是多少?

5.在光滑的水平轨道上有两个半径都是 r 的小球 A 和 B.当两球球心间的距离大于 L 时,A 球以速度 vo 做匀速运动,B 静止.当两球球心间 的距离等于或小于 L 时, A 球做加速度大小为 2a 的匀减 速运动,同时 B 球开始向右做初速度为零的加速度为 a 的匀加速运动,如图 1-2 所示.欲使两球不发生接触, 则必须满足什么条件? 图 1-3

6.一客车从静止开始以加速度 a 做匀加速直线运动的同时,在车尾的后面离车头为 x 远的地方有一乘客以某一恒定速度 v 正在追赶这辆客车,已知司机从车头反光镜内能看到离 车头的最远距离为 x0,同时司机从反光镜中看到该人的像必须持续时间在 t0 内才能注意到该 人,这样才能制动客车使车停下来,该乘客想要乘坐上这辆客车,追赶客车匀速运动的速度 v 所满足的条件的表达式是什么?若 a=1.0m/s2,x=30m,x0=20m,t0=4.0s,求 v 的最小值

7.如图所示,甲、乙两同学从河中 O 点出发,分别沿直线 游到 A 点和 B 点后,立即沿原路线返回到 O 点,OA、OB 分别 与水流方向平行和垂直,且 OA=OB,若水流速度不变,两人在 静水中游速相等,则他们所用时间 t 甲、t 乙的大小关系为 A.t 甲<t 乙 B.t 甲>t 乙 C.t 甲=t 乙 D.无法确定

图 1-4

8.如图 1-5 所示,汽车以恒定的速度 v0 通过绕过光滑定滑轮的轻绳拉动湖中的小船, 开始时车与滑轮间的绳子竖直,车尾与滑轮间的距离为 h,车尾与船头等高,连接到小船的 绳子与水平面夹角为 30 ,绳子绷直.当连接到 小船的绳子与水平面夹角为 37 时,求小船的速 度和汽车的位移. 图 1-5
3
0

0

9.如图 1-6 所示,一小滑块通过长度不计的短细绳 拴接在小车的板壁上,滑块与小车底板之间无摩擦.小车 由静止开始一直向右做匀加速运动,经过 2 s 细绳断掉, 又经过一段时间,滑块从小车尾部掉下来.从断绳到滑块 离开小车这段时间 t 中,已知滑块在时间 t 的前 3 s 内 图 1-6 相对于小车滑行了 4.5 m,后 3 s 内相对于小车滑行了 10.5 m.求: (1)小车底板的长度; (2)从小车开始运动到离开车尾掉下,滑块相对于地面移动的距离. (3)若小车尾部离地面高度为 0.2m,则滑块落地时离车尾的水平距离是多少?

10.如图 1-7,水平地面上有一个坑,其竖直截面为半圆, ab 为沿水平方向的直径。 若在 a 点以初速度 v0 沿 ab 方向抛出一 个小球, 小球会击中坑壁上的 c 点。 已知 c 点与水平地面的距离 为圆半径的一半,求圆的半径。 11.如图 1-8 所示,子弹从枪口水平射出,在枪口的正前 方,放有两块竖直的纸板 A 和 B.第一块距枪口水平距离为 s,两块挡板间距为 l.子弹击穿两块纸板后,在板上留下弹 孔 C 和 D,且 C 和 D 的高度差为 h.试用 s、l 和 h 来表示子 弹从枪口射出时的速度.

图 1-7

图 1-8

12.一水平放置的水管,距地面高 h=1.8m,管内横截面积 S=2.0cm2,有水从管口处以 不变的速度 v=2.0m/s 源源不断地沿水平方向射出, 设出口处横截面上各处水的速度都相同, 2 并假设水流在空中不散开.取重力加速度 g=10m/s ,不计空气阻力.求水流稳定后在空中有 多少m3 的水.

13.质点从坐标原点由静止出发,沿 x 轴正向运动,加速度为 2m/s2,5s 后加速度大小不 变,方向变为沿 y 轴正方向,求再过 5s 质点速度的大小和方向以及此时的位置坐标.

14.如图 1-9 所示,倾角为 θ 的斜面上,质点从顶点以某一初速度水平抛出后落到斜 面上,如果抛出的速度不同,则将落到斜面的不同位置,讨论质点落到斜面上时与斜面的夹 角 α 是否相同?(要求列出表达式定量说明)

图 1-9
4

15.在离水平面高度为 H 处有一小球 A,在 A 的右下方与它的水平距离为 s 处的地面上 有另一小球 B,如图 1-10 所示.今同时把两球抛出,A 水平向 右抛出,初速度为 vA,B 竖直向上抛出,初速度为 vB.设 H、s 是已知的,问: (1)要想使两球在空中相碰,vA、vB 各应满足什么条件? (2)若从抛出到相碰所经历的时间为最长时,B 走的路程 是多少? (3)若要求 B 在上升过程中与 A 碰撞,vB 应满足什么条件? 可能在何处相碰? 图 1-10

(以下各题均为竞赛范畴的题) 16.小球从 120m 高处自由落下,着地后又跳起,又落下,每与地面相碰一次,速度减 少 1/2.求小球从下落到停止的总时间和总路程.

17.老鼠离开洞穴沿直线前进,它的速度与到洞穴的距离成反比,当它行进到离洞穴的 距离为 d1 的甲处时, 速度为 v1, 则它行进到离洞解穴的距离为 d2 的乙处时速度是多少?从甲 处到乙处用时多少?

图 1-11 图 1-12 18.如图 1-11 所示,两直杆交角为 θ,交点为 A.若两杆各自以垂直于自身的速度 v1 和 v2 沿纸面运动,则交点 A 的速度大小为多少?

19.在光滑水平面上有一个深为 H,半径为 R 的圆柱形的坑, 一个小球沿着光滑水平面 以恒定速率 vo 运动到坑的边缘的一点 A, 此时刻小球的速度方向与坑直径成 α 角, 如图 1-12 所示. 试确定 R、H、vo 和 α 之间有怎样的相互关系, 小球与坑底作弹性碰撞后才能跳出此 坑?( 球与坑底作弹性碰撞前后, 速率大小不变, 且反射角等于入射角.)

5

三、参考答案
1、ABC 2、AC 3、BD 4、

2 s ( a1 ? a 2 ) a1 a 2

5、 v0< 6a( L ? 2r )

(at0 ) 2 6、v ? 2a( x ? x0 ) ? 4
9、(1)12.5m


代入数值得最小速度 2 6
2 4v 0

7、 B 8、

5 7 7h v0 ; 16 3

(2)12m

(3)1m

10、

(7 ? 4 3 ) g

11、 v0 ?

gl(2s ? l ) 2h

12、2.4×10 4m3

13、 v ? 10 2m/s ,与 x 轴正向夹 450 角;位置坐标为(75m,25m)

14、相同 (证明略) 15、 (1) vA ? s 16、15s;200m 17、
2 d1v1 d 2 ? d12 ; d2 2d1v1

g , vB ? 2H

gH 1 ; (2) H ; (3)vB> gH 2 2

18、

2 v12 ? v2 ? 2v1v2 cos?

sin ? R cos? 2H ? nv0 g
( n 为自然数)

19、

6

第二讲 牛顿运动定律与物体平衡 一、力和物体平衡
(一) 、力的概念的理解 1、物质性 2、相互性和同时性 3、矢量性 (二) 、力学中三种不同性质的力 1、重力和重心 重力实际上是地球对物体引力的一个分力。重力的作用点在物体的重心上。 重力的大小可由下列方法中求得:①可用弹簧秤测出;②由公式 G=mg 计算出,也可以 由平衡法求出等。 物体重心可在物体上,也可在物体外,不规则物质重心可由下列方法中求出:①悬挂法 ②支撑法 ③微元法,④公式法。

xc ?
yc ?

m1 x1 ? m2 x2 ? ???mn xn m1 ? m2 ? ???mn
m1 y1 ? m2 y2 ? ???mn yn m1 ? m2 ? ???mn

zc ?

m1 z1 ? m2 z2 ? ???mn zn m1 ? m2 ? ???mn

2、弹力和胡克定律 3、摩擦力的方向的判断是高考中和竞赛中的难点,也是最不容易把握的,而竞赛中又 经常扩展到二维甚至三维。 静摩擦力方向的判断方法。 ①假设法 ②平衡法 ③动力学法 (三) 、力的合成与分解 通过等效的方法,用一个力去代替几个力的作用效果叫力的合成;用几个力去代替一个 力的作用效果叫力的分解。力的合成与分解只是研究问题的方法,实际上并不存在合力或分 力所对应的施力物体。力的合成与分解遵循平行四边形定则,求多个共点力的和力时,往往 是先正交分解再求合力。 (四) 、物体平衡中的几个概念 1、共点力与力平衡 2、力矩、力偶矩与转动平衡 力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩, 表达式:M=F·L 如图 2-1 所示,作用在物体上大小相等方向相反的 图 2-1 两个力产生的力矩称为力偶矩,力偶矩的作用效果是纯转动,数学表达式为
7

M 力偶矩=F·L 两力间的距离 物质受到非共点力作用而处于静止或匀速转动状态,也就是说,作用在物体上几个力的 合力矩为零的情形,叫力矩的平衡。 (五) 、一般物体的平衡 共点力作用下处于平衡状态的物体,其平衡的充要条件是合外力等于零,即: 非共点力作用下有固定转轴的物体平衡的充要条件是合力矩等于零,即: 而对一般物体, 则要把两者结合起来才是它平衡的充要条件, 即:

? F =0

? M =0

? F =0 ? M =0

(六) 、应用举例 例 1、一质量为 M 的斜面体 A 放在粗糙的水平地面上,斜面体倾角为? ,在斜面体上 放一质量为 m 的物块 B,A、B 均处于静止状态,现对 B 施一与斜面成? 角的外力 F(如图 2-2) ,在 F 由 O 逐渐增大,且 A、B 任保持静止的情况下,A、B 之间的压力 NB 和摩擦力 fB 怎样变化?A 与地面的压力 NA 和摩擦力 fA 怎样变化? 例 2、如图 2-3,质量为 m 的球放在倾角为? 的光滑斜面上,当光滑挡板与斜面间的倾 角 ? (初时 ? <90° ) 逐渐增大到水平位置过程中,球与档板和斜面的弹力怎样变化。

图 2-2

图 2-3

图 2-4

图 2-5

例 3、如图 2-4 所示,小圆环重 G,固定的大环半径为 R,轻弹簧原长为 L(L<2R ) , 其劲度系数为 k ,接触处光滑,求小环静止时弹簧与竖直方向的夹角。 例 4、 如图 2-5 所示, 一轻杆两端固结两个小球 A 和 B, A、 B 两球质量分别为 4 m 和 m , 轻绳长为 L,求平衡时 OA、OB 分别为多长?不计绳与滑轮间摩擦 例 5、如图 2-6 所示,将一根不可伸长、柔软的轻绳两端分别系于 A、B 两点上,一物体 用动滑轮悬挂在绳子上, 达到平衡时, 两段绳子间的夹角为? 1 , 绳子张力为 T1。 将绳子一端由 B 点移至 C 点, 待整个系统达到 平衡时, 两段绳子间的夹角为? 2 , 绳子张力为 T2; 再将绳子一 端由 C 点移到 D 点, 待整个系统达到平衡时, 两段绳子的夹角 为?3 ,绳子张力为 T3;不计一切摩擦,试确定 T1,T2,T3 和

?1 ,? 2 ,?3 的大小的关系。
图 2-6
8

例 6、如图 2-7 所示,三根长度均为 l 的轻杆用绞链连接并固定在水平天花板上的 A、B 两点,AB 两点相距为 2l ,今在绞链 C 上悬挂一个质量为 m 的重物,要使 CD 杆保持水平, 则在 D 点上应施的最小力为多大?

图 2-7

图 2-8

例 7、如图 2-8 所示,一轻绳跨过两个等高的轻定滑轮(不计大小和摩擦) ,两端分别挂 上质量为 m1 ? 4 kg 和 m2 =2kg 的物体,如图 8,在滑轮间绳上悬挂物体 m ,为了使三个物 体能保持平衡,则 m 的取值范围。

二、牛顿运动定律
(一) 、牛顿第一定律的理解要点 1、运动是物体的一种属性,物体的运动不需要力来维持。 2、它定性地揭示了运动与力的关系:力是改变物体运动状态的原因,是使物体产生加 速度的原因。 3、定律说明了任何物体都有一个极其重要的性质——惯性。 4、不受外力的物体是不存在的,牛顿第一定律不能用实验直接验证,是建立在大量实 验现象的基础之上,通过思维的逻辑推理而发现的,它告诉了人们研究物理问题的另一种方 法:通过观察大量的实验现象,利用人的逻辑思维,从大量现象中寻找事物的规律。 5、牛顿第一定律是牛顿第二定律的基础,不能简单地认为它是第二定律的特例。 (二) 、牛顿第二定律的理解要点 1、牛顿第二定律定量揭示了力与运动的关系,即知道了力,可根据牛顿第二定律研究 其效果,分析出物体的运动规律;反过来,知道了运动,可根据牛顿第二定律研究其力的情 况,为设计运动,控制运动提供了理论基础。 2、牛顿第二定律揭示的是力的瞬时效果。 3、牛顿第二定律反映了合外力与加速度的方向性。 4、牛顿第二定律 F ? ma 定义了力的基本单位:牛顿。 (三) 、牛顿第三定律的理解要点 1、作用力和反作用力的相互依赖性。它们相互依存,互以对方作为自己存在的前提。 2、作用力和反作用力的同时性。它们同时产生,同时变化,同时消失。 3、作用力和反作用力的性质相同。即作用力和反作用力是属于同种性质的力。 4、作用力反作用力的不可叠加性。作用力和反作用力分别作用在两个不同的物体上, 各产生其效果。不可求它们的合力,两个力的作用效果不能相互抵消。 (四) 、质点系牛顿第二定律 对一个质点系而言,同样可以用牛顿第二律,如果这个质点系在任意的 x 方向上受的 合外力为 Fx ,质点系中的 n 个物体(质量分别为 m1 , m2 , ???, mn )在 x 方向上的加速度分别
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为 a1x , a2 x , ???, anx ,那么有 Fx ? ma a nx ,这就是质点系的牛顿第二 1 1x ?m2a 2 x ????? m n 定律。 (五) 、应用举例 例 1、如图 2-9 所示,在倾角为? 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块 A、B, 它们的质量分别为 mA , mB ,弹簧的劲度系数为 k ,C 为一固定挡板。系统处于静止状态。 现开始用一恒力 F 沿斜面方向拉物块 A 使之向上运动,求物块 B 刚要离开 C 时物块 A 的加 速度和从开始到此时物块 A 的位移 d 。重力加速度为 g 。 例 2、一小圆盘静止在桌布上,位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的 AB 边重合,如图 2-10 所示,已知盘与桌布间的动摩擦因数为 ?1 ,盘与桌面间的动摩擦因数为

?2 ,现突然以恒定加速度 a 将桌布抽离桌面,加速度的方向是水平的且垂直于 AB 边。若圆
盘最后未从桌面掉下,则加速度 a 满足的条件是什么?(以 g 表示重力加速度)

图 2-9

图 2- 10

图 2-11

例 3、 将金属块 m 用压缩的轻弹簧卡在一个矩形的箱中, 如图 2-11 所示, 在箱的上顶板 2 和下底板装有压力传感器,箱可以沿竖直轨道运动。当箱以 a ? 2.0 m/s 的加速度竖直向上 做匀减速运动时, 上顶板的压力传感器显示的压力 N=7.2N, 下底板的压力传感器显示的压力 F=12.0N。 (取 g =10m/s2) (1)若上顶板压力传感器的示数是下底板压力传感器示数 F 的一半,试判断箱的运动 情况。 (2)要使上顶板压力传感器的示数为零,箱沿竖直方向运动的情况可能是怎样的? 例 4、如图 2-12 所示,两个木块 A 和 B,质量分别为 mA 和 mB ,紧挨着并排放在水平

桌面上,A、B 间的接触面垂直于图中纸面与水平成? 角,A、B 间 的接触面是光滑的,但它们与水平桌面间有摩擦,静摩擦因数和动 摩擦因数均为 ? ,开 始时 A、B 都静止,现施一水平推力 F 于 A, 要使 A、B 向右加速运动且 A、B 之间不发生相对滑动,则: (1) ? 的数值应满足什么条件?

图 2-12

(2)推力 F 的最大值不能超过多少?(只考虑平动,不考虑转动问题)
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例 5、 如图 2-13 所示, 一绳跨过装在天花板上的滑轮, 绳子的一端吊另一质量为 M 的物 体,另一端挂一载人梯子,人的质量为 m ,系统处于平衡状态,不计摩擦及滑轮的质量,要 使天花板受力为零,试求人应如何运动?

图 2-13 图 2-14 例 6、如图 2-14 所示的传送皮带,其水平部分 ab ? 2 m, bc ? 4m, bc 与水平面夹角

? ? 37? ,一小物体 A 与传送皮带的动摩擦因数 ? ? 0.25 ,皮带沿图示方向运动,速率为
2m/s。若把物体 A 轻放到 a 点处,它将被皮带送到 c 点,且物体 A 一直没脱离皮带,求物体 A 从 a 点被传送到 c 点所用的时间。 例 7、一水平的浅色长传送带上放置一煤块(可视为质点) ,煤块与传送带之间的动摩擦 因数为 ? 。初始时,传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度 a0 开始运动,当 其速度达到 v0 后,便以此速度做匀速运动。经过一段时间,煤块在传送带上留下了一段黑色 痕迹后,煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。 例 8、质量为 10kg 的物体在 F=200N 的水平推力作用下,从粗糙的斜面底端由静止开始 沿斜面运动,斜面固定不动,与水平面的夹角 α=370,力 F 作用 2 秒钟后撤去,物体 在斜 面体上继续上滑了 1.25 秒钟后,速度减为零。求;物体与斜面间运动的摩擦因素 μ 和物体的 总位移 s(已知 sin370=0.6,cos370=0.8,g=10m/s2) 例 9、一个质量为 4kg 的物体静止在足够大的水平地面上,物体与地面间的动摩擦因数 μ =0.1.从 t=0 开始,物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力 F 作用,力 F 随时间 的变化规律如图 2-15 所示. 求 83 秒内物体的位移大小和力 F 对物体所做的功. g 取 l0m/s2.

图 2-15

三、典型练习题
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1、如图 2-16 所示,一小球在纸面内来回振动,当绳 OA 与 OB 拉力相等时,摆线与竖 直面夹角? 为( ) A.30° B.45° C.15° D.60° 图 2-16 2、一个质量为 m 的物体,在水平外力 F 作用下,沿水平面做 匀速直线运动,物体与水平面间的动摩擦因数为 ? ,现对该物体再施加一个力的作用,物体 的运动状态未发生改变,以下说法正确的是( ) A.不可能存在这样一个力 B.只要所加的力与原水平外力 F 大小相等,方向相反就能满足要求 C.所加外力方向应与原水平外力 F 的方向成? 角斜向下,且满足 tan ? ? ? D.所加外力方向应与原来水平外力 F 的方向成? 角斜向下,且满足 tan ? ? 1/ ? 3、 如图 2-17 所示, 两个完全相同的光滑球的质量均为 m , 放在竖直挡板和倾角为? 的 固定斜面间,若缓慢转动挡板至与斜面垂直,此过程中( ) A.A、B 两球间的弹力逐渐增大 B.B 球对挡板的压力逐渐减小 C.B 球对斜面的压力逐渐增大 D.A 球对斜面的压力逐渐增大

图 2-17 图 2-18 图 2-19 4、如图 2-18 所示,在重力场中,将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上,下端连接一 个质量为 M 的木板,木板下面再挂一个质量为 m 的不带电物体,当剪掉 m 后发现:当木板 的速率再次为零时,弹簧恰好能恢复到原长,则 M 与 m 之间的关系必定为( ) A.M> m B. M ? m C.M< m D.不能确定 5、质量不计的弹簧下端固定一小球。现手持弹簧上端使小球随手在竖直方向上以同样 大小的加速度 a(a<g)分别向上、向下做匀加速直线运动。若忽略空气阻力,弹簧的伸长 分别为 x1、x2;若空气阻力不能忽略且大小恒定,弹簧的伸长分别为 x1’、x2’。则 A x1’+x1=x2+x2’ B x1’+x1<x2+x2’ C x1’+x2’=x1+x2 D x1’+x2’<x1+x2 6、物体 A、B、C 均静止在同一水平面上,它们的质量分别为 mA 、 mB 、 mC ,得到三 个物体的加速度 a 与其所受拉力 F 的关系图线如图 2-19 所示,图中 A、B 两直线平行,则下 列由图线判断所得的关系式正确的是( ) A. ? A ? ?B ? ?C B. mA < mB < mC
12

C. mA > mB > mC

D. ? A < ?B ? ?C

7、如图 2-20,一辆有动力驱动的小车上有一水平放置的弹簧,其左端固定在小车上, 右端与一小球相连,设在某一段时间内小球与小车相对静止且弹簧处于压缩状态,若忽略小 球与小车间的摩擦力,则在此段时间内小车可能是 A.向右做加速运动 B.向右减速运动 C.向左做加速运动 D.向左做减速运动 图 2-20 8、如图2-21,一质量为M的探空气球在匀速下降,若气球所受浮力F始终保持不变,气 球在运动过程中所受阻力仅与速率有关, 重力加速度为g. 现欲使该气球以同样速率匀速上升, 则需从气球吊篮中减少的质量为 A. 2( M ?

F ) g

B. M ?

2F g
图2-21

C. 2 M ?

F g

D. 0

9、有一些问题你可能不会求解,但是你仍有可能对这些问题的解是否合理进行分析和 判断。例如从解的物理量单位,解随某些已知量变化的趋势,解在一跸特殊条件下的结果等 方面进行分析,并与预期结果、实验结论等进行比较,从而判断解的合理性或正确性。 举例如下:如图 2-22 所示。质量为 M、倾角为? 的滑块 A 放于水平地面上。把质量为 m 的 滑块 B 放在 A 的斜面上。忽略一切摩擦,有人求得 B 相对地面的加速度

M ?m g sin ? 2 a= M ? m sin ? ,式中 g 为重力加速度。
对于上述解,某同学首先分析了等号右侧量的单位,没发 现问题。他进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析 和判断, 所得结论都是 “解可能是对的” 。 但是, 其中有一 项是错误的。请你指出该项。 图 2-22 A. 当? =0 ? 时,该解给出 a=0,这符合常识,说明该解可能是对的 B. 当? =90 ? 时,该解给出 a=g,这符合实验结论,说明该解可能是对的 C. 当 M≥m 时,该解给出 a=gsin? ,这符合预期的结果,说明该解可能是对的 D. 当 m≥M 时,该解给出 a ?

g ,这符合预期的结果,说明该解可能是对的 sin ?

10、 (2010 年陕西 15)一根轻质弹簧一端固定,用大小为 F1 的力压弹簧的另一端,平 衡时长度为 l1;改用大小为 F2 的力拉弹簧,平衡时长度为 l2。弹簧的拉伸或压缩均在弹性限
13

度内,该弹簧的劲度系数为( A.

) C.

F2 ? F1 l2 ? l1

B.

F2 ? F1 l2 ? l1

F2 ? F1 l2 ? l1

D.

F2 ? F1 l2 ? l1
F1 60° 30° F2

11、 (2010 年陕西 18)如图 23 所示,一物块置于 水平地面上。 当用与水平方向成 60° 角的力 F1 拉物块时, 物块做匀速直线运动;当改用与水平方向成 30° 角的力 F2 推物块时,物块仍做匀速直线运动。若 F1 和 F2 的大 小相等,则物块与地面之间的动摩擦因数为( ) A. 3 ? 1 C. B. 2 ? 3 D.1 ?

图 2-23

3 1 ? 2 2

3 2

Q

12、 (2010 年安徽) L 型木板 P(上表面光滑) 放在固定斜面 P 上,轻质弹簧一端固定在木板上,另一端与置于木板上表面的滑 块 Q 相连,如图 24 所示。若 P、Q 一起沿斜面匀速下滑,不计 空气阻力。则木板 P 的受力个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 13、 (2010 年全国卷Ⅰ)如图 25 所示,轻弹簧上端与一质量为 m 的木块 1 相连, 下端与另一质量为 M 的木块 2 相连, 整个系统置于水 平放置的光滑木坂上,并处于静止状态。现将木板沿水平方向突然抽 出,设抽出后的瞬间,木块 1、2 的加速度大小分别为 a1、a2。重力加 速度大小为 g。则有( ) A. a1 ? 0 , a2 ? g B. a1 ? g , a2 ? g C. a1 ? 0, a2 ?

图 2-24 1

2

m?M g M

D. a1 ? g , a2 ?

m?M g M

图 2-25

14、(2010 年天津)质点做直线运动的 v-t 图像如图 26 所 v/(m· s-1) 示, 规定向右为正方向, 则该质点在前 8s 内平均速度的大小 2 和方向分别为( ) O A.0.25m/s 向右 B.0.25m/s 向左 2 C.1m/s 向右 D.1m/s 向左 -2

4

6

8 t/s

图 2-26 15、 (2010 年江苏)如图 27 所示,平直木板 AB 倾斜放置,板上的 P 点距 A 端较近,小 物块与木板间的动摩擦因数由 A 到 B 逐渐减小。先让物块从 A 由静止开始滑到 B。然后,将 A 着地,抬高 B,使木板的倾角与前一过程相同,再让物块从 B 由静 A 止开始滑到 A。 上述两过程相比较, 下列说法中一定正确的有 ( ) P A.物块经过 P 点的动能,前一过程较小 B.物块从顶端滑到 P 点的过程中因摩擦产生的热量,前一过程 较少 B C.物块滑到底端的速度,前一过程较大 D.物块从顶端滑到底端的时间,前一过程较长 图 2-27 16、 (2010 年江苏) 如图 28 所示, 置于水平地面的三脚架上固定着一质量为 m 的照相机。 三脚架的三根轻质支架等长, 与竖直方向均成 30° 角, 则每根支架中承受的压力大小为 ( )
14

A. mg C.

1 3

B. mg

3 mg 6

2 3 2 3 D. mg 9

30°

图 2-28 17、 如图 2-29 所示, 有一块木板静止在光滑且足够 长的水平面上,木板质量为 M=4kg,长为 L=1.4m;木 板右端放着一个小滑块,小滑块质量为 m=1kg,其尺寸 远小于 L。小滑块与木板之间的动摩擦因数为 ? ? 0.4 (g=10m/s2) 图 2-29 (1)现用恒力 F 作用在木板 M 上,为了使得 m 能从 M 上面滑落下来,问:F 大小的范围是什么? (2)其它条件不变,若恒力 F=22.8N,且始终作用在 M 上,最终使得 m 能从 M 上面滑 落下来,问:m 在 M 上面滑动的时间是多大? 18、 (2010 年重庆,25,19 分)某兴趣小组用如图 30 所示的装置进行实验研究。他们 在水平桌面上固定一内径为 d 的圆柱形玻璃杯, 杯口上放置一直径为 d , 质量为 m 的匀质 薄圆板,板上放一质量为 2m 的小物体。板中心、物块均在杯的轴线上,物块与板间动摩擦 因数为 μ,不计板与杯口之间的摩擦力,重力加速度为 g,不考虑板翻转。 (1) 对板施加指向圆心的水平外力 F, 设物块与板间 最大静摩擦力为 f max ,若物块能在板上滑动,求 F 应满 2m F 足的条件。 (2) 如果对板施加的指向圆心的水平外力是作用时间 d 极短的较大冲击力,冲量为 I , ①I 应满足什么条件才能使物块从板上掉下? ②物块从开始运动到掉下时的位移 s 为多少? 图 2-30 ③根据 s 与 I 的关系式说明要使 s 更小,冲量应如何改变 典型练习参考答案:1C ,2D ,3B, 4B ,5C ,6D ,7AB,8 A,9D,10C, 11B, 13C, 14D, 15D,16D, 17,(1)F﹥20N (2) t=2s , 12C

3 2

15

第三讲 圆周运动及万有引力
一、内容提要
(一)表征圆周运动的物理量 1.线速度: v ?

?s ?t ?? ?t

矢量

2.角速度:? ?

3.加速度 a 矢量 (1)向心加速度 a n ? 速圆周运动切向加速度为零 4.周期、频率

v2 , (2)切向加速度: a? ? r

? F? ,匀
m

5.匀速圆周运动的 v、T、r、ω 的关系: v ?

2? r 2? ,? ? , v ? r? T T

? F提供 ? F需要,向心运动 v2 ? ? F需要,圆周运动 (二)动力学表达式: F向 ? m an ? m , ?F r ? 提供 ? F提供 ? F需要,离心运动
(三)圆周运动公式应用及临界问题 1.皮带传动问题 2.汽车、火车、自行车转弯问题 3.竖直平面临界问题——(绳、杆、桥) (四)万有引力定律: F ?

Gm1 m 2 r2
GMm , (r≥R) r2

1.重力加速度:重力加速度大小随高度和纬度的变化 2.均匀球壳内外的引力公式: F ? 0 , (r<R)

F?

3.匀球体内外的引力公式: F ?

Gm 4 3 GMm ( π r ?) ? r , (r<R) , 2 r 3 R3

F?

GMm r2

, (r≥R)

(五) 、引力势能(以无穷远为零势能点)
16

1. 均匀球壳内外的引力势能公式:E P ? ?

GMm G M m , (r<R) ;E P ? ? R r

, (r≥R) ;

2.均匀球体外的引力势能公式: E P ? ? (六)开普勒定律 (七)万有引力定律在天文学中的应用 1.人造地球卫星,同步卫星

GMm , (r≥R) r

2. 宇宙速度: 第一宇宙速度(环绕速度) v1 ? 度 ) v2 ?

第二宇宙速度(脱离速 gR地 =7.9km/s,

2GM ? 11 .2 km/s,第三宇宙速度(逃逸速度)v3=16.7km/s R地

3.中心天体的质量及平均密度的计算 4.双星及变轨问题

二、练习题
1.如图 3-1 所示,为一种“滚轮——平盘无极变速器”的示意图,它由固定于主动轴上 的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成.由于摩擦的作用,当平盘转动时,滚轮就会跟 随转动,如果认为滚轮不会打滑,那么主动轴的转速 n1、从动轴的转 速 n2、滚轮半径 r 以及滚轮中心到主动轴轴线的距离 x 之间的关系是 A. n2 ? n1

x r

B. n1 ? n2

x r

C. n2 ? n1

x2 r2

D. n2 ? n1

x r

图 3-1

2.如图 3-2 所示,在匀速转动的水平盘上,沿半径方向放着用细线相连的质量相等的 两个物体 A 和 B,它们与盘间的动摩擦因数相同.当盘转动到两个物体 刚好还未发生滑动时,烧断细线,则两个物体的运动情况是 A.两物体均沿切线方向滑动 B.两物体均沿半径方向滑动,离圆盘圆心越来越远 C.两物体仍随圆盘一起做圆周运动,不发生滑动 D.物体 B 仍随圆盘一起做匀速圆周运动,物体 A 发生滑动,离圆 图 3-2 盘圆心越来越远 3.如图 3-3 所示,如图 3-3 所示,一小球质量为 m,用长为 L 的轻绳固定于 O 点,在 O 点的正下方 2L/3 处钉有一颗钉子. 将轻绳沿水平方向拉直无初速释放后, 当轻绳碰到钉子后 的瞬间,下列说法正确的是: A.小球的速度大小不变 B.小球的角速度大小突然增大到原来的 3/2 倍 C.小球的向心加速度大小突然增大到原来的 3 倍
17

图 3-3

D.轻绳对小球拉力大小突然增大到原来的 3 倍 4.用 2m 长的线吊一个小球,线的另一端固定于 O 点.让小球从线水平伸直时由静止 开始运动.求: (1)小球在竖直方向落下 1 米时的切向加速度,向心加速度,合加速度; (2)何处小球的竖直速度最大?(g=10m/s2) 5.如图 3-4 所示,小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳的一端,绳的另一端系有 质量为 m=300g 的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点 时, 绳突然断掉, 球飞行的水平距离 x=1m 后落地。 已知握绳的手离地面的高度为 d=1m,手 与球之间的绳长为 L=0.75m,重力加速度为 g=10m/s2。忽略手的运动半径和空气阻力。 (1)求绳断时球的速度大小 v1 和球落地时的速度大小 v2 (2)问绳能承受的最大拉力多大? (3)改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水 平距离最大,绳长应为多少?水平距离为多少?

A

B

图 3-5 图 3-6 图 3-4 6.如图 3-5 所示,光滑水平面上钉有两枚铁钉 A 和 B,它们相距 0.1m.长 1m 的柔软的 细绳一端拴在 A 上,另一端系一质量为 0.5kg 的小球,小球的初始位置在 AB 连线上 A 的一 侧, 把细线拉紧, 给小球以 2m/s 的垂直细线方向的水平速度使它做匀速圆周运动, 由于钉子 B 的存在,使细线慢慢的缠在 A、B 上.则:(π =3.14) (1)如果细线不会断裂,从小球开始运动到细线完全缠绕在 A、B 上需要多少时间? (2)如果细线的抗拉断的拉力为 7N,从小球开始运动到细线断裂需要多少时间? 7. 如图 3-6 所示, M 为放在光滑桌面上的异形木块, abcd 为半径为 R 的 3/4 圆周的光滑 轨道,a 为轨道最高点,de 面水平且与圆心等高,今将质量为 m 的小球在 d 点的正上方高为 h 处由静止释放,使其自由下落到 d 处后,又切入圆轨道运动,最后从 a 点飞出.求: (1)小球通过 c 点时对木块的压力 (2)小球能通过最高点 a 的条件 (3)能否通过改变 h 的大小,使小球在通过 a 点之后落回圆轨道之内 8.将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力,图 3-7 甲表示小滑块(可 视为质点)沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面上的点 A、A? 之间来回滑动. 点 A、A? 与 点 O 连线与竖直方向之间夹角相等且都为 θ,均小于 10°,图 3-7 乙表示滑块对器壁的压力 F 随时间 t 变化的曲线,且图中 t=0 为滑块从 A 点开始运动的时刻.试根据力学规律和题中 (包括图中)所给信息,求小滑块的质量、容器的半径及滑块运动过程中的守恒量.(g 取 10 m /s2) 9. 如图 3-8 所示, 质量为 M=2kg 的滑块 B 套在光滑的水平杆上可自由滑动, 质量为 m=1kg 的小球 A 用一长为 L=0.5m 的轻质细杆与 B 上的 O 点相连接, 轻杆可绕 O 点在竖直平面内自 由转动.轻杆开始时处于水平位置。 (g 取 10m/s2) (1)若固定滑块 B,给小球 A 一竖直向上的初速度 v0=4m/s,当小球到达最高点时,求小
18

球的速度多大?小球对杆的作用力的大小和方向? (2)若不固定滑块且给小球 A 一竖直向上的初速度 v0=4m/s,则当小球到达最高点时, B 的速度多大?杆受到多大的力?

图 3-7

图 3-8

10. 如图 3-9 所示, 升降机内悬挂一圆锥摆, 摆线长 1m, 小球质量 0.5kg, 当升降机以 2m/s2 的加速度匀加速上升时,摆线恰与竖直方向成? ? 37? 角.求小球的转速及摆线的拉力.(g=10m/s2) 图 3-9 11.一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段可以看成圆周运动的一 部分。即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图 3-10(a)所示,曲线上 A 点的曲率圆定义为:通过 A 点和曲 线上紧邻 A 点两侧的两点作一圆,在极限情况下,这个圆就叫 A 点的曲率圆,其半径 ρ 就叫做 A 点的曲率半径。现将一物体 沿与水平方向成 α 角的方向以速度 v0 抛出,如图 3-10(b)所 图 3-10(a) 示。则在其轨迹最高点 P 处的曲率半径是 A.
2 v0 g 2 v0 cos 2 ? g

B.

2 v0 sin 2 ? g 2 v0 cos 2 ? g sin ?

C.

D.

图 3-10(b)

12.同步卫星离地心距离为 r,运行速度为 v1,加速度为 a1;地球赤道上的物体随地球 自传的向心加速度为 a2; 第一宇宙速度为 v2, 地球半径为 R. 则下列比值正确的是: ( ) A.

a1 r ? a2 R

B.

a1 R ? ( )2 a2 r

C.

v1 r ? v2 R

D.

v1 ? v2

R r

13. “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中,设探测器运行的轨道半径为 r,运 行速率为 v,当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 A.r、v 都将略为减小 B.r、v 都将保持不变 C.r 将略为减小,v 将略为增大 D.r 将略为增大,v 将略为减小 14.晴天晚上,人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内.一个可看成 漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面,卫星自西向东运动.春分期间太阳垂直射
19

向赤道, 赤道上某处的人在日落后 8h 时在西边的地平线附近恰能看到它, 之后极快地变暗而 6 看不到了.已知地球的半径 R 地=6.4×10 m,地面上的重力加速度为 10m/s2,估算:(答案 要求精确到两位有效数字) (1)卫星轨道离地面的高度;(2)卫星的速度大小 15.A 为宇宙中一个恒星系的一颗行星,它绕中央恒星 O 运行轨道近似为圆,天文学家 观测得到 A 行星运动的轨道半径为 R0,周期为 T0.求: (1)中央恒星 O 的质量 (2)长期观测发现, A 行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些 偏离,且周期性地每隔 t0 时间发生一次最大的偏离,天文学家认为形成这种现象的原因可能 是 A 行星外侧还存在着一颗未知的行星 B(假设其运行轨道与 A 在同一平面内,且与 A 的绕 行方向相同),它对 A 行星的万有引力引起 A 轨道的偏离.根据上述现象及假设,你能对未 知行星 B 的运动得到哪些定量的预测? 16.宇航员在一个行星上以速度 v0 竖直上抛一质量为 m 的物体,不计空气阻力,经 t 秒 后落回手中,已知星球的半径为 R.求: (1) 要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面, 求沿星球表面抛出的速度至少为多少? (2)要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面.在星球表面抛出的速度至少多大? 17.某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过 N 年,该行星会运行日地连线的 延长线上。该行星与地球的公转半径之比为

? N ?1 ?3 A. ? ? ? N ?

2

? N ?3 B. ? ? ? N ?1 ?

2

? N ?1 ?2 C. ? ? ? N ?

3

? N ?2 D. ? ? ? N ?1 ?

3

18.飞船沿半径为 R 的圆周绕地球运动,其周期为 T0,如果要飞船返回地面,可在轨道 上某一点 A 处,将速率降低到适当数值,从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道上运行, 椭圆与地球表面在 B 点相切,如图 3-11 所示.已知地球半径为 R0;求飞船由 A 点到 B 点所 需的时间. 19.如图 3-12 所示,质量为 m 的飞行器在绕地球的圆轨道上运行,半径为 r1,要进入 半径为 r2 的更高的圆轨道Ⅱ,必须先加速进入一个椭圆轨道Ⅲ,然后再进入圆轨道Ⅱ.已知 飞行器在圆轨道Ⅱ上运动速度大小为 v,在 A 点时通过发动机向后喷出一定质量气体使飞行 器速度增加到 v2,进入椭圆轨道Ⅲ,设喷出的气体的速度为 v3,求: (1)飞行器在轨道Ⅰ上的速度 v1 及轨道Ⅰ处的重力加速度; (2)飞行器喷出气体的质量.

图 3-11

图 3-12
20

图 3-13

20.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双 星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了 LMCX-3 双星系统,它 由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成,如图 3-13 所示.两星视为质点,不考虑其它天体的影 响, A、 B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动, 它们之间的距离保持不变, 如图所示. 引 力常量为 G,由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T. (1)可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m? 的星体(视为质点) 对它的引力,设 A 和 B 的质量分别为 m1、m2,试求 m? (用 m1、m2 表示) ; (2)求暗星 B 的质量 m2 与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1 之间的关系式; (3)恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量 ms 的 2 倍,它将有可能成为黑洞.若可 见星 A 的速率 v=2.7×105m/s, 运行周期 T=4.7π ×104s, 质量 m1=6ms, 试通过估算来判断 -11 2 2 30 暗星 B 有可能是黑洞吗?(G=6.67×10 N·m /kg ,ms=2.0×10 kg)

21.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行.为了获得月球月 球表面全貌的信息,让卫星轨道平面缓慢变化,卫星将获得的信息持续用微波信号发回地 球.设地球和月球的质量分别为 M 和 m,地球和月球的半径分别为 R 和 R1,月球绕地球的 轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为 r 和 r1,月球绕地球的周期为 T.假定在卫星绕月 运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面.求在该周期内卫星发射的微波信号因月 球遮挡而不能到达地球的时间(用 M、m、R、R1、r、r1 和 T 表示,忽略月球月球绕地球转 动对遮挡时间的影响) .

22.如图 3-14 所示,P、Q 为某地区水平地面上的两点,在 P 点正下方一球形区域内储 藏有石油, 假定区域周围岩石均匀分布, 密度为 ρ; 石油密度远小于 ρ, 可将上述球形区域视 为空腔.如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向,当存在空腔时, 该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离. 重力加速度在原坚直方向 (即 PO 方向) 上的投影相对于正常值的偏离叫做 “重力加速度反常” . 为了探寻石油区域的位置和石 油储量,常利用 P 点附近重力加速度反常现象,已知引力常数为 G. (1)设球形空腔体积为 V,球心深度为 d(远小于地球半径) ,PQ=x,求空腔所引起的 Q 点处的重力加速度反常. (2)若在水平地面上半径 L 的范围内发现:重力加速度反 常值在 δ 与 kδ(k>1)之间变化,且重力加速度反常的最大值出 现在半为 L 的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一 球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.

图 3-14
21

三、参考答案
1.A , 2.D , 3. AC 4 . a? ? 5 3 m/s2 , an ? 10 m/s2,

a ? 5 7 m/s2,

? ? arcsin
2 3 m 3

3 3

5.(1) v1 ? 2 5 m/s, v2 ? 5 m/s;(2) Tm=11N, (3)L=0.5m 时, xm ? 6.8.6s,8.2s 7. (1 ) N ? m g?1 ?

? ?

MR 2( M ? m)(h ? R) ? (2 ) h ? (3 )不可能 ?R, ?, MR 2(M ? m) ?
?4

8. m ? 0.05kg , R ? 0.1m , E ? 5 ?10 J 9. (1) v ? 6 m/ s , FN ? 2 N ,竖直向上; (2) v1 ? 2m/ s , FN1 ? 8 N ,竖直向上 10.7.5N,

15 r/s 2?
13.C , 14. 6.4× 106m ,5.7× 103m/s,

11.C 12.AD ,

3 t0 T0 t 0 4? 2 R0 )2 , 15. M ? ,TB ? , R B ? R0 3 ( 2 t 0 ? T0 t 0 ? T0 GT0

16. 17.B

2v0 R vR ,2 0 t t

18 .

T 4 2

(

R ? R0 3 ) , 19 . v1 ? R

r2 r 2 v , g? ? 2 v , ?m ? m r1 r12 v 2 ? v3

v2 ?

r2 v r1

3 3 20. m? ? m2 / (m1 ? m2 )2 , m? ? m2 / (m1 ? m2 )2 ? v3T / 2? G ,暗星 B 有可能是黑洞.

21. t ?

T

?

Mr13 ? R ? R1 R ? arccos ? arccos 1 ? 3 ? mr ? r r1 ?

22. (1) ?g ? ?

G ?Vd L L2 k? (2) d ? ,V ( d 2 ? x 2 )3 2 G ? (k 2 3 ? 1) k 2 3 ?1

22

第四讲
一、内容提要

机械能

1.功W ? Fs cos ? 公式对恒力作用下物体的运动适用,且是在同一惯性系内对物体进行研究。 (1)物体视为质点时,s 为物体运动的位移,物体不能视为质点时,s 为受力部分(作用 点)随力发生的位移。 (2) 一对作用力和反作用力做功之和, 在力的方向上无相对位移时, 做功和为零; 如相 对力方向上有位移时,它们做功和为:W ? Fs相 (3)变力做功:算术平均法、图象法、微元法 、等效法。 2.功率: P ?

W t

P ? FV

P ? Fv cos ?

3.动能定理 (1)对单个物体:W ? E K 2 ? E K1 (2)对物体系:W外 ? W内 ? EK 2 ? EK1 4.势能:每种保守力对应一种由相对位置决定的势能。 (1)重力势能: E P ? mgh 常以地面为零势能位置 (2)弹性势能: E P ?

1 2 kx 2 Mm r

常以原长为零势能位置

(3)引力势能: E P ? ?G

常以无穷远为零势能位置

5.机械能守恒定律: 除系统内的保守力做功外,其它力不做功,则系统总的机械能保持不变。

二、练习题
1. 一辆汽车的质量是 5×103 kg, 发动机的额定功率为 60 kW,汽车所受阻力恒为 5 000 N, 如果汽车从静止开始以 0. 5 m/s2 的加速度做匀加速直线运动,功率达到最大后又以额定功率 运动了一段距离后汽车达到了最大速度,在整个过程中,汽车运动了 125 m.问在这个过程 中,汽车发动机的牵引力做功多少? 下面是甲、乙两位同学的解法: 甲同学: t ?

2s 2 ? 125 ? s ? 22.36s a 0.5

W=Pt=6×104×22.36 J =1. 34×106 J. 乙同学:F=ma+f=7500 N. W=Fs=7 500×125 J =9. 375×105 J. 请对上述两位同学的解法做出评价,若都不同意请给出你的解法.
23

2.一辆汽车,质量为 m ? 5.0t ,发动机的额定功率 P ? 75kw ,汽车在运行过程中受 到的阻力是车重的 0.05 倍。 若汽车从静止开始沿水平路面以加速度 a ? 1.0m/s 匀加速起动,
2

达到额定功率后以额定功率运行, 再经 50s 汽车达到最大速度, 求全过程发动机做了多少功? 汽车总共前进了多远? 3. 马拉着质量为 60kg 的雪橇, 从静止开始用 80s 的时间沿平直冰面跑完 1.0km。 设雪橇 在运动过程中受到的阻力保持不变,并且他在开始运动的 8.0s 时间内做匀加速直线运动,从 第 8.0s 末开始,马拉雪橇做功的功率值保持不变,继续做直线运动,最后一段时间雪橇做的 是匀速运动,速度大小为 15m/s。求在这 80s 的运动过程中马拉雪橇做功的平均功率,以及 雪橇在运动过程中所受阻力的大小 4.2011 年 1 月 11 日, 重庆至北京首次开行动车组, 全程不到 16 小时, 实现夕发朝至. 把 动力装置分散安装在每节车厢上,使其既具有牵引动力,又可以载客,这样的客车车辆叫做 动车.而动车组就是几节自带动力的车辆(动车)加几节不带动力的车辆(也叫拖车)编成 一组,就是动车组.假设动车组在平直道路上运行过程中受到的阻力与其所受重力成正比, 每节动车与拖车的质量均为 m,每节动车的额定功率均为 P.若 1 节动车加 1 节拖车编成的 动车组在平直道路上的最大速度为 240 km/h,现有一列动车组由 5 节动车加 3 节拖车编成. (1)该动车组在平直道路上的最大速度为多少? (2)若该动车组以恒定加速度加速,通过某段 50 m 的距离所用时间为 10 s,通过下一个 50 m 距离所用时间为 6 s,则动车组的加速度大小为多少? (3) 若该动车组以额定功率加速, 在 t = 180 s 内速度由 v0 = 20 m/s 提升至 vt = 80 m/s. 已知 动车组行驶时与平直路面的摩擦因数 μ = 0.1,求列车在这 180 s 内的位移大小为多少?( g 取 10 m/s2) 5.在光滑的水平面上有一静止的物体。现以水平恒力甲推这一物体,作用一段时间后, 换成相反方向的水平恒力乙推这一物体。当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时,物体 恰好回到原处,此时物体的动能为 32J,则在整个过程中,恒力甲和乙分别做了多少功? 6.节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车。有一质量 m=1000kg 的混合动力轿车,在平直公路上以 v1 ? 90km/h 匀速行驶,发动机的输出功率为

P ? 50kW 。当驾驶员看到前方有 80km/h 的限速标志时,保持发动机功率不变,立即启动
利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电, 使轿车做减速运动, 运动 L=72m 后, 速度变为

1 4 v2 ? 72km/h 。此过程中发动机功率的 用于轿车的牵引, 用于供给发电机工作,发动 5 5
机输送给发电机的能量最后有 50%转化为电池的电能。 假设轿车在上述运动过程中所受阻力 保持不变。求 (1).轿车以 90km/h 在平直公路上匀速行驶时,所受阻力 F阻 的大小;

24

(2).轿车从 90km/h 减速到 72km/h 过程中,获得的电能 E电 ; (3).轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能 E电 维持 72km/h 匀速运动的距离 L? 。

7.一固定的斜面,倾角? ? 45 ,斜面 L=2.00m。在斜面下端有一与斜面垂直的挡板。
0

一质量为 m 质点,从斜面的最高点沿斜面下滑,初速度为零。质点沿斜面下滑到最低端与挡 板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的滑动摩擦系数 ? ? 0.20 。试求 (1)此质点从开始运动到与挡板发生第 11 次碰撞的过程中运动的总路程。 (2)此质点从开始运动到最后停下的总路程。

8.如图 5-1 所示,一质量为 m 的滑块从高为 h 的光滑圆弧形槽的顶端 A 处无初速度地 滑下, 槽的底端 B 与水平传 A 带相接, 传送带的 运行速度为 v0,长为 L,滑块滑到传送带上后做 匀加速运动,滑到传送带右端 C 时,恰好被加速 到与传送带的速度相同.求: (1)滑块到达底端 B 时的速度 v; (2)滑块与传送带间的动摩擦因数 ? ; (3)此过程中,由于克服摩擦力做功而产生的 热量 Q. 图 5-1

9.如图 5-2 所示,AB 为斜轨道,与水平方向成 45°角,BC 为水平轨道,两轨道在 B 处 通过一段小圆弧相连接,一质量为 m 的小物块,自轨道 AB 的 A 处从静止开始沿轨道下滑, 最后停在轨道上的 C 点,已知 A 点高 h,物块与轨道间的滑动摩擦系数为 ? ,求: (1) (2) (3) 在整个滑动过程中摩擦力所做的功. 物块沿轨道 AB 段滑动时间 t1 与沿轨道 BC 段滑动时间 t2 之比值 t1/ t2. 使物块匀速地、缓慢地沿原路回到 A 点所需做的功.

10. 图 5-3 为传送带装置示意图, 其中传送带经过 AB 区域时是水平的, 经过 BC 区域时 变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成,未画出) ,经过 CD 区域时是倾斜的,AB 和 CD 都与 BC 相切。 现将大量的质量均为 m 的小货箱一个一个在 A 处放到传送带上, 放置时初速为零, 经 传送带送到 D 处,D 和 A 的高度差为 h。稳定工作时传送带速度不变,CD 段上各箱等距排 列,相邻两箱的距离为 L。每个箱子在 A 处投放后,在到达 B 之前已经相对于传送带静止, 且以后也不再滑动 (忽略经 BC 段时微小滑动) 。 已知在一段相当长的时间 T 内, 共运送小货 箱的数目为 N。这装置由电动机带动,传送带与轮子间无相对滑动,不计轮轴处的摩擦。求
25

电动机的平均输出功率 P。

图 图 5-2 图 5-3

11.如图 5-4 所示,光滑的水平桌面离地的高度为 2L,在桌面的边缘,有一根长为 L 的 均质铁链,一半在桌面上,一半自然地悬垂。现将铁链无初速释放,求其下端触地前一瞬的 速度。

图 图 5-4

图 5-5

12.一个质量为 m=0. 20 kg 的小球系于轻质弹簧的一端,且套在光竖直的圆环上,弹簧固 定于环的最高点 A,环的半径 R=0. 50 m,弹簧原长 L0 = 0. 50 m,劲度系数为 4.8 N/m,如图 5-5 所示, 若小球从图示位置 B 点由静止开始滑到最低点 C 时, 弹簧的弹性势能 E弹 =0. 60J; 求: (1)小球到 C 点时的速度 vC 的大小. (2)小球在 C 点时对环的作用力(g=10 m/S2).

13.如图 5-6 所示,位于竖直平面内的光滑轨道,由一段斜的直轨道的与之相切的圆形 轨道连接而成,圆形轨道的半径为 R。一质量为 m 的小物 块从斜轨道上某处由静止开始下滑, 然后沿圆形轨道运动。 要求物块能通过圆形轨道的最高点,且在该最高点与轨道 间的压力不能超过 5mg(g 为重力加速度) 。 求物块初始位 置相对于圆形轨道底部的高度 h 的取值范围。 图 5-6
26

m

h

R

14.某兴趣小组设计了如图 5-7 所示的玩具轨道,其中“2008”四个等高数字用内壁光滑 的薄壁细圆管弯成, 固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成, 圆半径比细管的内径大 得多),底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体(可视为质点)以 v0 =5m/s 的水平初速度 由 a 点弹出, 从 b 点进入轨道, 依次经过“8002”后从 p 点水平抛出。 小物体与地面 ab 段间的 动摩擦因数 ? =0.3,不计其它机械能损失。已知 ab 段长 L=l.5m,数字“0”的半径 R=0.2m,小 物体质量 m=0.0lkg,g=10m/s2。求: (1)小物体从 p 点抛出后的水平射程。 (2)小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。 15.如图 5-8 所示,长为 l 的细线一端固定在 O 点,另一端拴一小球,O 点的正下方 P 点有一钉子。现将细线拉至水平位置让小球由静止释放,要使小球能最高点 C,则 OP 之间 的距离 h 应为多少? 16.如图 5-9,小球在光滑轨道上自 A 点由静止开始沿 ABCD 路径运动,其中半径为 R 的 环形路径上部正中央有一段缺口 CD,该缺口所对的圆心角为 2? 。问? 为何值时,小球完 成沿 ABCD 路径运动所需的离水平面的高度 h 为最小?且 h 的最小值为多少?

图 5-7 图 5-8 17.如图 5-10 所示,质量为 M 圆环用细线悬挂,圆环上串有两个质量均为 m 的小球, 两小球自圆环顶端从静止开始同时向两边滑下,设圆环光滑。 (1)在圆环不动的条件下,求出悬线张力 T 随? 的变化规律。 (2)小球与圆环质量比 m/M 至少为多大时圆环才可能上升?

图 5-9

图 5-10

图 5-11

18.如图 5-11 所示,在一个半径为 R 的半圆形光滑固定轨道边缘,装着一个定滑轮,两 边用细绳系着两个质量分别为 m1、m2 的物体(m1>m2),轻轻释放后,m1 从轨道边缘沿圆弧滑 至最低点时速度多大?

27

19.如图 5-12 所示,一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮 O1、O2 和质量 mB=m 的小球 连接,另一端与套在光滑直杆上质量 mA=m 的小物块连接, 已知直杆两端固定,与两定滑轮在同一竖直平面内,与水平 C 面的夹角 θ=60°, 直杆上 C 点与两定滑轮均在同一高度, C O2 O1 m 点到定滑轮 O1 的距离为 L, 重力加速度为 g, 设直杆足够长, A 小球运动过程中不会与其他物体相碰. 现将小物块从 C 点由 静止释放,试求: (1)小球下降到最低点时,小物块的机械能(取 C 点所 m 在的水平面为参考平面) ; B (2)小物块能下滑的最大距离; 图 5-12 (3)小物块在下滑距离为 L 时的速度大小. θ 20.如图 5-13 所示,在一根长为 L 的轻杆上的 B 点和末端 C 各固定一个质量为 m 的小 球, 杆可以在竖直面上绕定点 A 转动, 现将杆拉到水平位置后从静止释放, 求末端 C 摆到最低点时速度的大小(AB=2L/3.,杆的质量与摩擦的不计) 。

图 5-13 21. 如图 5-14 所示, 轻杆长为 3L, 在杆的 A、 B 两端分别固定质量均为 m 的球 A 和球 B, 杆上距球 A 为 L 处的点 O 装在光滑的水平转动轴上,杆和球在竖直面内转动,已知球 B 运 动到最高点时,球 B 对杆恰好无作用力.求: (1)球 B 在最高点时,杆对水平轴的作用力大小. (2 球 B 转到最低点时, 球 A 和球 B 对杆的作用力分别是多大?方向 如何?

图 5-14 22. 如图 5-15 所示, 质量分别为 2m 和 3m 的 A、 B 两个小球固定在一根直角尺的两端 A、 B,直角尺的顶点 O 处有光滑的固定转动轴。AO、BO 的长分别为 2L 和 L。开始时直角尺的 AO 部分处于水平位置而 B 在 O 的正下方。让该系统由静止开始自由转动,求: (1)当 A 到达最低点时,A 小球的速度大小 v; (2)B 球能上升的最大高度 h; (3)开始转动后 B 球可能达到的最大速度 vm。

图 5-15
28

23.如图 5-16 所示,半径为 r、质量不计的圆盘盘面与地面相垂直,圆心处有一个重直 盘面的光滑水平固定轴 O, 在盘的最右边缘固定一个质量为 m 的小球 A, 在 O 点的正下方离 O点

r 处固定一个质量也为 m 的小球 B,放开盘让其自由转动。问: 2

(1)当 A 球转到最低点时,两小球的重力势能之和减少了多少? (2)A 球转到最低点时的线速度是多少? (3) 在转动过程中半径 OA 向左偏离竖直方向的最大角度是 多少?

图 5-16

24.如图 5-17 所示,在水平面上置有一立方体木块,木块支承一轻杆,杆的一端固定有 一重球,另一端用铰链连于地面上的 O 点。杆与水平地面的夹角为? 。若杆长为 l,立方体 边长为 l ,重球的半径比 l 小很多,重球与立方体等质量,且不计一切摩擦,系统由静止 开始运动,开始时? =? 1=60°,求当? =? 2=30°,木块的速度为多大?

1 4

图 5-17

29

三、参考答案 1、W ?

1 2 mv ? fs ? 9.85 ? 105 J 2
f ? 48.2N
3

2、 4.5 ?10 J ,1700m
6

3、 P ? 687W 5、 8J,24J

4、(1) v2m=300km/h, (2) a ? 0.42m/s 2 ,(3) s = 12km
4

6、(1) 2 ?10 N (2) 6.3 ?10 J (3) 31.5m

7、 (1)9.86m, (2)10m

1 mgh ? m2 v 2 , v ? 2 gh 8、 2
9、 (1)mgh,
_

v ? 2 gh ?? 0 2 gL
(3)2mgh

2

m(v0 ? 2 gh) 2 Q? 2

(2)

t1 a2 2? ? ? t 2 a1 1? ?
11 、

Nm N 2 L2 ( 2 ? gh) 10 、 P ? T T
13、

11gL 2
F=0.3N

12 、vC=3 m/s. N ? ? ? N ? ?3.2 N

5 R≤h≤5R 2

14、s=0.8m

方向竖直向下

15、 h ?

3 l 5

16、? ? 45 , hmin ? (1 ? 2) R 17、 (1) T ? Mg ? 2mg (3cos
2

(2) ? ? 2cos? ) ,

m 3 ? M 2

2 18、

(m1 ? 2m2 ) gR 2m1 ? m2

19、E1 ? mB g (L ? L sin ? ) ? mgL(1 ? 3 / 2) sm ? 4(1 ? 3) L 20、 vc ?

v?

20 3 gL 5

30 gL 13

21、 FA ? 1.5mg ,

?

F2 ? 3.6mg

22、 (1) v ?

8 gL 4 gL , (2)? ? 16 , (3) vm ? 11 11
3 gr , (3) arcsin 5 5

23、 (1) mgr , (2) 2

1 2

24、

( 3 ? 1) gl 2

30

第五讲 力学综合

一、几种运动形式 1.直线运动(匀速、匀变速、变加速直线运动) 2.平抛运动(抛体运动) 3.匀速圆周运动(变速圆周运动) 4.简谐运动 5.机械波 二、解决力学问题的三大规律 1.牛顿运动定律 2.动量定理和动量守恒定律(选修 3-5 模块学习) 3.动能定理和机械能守恒定律

高考题精选 1.甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现:甲经短距离加速后能保持 9m/s 的速度 跑完全程;乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机,需在接力区前 适当的位置设置标记。在某次练习中,甲在接力区前 s0=13.5m 处作了标记,并以 v=9m/s 的 速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑,并恰好在速度达 到与甲相同时被甲追上,完成交接棒。已知接力区的长度为 L=20m。求: (1)此次练习中乙在接棒前的加速度 a; (2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。

2.如图 7-1 所示直升机沿水平方向匀速飞往水源取水灭火,悬挂着 m=500kg 空箱的悬 0 索与竖直方向的夹角 θ1=45 。直升机取水后飞 往火场,加速度沿水平方向,大小稳定在 0 a=1.5m/s2 时,悬索与竖直方向的夹角 θ2=14 。 如果空气阻力大小不变,且忽略悬索的质量,试 求水箱中水的质量 M。 (取重力加速度 g=10 m/s2; 0 0 sin14 =0.242;cos14 =0.970。 ) 图 7-1 3. 质量 m=1.5kg 的物块(可视为质点)在水平恒力 F 作用下, 从水平面上 A 点由静止开始 运动, 运动一段距离撤去该力, 物块继续滑行 t=2.0s 停在 B 点, 已知 A、 B 两点间的距离 s=5.0m, 2 物块与水平面间的动摩擦因数 μ=0.20,求恒力 F 多大?(g=10 m/s )。
31

4.如图 7-2 所示,用半径 R=0.5m 的电动滚轮在长薄铁板的上表面压轧一道浅槽。薄铁 板的长为 L=4.8m、质量为 m=10kg。已知滚轮与铁板、铁板与工作台面间的动摩擦因数分别 为 μ1=0.3 和 μ2=0.1。铁板从一端放入工作台的滚轮下,工作时滚轮对铁板产生恒定的竖直 向下的压力为 N1=150N,在滚轮的摩擦作用下铁板由静 止向前运动并被压轧出一浅槽。已知滚轮转动的角速度恒 为 ω=8 rad/s,g=10m/s2。求: (1)铁板进入滚轮下方后的加速度; (2)加工一块铁板需要的时间; (3)加工一块铁板电动机要消耗多少电能?(不考虑 电动机自身的能耗) 图 7-2

5.在勇气号火星探测器着陆的最后阶段,着陆器降落到火星表面上,再经过多次弹跳 才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后,到达最高点时高度为 h,速度方向是水 平的,速度大小为 v0,求它第二次落到火星表面时速度的大小。计算时不计火星大气阻力。 已知火星的一个卫星的轨道的半径为 r,周期为 T,火星可视为半径为 r0 的均匀球体。

6.某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者,他用天文望远镜观察被太阳光 照射的此卫星。试问,春分那天(太阳光直射赤道)在日落后 12 小时内有多长时间该观察者看 不见此卫星?已知地球半径为 R, 地球表面处的重力加速度为 g, 地球自转周期为 T, 不考虑 大气对光的折射。

7. 如图 7-3 所示, 半径为 R、 圆心为 O 的大圆环固定在竖直平面内, 两个轻质小圆环套 在大圆环上。一根轻质长绳穿过两个小圆环,它的两端都系上质 量为 m 的重物,忽略小圆环的大小。 (1)将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧 θ=30° 的位置上。在两个小环间绳子的中点 C 处,挂上一个质量

M ? 2 m 的重物,使两个小圆环间的绳子水平,然后无初速释 放重物 M。 设绳子与大、 小圆环间的摩擦均可忽略, 求重物 M 下 降的最大距离。 (2)若不挂重物 M,小圆环可以在大圆环上自由移动,且 绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略,问两 个小圆环分别在哪些位置时,系统可处于平衡状态?

图 7-3

32

8. 如图 7-4 所示, 固定在水平桌面上的倾角为 α=30° 的光滑斜面足够长, 其底端有一垂 直于斜面的挡板, 质量均为 m 的 A、 B 两球用轻弹簧 连接放在斜面上,且处于静止状态,弹簧的劲度系数 为 k。现在将质量为 3m 的小球 C 从距离 B 球为 s=16mg/k 的地方由静止释放, C 球与 B 球碰撞的时间 极短, 碰撞后两球粘连在一起。 已知重力加速度为 g, 求: (1)碰撞刚结束时 B、C 两球的共同速度; 图 7-4 (2) 当 A 球刚离开挡板时, B 球与它最初的位置 相距多远; (3)当 A 球刚离开档板时,B、C 两球的共同速度。 9.如图 7-5,质量 m ? 2kg 的物体静止于水平地面的 A 处,A、B 间距 L=20m。用大小

0.8 , 为 30N,沿水平方向的外力拉此物体,经 t0 ? 2s 拉至 B 处。(已知 cos37 ? ? sin 37? ? 0.6 。取 g ? 10m / s 2 )
(1)求物体与地面间的动摩擦因数μ; (2)用大小为30N,与水平方向成37° 的力 斜向上拉此物体, 使物体从A处由静止开始运 动并能到达B处,求该力作用的最短时间t。

图 7-5

10.节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车。有一质量 m=1000kg 的混合动力轿车, 在平直公路上以 v1 ? 90km / h 匀速行驶, 发动机的输出功率为

P ? 50 kW 。当驾驶员看到前方有 80km/h 的限速标志时,保持发动机功率不变,立即启动
利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电, 使轿车做减速运动, 运动 L=72m 后, 速度变为

1 4 此过程中发动机功率的 用于轿车的牵引, 用于供给发电机工作, 发动 v2 ? 72km / h 。 5 5
机输送给发电机的能量最后有 50%转化为电池的电能。 假设轿车在上述运动过程中所受阻力 保持不变。求 (1)轿车以 90 km / h 在平直公路上匀速行驶时,所受阻力 F 阻的大小; (2)轿车从 90 km / h 减速到 72 km / h 过程中,获得的电能 E 电; (3)轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能 E 电 维持 72 km / h 匀速运动的距离 L? 。

33

11.如图 7-6 所示,某货场而将质量为 m1=100 kg 的货物(可视为质点)从高处运送至 地面,为避免货物与地面发生撞击,现利用固定于地面 的光滑四分之一圆轨道, 使货物中轨道顶端无初速滑下, 轨道半径 R=1.8 m。地面上紧靠轨道次排放两声完全相 同的木板 A、B,长度均为 l=2m,质量均为 m2=100 kg, 木板上表面与轨道末端相切。货物与木板间的动摩擦因 数为 ? 1,木板与地面间的动摩擦因数 ? =0.2。 (最大静 摩擦力与滑动摩擦力大小相等,取 g=10 m/s2) (1)求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。 图 7-6

(2)若货物滑上木板 A 时,木板不动,而滑上木板 B 时,木板 B 开始滑动,求 ? 1 应 满足的条件。 (3)若 ? 1=0.5,求货物滑到木板 A 末端时的速度和在木板 A 上运动的时间。

12.如图 7-7 所示,一轻绳吊着粗细均匀的棒,棒下端离地面高 H,上端套着一个细环.棒和环 的质量均为 m,相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力 kmg(k>1).断开轻绳,棒和 环自由下落.假设棒足够长,与地面发生碰撞时,触地时间极短,无动能损失.棒 在整个运动过程中始终保持竖直,空气阻力不计.求: (1)棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中,环的加速度 (2)从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间,棒运动的路程 (3)从断开轻绳到棒和环都静止,摩擦力对环及棒做的总功 W.

图 7-8 13.如图 7-8, 质量为 m1 的物体 A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 m2 的物体 B 相连, 弹簧的劲度系数为 k,A、B 都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻 滑轮, 一端连物体 A, 另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态, A 上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为 m3 的物体 C 并从静 止状态释放,已知它恰好能使 B 离开地面但不继续上升.若将 C 换成另 一个质量为(m1+m3)的物体 D,仍从上述初始位置由静止状态释放, 则这次 B 刚离地时 D 的速度的大小是多少?已知重力加速度为 g。

图 7-8
34

14.如图 7-9 甲,在水平地面上固定一倾角为 θ 的光滑绝缘斜面,斜面处于电场强度大 小为 E、 方向沿斜面向下的匀强电场中。 一劲度系数为 k 的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面 底端,整根弹簧处于自然状态。一质量为 m、带电量为 q(q>0)的滑块从距离弹簧上端为 s0 处静止释放,滑块在运动过程中电量保持不变,设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失, 弹簧始终处在弹性限度内,重力加速度大小为 g。

图 7-9 (1)求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间 t1 (2)若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为 vm,求滑块从静止释放到 速度大小为 vm 过程中弹簧的弹力所做的功 W; (3)从滑块静止释放瞬间开始计时,请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过 程中速度与时间关系 v-t 图象。图中横坐标轴上的 t1、t2 及 t3 分别表示滑块第一次与弹簧上端 接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻,纵坐标轴上的 v1 为滑块在 t1 时刻 的速度大小,vm 是题中所指的物理量。 (本小题不要求写出计算过程 ) ............

15.如图 7-10 所示,绝缘长方体 B 置于水平面上,两端固定一对平行带电极板,极板间 形成匀强电场 E。长方体 B 的上表面光滑,下表面与水平面的动摩擦因数 ? =0.05(设最大 静摩擦力与滑动摩擦力相同) 。B 与极板的总质量 mB =1.0kg.带正电的小滑块 A 质量

mA =0.60kg,其受到的电场力大小 F=1.2N.假设 A 所带的电量不影响极板间的电场分布。t=0
时刻,小滑块 A 从 B 表面上的 a 点以相对地面的速度

vA =1.6m/s 向左运动,同时,B(连同极板)以相对地面
的速度 vB =0.40m/s 向右运动。问(g 取 10m/s2) (1) A 和 B 刚开始运动时的加速度大小分别为多少? (2) 若 A 最远能到达 b 点, a、 b 的距离 L 应为多少? 从 t=0 时刻至 A 运动到 b 点时, 摩擦力对 B 做的功为多少? 图 7-10

35

1.(1) a=3m/s

2

(2) ?s=6.5m
2

参考答案 2.M=4.5× 103kg 3.F=15N (3) 380J
1

2. 4. (1) 2m/s

(2) 2.2s

8? 2 hr 3 2 ? v0 5.v ? T 2 r02

? 4? 2 R ? 3 6.t ? arcsin? ? gT 2 ? ? ? ? ? T
mg m (2) k k
3

7. (1) h ?

2R

(2)a 两环

同时在底端;b 两环同时在顶端; c 一环在底端,另一环在顶端; d 两环与 O 点的联线与竖直 方向成 450 角。 8. (1) 3g 9. (1) μ=0.5 (2) t=1.03s (3) 31 .5m 11.(1)货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小为 3000N,方向竖直向下 (2) 0.4 ? ?1 ? 0.6 12. (3)0.4s (2) (3) 2g

2m k
4

2 ? 10 N(2) 6.3 ? 10 J 10. (1)

(1)(k-1)g,方向竖直向上

k?3 H k ?1

(3)-

2kmgH k ?1

13. g

2m 1 (m 1 ? m 2 ) (2m 1 ? m 3 )k
2ms0 ; qE ? mgsin ?

14.(1) t1 ?

(2)W ? 1 mv m 2 ? (mg sin ? ? qE ) ? ( s 0 ? mg sin ? ? qE ) ; 2 k (3) 15.(1)aA ?

F F' ?f ? 2.0m / s 2 方向水平向右aB ? ? 2.0m / s 2 方向水平向左 mA mB

(2) 0.62m,-0.072J 竞赛题精选 1.经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们 的研究,使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识,双星系统由两个星 体构成, 其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离, 一般双星系统距离其他星体很远, 可以当作孤立系统处理。现根据对某一双星系统的光度学测量确定,该双星系统中每个星体 的质量都是 M,两者相距 L,它们正围绕两者连线的中点作圆周运动。
36

(1)试计算该双星系统的运动周期 T 计算。 (2)若实验上观测到的运动周期为 T 观测,并且 T 观测:T 计算=1: N (N>1),为了解释 T 观测 与 T 计算的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物 质, 作为一种简化模型, 我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质, 而不考虑其它暗物质的影响,试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密 度。

2.两个质量为 1.0g 的质点,相距 10m。开始时相对静止,且其中一个质点固定,如果 它们之间只有万有引力作用,问它们何时相碰?

A
3.如图 7-12 所示, 用一弹簧把两物块 A 和 B 连接起来后, 置于水 平地面上。已知 A 和 B 的质量分别为 m1 和 m2 。问应给物块 A 上加 多大的压力 F,才可能在撤去力 F 后,A 向上跳起后会出现 B 对地无 压力的情况?弹簧的质量略去不计。

B
图 7-12

4.水平桌面上叠放着三个圆柱体 A、B、C,它们的半径均为 r,质量 mB=mC=mA/2。先 让它们保持如图 7-13 所示的位置, 然后从静止开始释放, 若不计所 有接触面间的摩擦,求 A 触及桌面时的速度。

5. 假设地球半径为 R,质量分布均匀,一隧道沿某条直径穿越 图 7-13 地球。现在隧道一个端口从静止释放质量为 m 的小球,则: (1)求小球穿越地球所需的时间。小球运动中的阻力不计。 (2)假定巴黎和伦敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两城市之间有一列火车飞 驶,仅仅由地球的引力作动力。试计算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间 的直线距离为 300km, 地球的半径为 6400km,忽略摩擦力。 (3)有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想。其设想如下:沿地球的一条弦 挖一通道,如图所示。在通道的两个出口处 A 和 B,分别将质量为 M 的物体和质量为 m 的 待发射卫星同时自由释放,只要 M 比 m 足够大,碰撞后,质量为 m 的物体,即待发射的卫 星 B 就会从通道口冲出通道; 设待发卫星上有一种装置, 在待发卫星刚离开出口 B 时, 立即 把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向,但不改变速度的大小.这样待发卫星便 有可能绕地心运动,成为一个人造卫星。若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动,则 地心到该通道的距离为多少?已知 M=20m,地球半径 R0=6400 km。假定地球是质量均匀 分布的球体,通道是光滑的,两物体间的碰撞是弹性的。(期待着 3-5 模块动量的学习)
37

参考答案 1.(1)T 计算= ?L

2L GM

(2) ? ?

3( N ? 1) M 2?L3

l 2.t= ? ( ) 2 2

3

1 GM

? 1.36 ? 108 s

3. F ≥( m1 ? m2 ) g 4.vA=

4 3

3 gr

5. (1) t ?

T R3 ?? 2 GM
t=800πs

(2)187.5m/s

38

第六讲

电 场

元电荷 电荷守恒

e=1.6×10-19C 三种起电方式

两种电荷

起电过程实质就是电子的得失过程

F ?k
库仑定律

Q1Q2 ,k=9.0×109N·m2/C2 r2

适用条件:真空中、点电荷 定义:E=F/q,方向规定为正电荷受到电场力的方向 电场强度 点电荷的电场:E=KQ / r2 匀强电场:E=U / d 电场力的性质 对电场的描述: 电场线 切线表示方向 疏密表示强弱 电场线的特点:由正电荷出发,到负电荷终止;不相交、不 闭合;沿电场线方向电势降低 几种常见电场的电场线





电势:? A ? U AO ? 等势面: 电场能的性质

W AO q
电势处处相等,但场强不一定相等 与电场线垂直

对电场的描述 等势面的特点



电势差:U AB ? ? A ? ? B ?

W AB q

电场力做功与电势差的关系:WAB ? qU AB 电场力做功与电势能变化的关系:WAB ? ? A ? ? B 轨迹:抛物线、类平抛运动 电荷在电场中的偏转、示波器 规律 电容: 电容器 平行板电容器的电容:
39

v x ? v0

L ? v0 t
y? 1 2 at 2

v y ? at

二、重点、难点: 1.电势差、电势、电势能 电势差、电势和电势能都是描述电场能的性质的物理量.其中,电势差是绝对的,而电 势和电势能是相对的,相对于选定的零势面而言的. 相应的计算公式:

U AB ? ? A ? ? B ?

W AB q

? A ? U AO ?

W AO q

? A ? WAO

?? ? ?W

(注意:上述的 O 点为选定的参考位置,各公式中的物理量都保留正负号) 2.带电粒子在电场中的运动(常研究不计重力影响的基本粒子) (1)带电粒子的直线运动 带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场, 受到的电场力与运动方向在同一直线上, 做匀加(减)速直线运动.粒子动能的改变量等于电场力做的功(匀强电场及非匀强电场均 如此) ,即: qU ?

1 2 1 2 mv ? mv 0 . 2 2

该类问题的实质是运动学、动力学知识在静电学中的应用,故所涉及的相应处理方法主 要有:①牛顿运动定律;②动量定理及动量守恒定律;③动能定理、能量守恒定律,其中, 注意能量形式中涉及的电势能. (2)带电粒子的偏转 当带电粒子以初速度 v0 垂直于场强射入匀强电场时,粒子将作类平抛运动.此时,采用 运动合成与分解的方法很容易判断:垂直于电场线方向,粒子将作匀速直线运动;沿电场线 方向,粒子将作初速度为零的匀加速直线运动. 相应的运动规律: 速度关系: 位移关系: 偏转距: 偏转角: 3.示波管 示波管的实质是前述直线运动和偏转在实际问题中的应用,其结构原理在于:先通过加 速电场加速后再进入偏转电场中发生类平抛运动. 试作出相应的结构原理图并用相关的物理量将光斑在荧光屏上的侧移量表示出来.
40

(电子质量 m、电子电量 e、加速电压 U1、偏转电压 U2、偏转极板长 L、偏转极板间的距离 d、偏转极板右侧距荧光屏的距离 D) 三、典型例题: 1.质量为 m、带电量为 q 的质点,只在静电力作用下以恒定速率 v 沿圆弧从 A 点运动到 B 点,其速度方向改变的角度为 θ,AB 弧长为 s,则 AB 两点间的电势差 UAB=_________, AB 弧中点的场强大小 E=______________。 2. 如图,A、B、C 为一等边三角形的三个顶点,某匀强电场的电 — 场线平行与该三角形平面。现将电量为 10 8C 的正点电荷从 A 点移到 — — B 点,电场力做功 6×10 6J,将另一电量为 10 8C 的负点电荷从 A 点 — 移到 C 点,克服电场力做功 3×10 6J, (1)在图中画出电场线的方向; (2)若 AB 边长为 2cm,求该匀强电场的场强大小。 — — 3.如图,一质量 m=10 6kg,带电量 q=—2×10 8C 的微粒以 初速度 v0 竖直向上从 A 点射入一水平向右的匀强电场, 当微粒运 动到比 A 高 2cm 的 B 点时速度大小也是 v0,但方向水平,且 AB 两点的连线与水平方向的夹角为 45?,g 取 10m/s2,求:(1)AB 两点间的电势差 UAB (2)匀强电场的场强 E 的大小 4.如图, 一质量为 m、 带电量为+Q 的小球从距地面高度为 H 处以一定的初速度水平抛出, 在距离抛出点水平距离为 L 处,有一根管口比小球直径略大的竖直细管,管的上端距离地面 高度为 H/2,为使小球能无碰撞地通过管子,在管子上方的整个区域内加一个方向水平向左 的匀强电场,求: (1)小球的初速度大小; (2)匀强电场的场强大小; (3)小球落地时的动能。

5.如图所示,q1、q2、q3 分别表示在一条直线上的三个自由的点电荷,已知 q1 与 q2 之 间的距离为 l1,q2 与 q3 之间的距离为 l2,且每个电荷都处于平衡状态. (1)如果 q2 为正电荷,则 q1 为 电荷,q3 为 电荷. (2)q1、q2、q3 三者电荷量大小之比 l1 l2 是 : : . q1 q2 q3 5 题图 3-1(a) 6.如图所示,竖直绝缘墙壁上的 Q 处有一固定的质点 A,在上方 P 点用丝线悬挂着另一质 点 B, A、 B 两质点因带同种电荷而相互排斥, 致使悬线与竖直 方向成 ? 角,由于漏电使 A、B 两质点的带电量逐渐减小,在 电荷漏完之前悬线对 P 点的拉力大小( ) A.保持不变 B.先变大后变小 C.逐渐减小 D.逐渐增大 P

?
B Q A 6 题图

41

拓展:如图所示,悬挂在 O 点的一根不可伸长的绝缘细线下端有 一个带电量不变的小球 A.在两次实验中,均缓慢移动另一带同种 电荷的小球 B.当 B 到达悬点 O 的正下方并与 A 在同一水平线上, A 处于受力平衡时, 悬线偏离竖直方向的角度为 θ, 若两次实验中 B 的电量分别为 q1 和 q2,θ 分别为 30°和 45°.则 q2/q1 为( ) A.2 B.3 C.2 3 D.3 3

O θ

B
绝缘手柄

A

7.如图电量为 ? q 和 ? q 的点电荷分别位于正方体的顶点,正 方体范围内电场强度为零的点有: A.体中心 各面中心和各边中心 C.各面中心和各边中心 B.体中心和各边中心 D.体中心和各面中心

8.如图所示的匀强电场 E 的区域内,由 A、B、C、D、A' 、B' 、C' 、D'作为顶点构 成一正方体空间,电场方向与面 ABCD 垂直.下列说法正确的是( ) A. AD 两点间电势差 UAD 与 A A' 两点间电势差 UAA'相等 D D/ B.带正电的粒子从 A 点沿路径 A→D→D'移到 D'点, A A/ 电场力做正功 E / C.带负电的粒子从 A 点沿路径 A→D→D'移到 D'点, C C B B/ 电势能减小 D.带电的粒子从 A 点移到 C'点,沿对角线 A C'与沿 7 题图 路径 A→B→B'→C'电场力做功相同 9 一粒子从 A 点射入电场, 从 B 点射出, 电场的等势面和粒子的运动轨迹如图所示, 图 中左侧前三个等势面衢平行,不计粒子的重力。下列说法正确的有 A.粒子带电荷 B.粒子的加速度先不变,后变小 C.粒子的速度不断增大 D.粒子的电势能先减小,后增大 10. 一带负电荷的质点, 在电场力作用下沿曲线 abc 从 a 运动到 c, 已知质点的速率是递 减的。关于 b 点电场强度 E 的方向,下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在 b 点的切线)

11.如图 1 是某同学设计的电容式速度传感器原理图,其中上板为固定极板,下板为待 测物体, 在两极板间电压恒定的条件下, 极板上所带电量 Q 将随待测物体的上下运动而变化,
42

若 Q 随时间 t 的变化关系为 Q ?

b (a、b 为大于零的常数) ,其图象如图 2 所示,那么 t?a
Q U

图 3、图 4 中反映极板间场强大小 E 和物体速率 v 随 t 变化的图线可能是:
固定极板

待测物体

O 图1 图2 v ③ ① ② t 图3

t

E

O

O 图4

④t

A.①和③ B.①和④ C.②和③ D.②和④ 12.在光滑水平面上有一质量 m=1.0×10-3 ㎏,电荷量 q=1.0×10-10C 的带正电小球,静 止在 O 点,以 O 点为原点,在该水平面内建立直角坐标系 xOy 现突然加一沿 x 轴正方向、场 强大小 E=2.0×106V/m 的匀强电场, 使小球开始运动. 经过 1.0 s,所加电场突然变为沿 y 轴正 方向,场强大小仍为 E=2.0×106V/m 的匀强电场.再经过 1.0 s,所加电场又突然变为另一个 匀强电场,使小球在此电场作用下经 1.0s 速度变为零.求此电场的方向及速度为零时小球的 位置. 13.两个半径均为 R 的圆形平板电极,平行正对放置,相距为 d,极板间的电势差为 U, 板间电场可以认为是均匀的. 一个? 粒子从正极板边缘以某一初速度垂直于电场方向射入两极板之间, 到达负极板时 恰好落在极板中心. 已知质子电荷为 e,质子和中子的质量均视为 m,忽略重力和空气阻力的影响,求: (1)极板间的电场强度 E; (2)? 粒子在极板间运动的加速度 a; (3)? 粒子的初速度 v0. 14. 如图所示,一束带正电的粒子以平行于 x 轴方向的速度 υ0 从 y 轴上的 a 点射入第Ⅰ象 限内,为了使这束粒子能经过 x 轴上的 b 点,可在第Ⅰ象限的某一 y 区域加一个方向沿 y 轴负方向的匀强电场,已知所加电场的场强 v0 为 E,沿 x 轴方向的宽度为 s,Oa=L,Ob=2s,粒子质量为 m,电量为 a q,重力不计,试讨论电场的右边界与 b 的可能距离. b x O 14 题图
43

15.如图 15 所示,在两个水平放置的带电平行金属板的匀强电场中,一长为 L 的绝缘 细线一端固定在 O 点,另一端拴着一个质量为 m、带有一定电荷量的小球,小球原来处于静 止.当给小球某初速度后,它可饶 O 点在竖直平面内做匀速圆周运动,若两极板间的电压增 大为原来的 3 倍时,试求: D (1)是小球从 C 点开始在竖直平面内做圆周运动,至少 O 应给小球多大的初速度? C (2)在运动过程中细线所受的最大拉力是多少? 图 15

16. 如图所示, 光滑绝缘细杆竖直放置, 它与以正电荷 Q 为圆心的某圆交于 B、 C 两点, 质量为 m 带电量为-q 的有孔小球从杆上 A 点无初速下滑.已知 A q<<Q,AB=h,小球滑到 B 点时的速度大小为 3gh ,求: B (1)小球由 A 到 B 的过程中电场力做的功; (2)AC 两点的电势差. + Q C 16 题 图 3-6(a) 17. 如图所示一根长 L=1.5m 的光滑绝缘细直杆 MN, 竖直固定在场强为 E=1.0×l05N/C, 方向与水平方向成 θ=30°角的倾斜向上的匀强电场中.杆的下端 M 固定一个带电小球 A, 电荷量 Q= +4.5×10-6C;另—带电小球 B 穿在杆上可自由滑动,其电荷量 q= +1.0×10-6C, 质量 m=1.0 ×l0-2kg. 现将小球 B 从杆的上端 N 自静止释放后小球开始运动. (已知静电力常 9 2 2 2 量 K=9.0× l0 N·m /C ,取 g=l0m/s ) (1)小球 B 开始运动时的加速度为多大? B (2)小球 B 的速度最大时,距 M 端的高度 h1 为多大? N E (3)若小球 B 从 N 端运动到距 M 端的高度 h2=0.61m 时,速度为 v=1.0m/s.求此过程中小球 B 的电势能改变了多少? M A θ 17 题图

44

18.如图 3-11 所示为一个模拟货物传送的装置,A 是一个表面绝缘、质量 M=100kg、 电量 q=+6.0× 10--2C 的传送小车,小车置于光滑的水平地面上.在传送途中,有一个水平电 场,电场强度为 E=4.0× 103V/m,可以通过开关控制其有无.现将质量 m=20 kg 的货物 B (不带电且体积大小不计)放置在小车左端,让它们以 v=2 m/s 的共同速度向右滑行,在 货物和小车快到终点时, 闭合开关产生一个水平向左的匀强电场, 经过一段时间后关闭电场, 当货物到达目的地时,小车和货物的速度恰好都为零.已知货物与小车之间的动摩擦因素 μ =0.1,g 取 10 m/s2. (1)试指出关闭电场的瞬间,货物和小车的速度方向. (2)为了使货物不滑离小车的另一端,小车至少多长? E B v A 图 3—11

★(竞赛提高训练)如图 3-13 所示,两个面积均为 S 的大的平行平面带电导体板,左导体板 带电量为 Q1,右导体板带电量为 Q2,2、3 两个面之间的距离为 d,求两导体板之间的电势 差以及两板之间的相互作用力. Q1 Q2

1

2

3

4

图 3-13

45

四、参考答案: 1、0,

?m v2
sq

2、(1)A 到 B 方向的匀强电场 (2)E=3×104N/C 3.(1)UAB=-10V (2)E=5×104N/C 4.(1)v0=2L

g H

(2) E=

2m gL HQ

(3)Ek=mgH

5.负



(l1 ? l 2 ) 2 l2
2

:1:

(l1 ? l 2 ) 2 l1
2

6. A 拓展. A 7D 8. BD 9AB 12.电场的方向与 x 轴正方向成 225°角指向第三象限; (0.4m 0.2m) 13. (1) E ?

10.D

11. C

U eU R ; (2) a ? ; (3) v0 ? d 2md 2d

m eU

14.

2 2mL m v0 s L ? 或 s ? v0 qE qEs 2

15. (1) v0 ?

2gL

T ? 12m g (2)
2

W电 ? 16. (1)

1 mgh 2

(2) U AC ?

W电 q

?

m gh 2q

拓展.(2qEx0 ? mv0 ) / 2 F?

17. (1)3.2m/s2 (2)0.9m (3)8.4×10-2J 18. (1)货物和小车的速度方向分别向右和向左 ★(竞赛提高训练)U ?

(2)1.2m

2?kd (Q1 ? Q2 ) S

F?

2?kQ1Q2 S

46


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