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2011年全国高中数学联赛模拟题


全国高中数学联赛模拟题
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 填空题( 1. 已知 a ≥ ?2 , A = x ?2 ≤ x ≤ a ,B = y y = 2 x + 3, x ∈ A ,C = t t = x , x ∈ A , 且
2

{

}

{

}

{

}

若 C ? B ,则 a 的取值范围是



2. 在 ?ABC 中 , 若 AB = 2 , AC = 3 , BC = 4 , O 为 ?ABC 的 内 心 , 且

uuu v

uuuv

uuu v

uuuv uuu v uuu v AO = λ AB + ? BC ,则 λ + ? =

.

?2? x ? 1, ( x ≤ 0 ) , ? 3. 已知函数 f ( x ) = ? 若关于 x 的方程 f ( x ) = x + a 有且只有两个不相等 ? f ( x ? 1) , ( x > 0 ) , ?
的实数根,则实数 a 的取值范围是 。

4.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线 l:x+my+m =0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是_______________________.

5. 已知椭圆

x2 y 2 + = 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过椭圆的右焦点作一条直线 l 交椭圆 4 3


于点 P、Q,则△F1PQ 内切圆面积的最大值是

6、设 a, b, c, d 为已知常数,且 b ≥ c ≥ d ≥ 0 ,要使

x?a + x?a+b + x?a+b?c + x?a+b+c + x?a+b?c+d + x?a+b+c?d 为
常数,则 x 的取值范围是____________________.

7. 如图,有一个半径为 20 的实心球,以某条直径为中心轴挖去 一个半径为 12 的圆形的洞,再将余下部分融铸成一个新的实心 球,那么新球的半径是 。

8. 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 , 将 适 合 x < y, x < 3, y < 3, 且 使 关 于 t 的 方 程

( x 3 ? y 3 )t 4 + (3 x + y )t 2 +
所成区域的面积为

1 = 0 没有实数根的点 ( x, y ) 所成的集合记为 N,则由点集 N x? y



二、解答题(本题满分 56 分) 解答题( 本小题满分 对正整数 n ≥ 2 , an = 记 9. (本小题满分 16 分)

∑ n ? k ? 2k ?1 ,求数列 {an } 中的最大值.
k =1

n ?1

n

1

10.(本小题满分 20 分)已知椭圆 10.(本小题满分

x2 y2 + = 1 过定点 A(1,0),且焦点在 x 轴上,椭 a2 b2

圆与曲线 y = x 的交点为 B、C。现有以 A 为焦点,过 B,C 且开口向左的抛物线,其顶点 坐标为 M(m,0),当椭圆的离心率满足

2 < e 2 < 1 时,求实数 m 的取值范围。 3

11、(本题满分 20 分) 、(本题满分 、( 已知: a, b, c ≥ 0 , a + b + c

=2,

bc ca ab + + ≤1。 求证: 1 + abc ( a + b ) 1 + abc ( b + c ) 1 + abc ( c + a )

1. 答: ? , 3? ?2 ?

?1

?

?( ?2 )2 ≤ 2a + 3, ? B = [ ?1, 2a + 3] ,要使 C ? B ,只需 C 中的最大元素在 B 当中,所以 ? , 2 ? a ≤ 2a + 3 ?


1 ≤ a ≤3。 2

2. 答:

7 9

uuur 3 uuu 2 uuur r BD AB 2 = = ,于是 AD = AB + AC ,又 DC AC 3 5 5 uuur 5 uuur 1 uuu 2 uuur 1 uuu 2 uuu uuu r r r r AO AB AC AB + AC 5 = = = = , 所 以 AO = AD = AB + AC = AB + AB + BC OD BD CD BD + CD 4 9 3 9 3 9 uuu 2 uuur r 5 7 = AB + AC ,因此 λ + ? = 。 9 9 9
设 AO 交 BC 于点 D,由角平分线定理知

(

)

3. 答: ( ?∞,1) 利用函数图象进行分析易得结果。 1 2 4.(- ,- ); 3 3 3 3 1 l 恒过定点 R(0,-1),则可求得 l 得斜率取值范围是( ,3),即 <- <3 2 m 2 1 2 ∴ m∈(- ,- ) 3 3

5. 答:

9 π 16

因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2 倍,且△F1PQ 的周长是定值 8,所以只需求出△F1PQ 面积的最大值。设直线 l 方程为 x = my + 1 ,与椭圆方程联立得

(3m

2

+ 4 y 2 + 6my ? 9 = 0 , 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) , 则 y1 + y2 = ? 9 3m 2 + 4
,于是 S?F1PQ =

)

6m , 3m 2 + 4
m2 + 1

y1 y2 = ?

1 F1 F2 ? y1 ? y2 = 2 =

( y1 + y2 )2 ? 4 y1 y2
1 ≤

= 12

(

3m 2 + 4

)

2



因为

( 3m


m2 + 1
2

+4

)

2

=

1 9m 2 + 15 + 1 m +1
2

9m 2 + 9 +

1 +6 m +1
2

1 ,所以内切圆半径 16

r=

2 S ?F1 PQ 8

9 3 ,因此其面积最大值是 π 。 4 16

6、 x 的取值范围是 a ? b ≤ x ≤ a ? b + c ? d .

提示:当 b ≥ c ≥ d ≥ 0 时,有

a?b?c ≤ a?b?c+d ≤ a?b ≤ a?b+c?d ≤ a?b+c ≤ a .
因此, a ? b ≤ x ≤ a ? b + c ? d ,这时

x?a + x?a+b + x?c+b?c + x?a+b?c+d
+ x?a+b+c?d + x?a+b+c =? x + a + x ? a +b ? x + a ?b + c ? x + a ?b + c ? d +x?a+b+c?d + x?a+b+c = b + 4c ? 2 d .

7. 答:16 将题目所得几何体的上半部分与半径为 16 的半球作比较,将它们的底面置于同一水平 面, 并考察高度为 h 的水平面与两个几何体所截的截面面积。 与第一个几何体形成的截面是 圆环,外径是 202 ? h 2 ,内径是 12,所以面积是 π 202 ? h 2 ? 122 = π 162 ? h 2 ,这正是 与第二个球体形成的截面圆的面积,由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。 8. 答:

(

) (

)

81 5
2

令 u = t ,原方程化为 ( x 3 ? y 3 )u 2 + (3 x + y )u +

1 = 0. x? y



? = (3x + y ) 2 ? 4( x3 ? y 3 ) ?

1 x? y

= 5 x 2 + 2 xy ? 3 y 2 = (5 x ? 3 y )( x + y ).
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,

? x < y, ? x < y, ? ? ? x < 3, ? x < 3, ? 或 ? y < 3, ? ? y < 3, ? ?(5 x ? 3 y )( x + y ) < 0 ?(5 x ? 3 y )( x + y ) ≥ 0, ? ?3 x + y < 0. ?
点集 N 所成区域为图中阴影部分,其面积为

S = S ?ABO + S ?BCO 1 24 1 81 = × ×3 + × 6×3 = . 2 5 2 5
本小题满分 9. (本小题满分 16 分)

解:经计算知 a2 = 2 , a3 = 3 , a4 = a5 =

10 ,下面用数学归纳法证明:当 n ≥ 5 时,有 3

an ≤

10 。 3
假设 an ≤

10 n +1 n +1 1 n +1 1 n +1 1 + × + × 2 +L + × n ?1 ( n ≥ 5) ,则 an+1 = 3 n n ?1 2 n ? 2 2 1 2

= =

n +1 n +1? n n 1 n 1 ? + + × + L + × n?2 ? ? n 2n ? n ? 1 n ? 2 2 1 2 ?

n +1 n +1 + an n 2n n + 1 n + 1 10 n + 1 8 6 8 10 ≤ + × = × ≤ × < 。 n 2n 3 n 3 5 3 3 10 。 所以数列 {an } 中的最大值是 a4 = a5 = 3

10.(本小题满分 10.(本小题满分 20 分) 解:椭圆过定点 A(1,0),则 a = 1 , c = 1 ? b 2 , e = 1 ? b 2 , ∵

2 3 < e 2 < 1 ,∴ 0 < b < 。 3 3

由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线 y = x ( x ≥ 0) 的交点,就必过椭圆与射线

y = ? x ( x ≥ 0) 的交点。

? y = x ( x ≥ 0) b ? ,解得 x = y = 。 联立方程 ? 2 y 2 x + 2 =1 1+ b2 ? b ?
∵0 < b <

3 1 ,∴ 0 < x < 。 3 2

设抛物线方程为: y 2 = ?2 p ( x ? m) , p > 0 , m > 1 。

p = m ? 1 , ∴ y 2 = (1 ? m)( x ? m) ① 2 1 1 把 y=x , <x< 0 代入①得 x 2 + 4( m ? 1) x ? 4m( m ? 1) = 0 , > 1 , < x < 。 m 0 2 2 1 令 f ( x ) = x 2 + 4( m ? 1) x ? 4m( m ? 1) , m > 1 , 0 < x < , 2
又 ∵ ∵ f (x ) 在 ? 0 ,

? ?

1? ? 内有根且单调递增, 2?

? f (0) = ?4m(m ? 1) < 0 ?m > 1 或 m < 0 ? ? ∴? ?1? 1 ? ?3 ? 2 3+ 2 〈m 〈 ? f ? 2 ? = 4 + 2(m ? 1) ? 4m(m ? 1) > 0 ? 4 ? 4 ? ? ?
综上得: 1 < m <

3+ 2 。 4

11、 证明: 1 + 、

abc ( a + b ) ? ( ab + bc + ca ) = ?1 ? c ( a + b ) ? × (1 ? ab ) , ? ? ∵ a, b, c ≥ 0 , a + b + c = 2 ,

∴c

( a + b ) ≤ 1, ab ≤ 1 。
abc ( a + b ) ≥ ab + bc + ca , abc ( b + c ) ≥ ab + bc + ca ,

∴1 +

同理 1 +

1 + abc ( c + a ) ≥ ab + bc + ca 。
那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。


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