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向量的数量积


课题:平面向量的数量积(第一课时)
教学目标: (1) 以物理中“功”的实例,认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义,体会平面向量的数量积 与向量投影的关系。 (2) 通过对平面向量数量积性质的探究,体会类比与归纳,对比与辨析等数学方法,正确熟练地应用 平面向量数量积的定义,性质进行运算。 (3) 让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程,性质的发现到论证过程,进一

步感悟数学的本 质,培养学生的探索研究能力。 教学重点:平面向量数量积的概念,性质的发现与论证。 教学难点:平面向量数量积的理解。 1. 教学实录 1.1 引入新课 教师:同学们,我们在前一阶段已经学过向量的加法、减法运算以及实数与向量的乘积,想必大家应 该对向量有着一套独特的运算体系有所体会。今天我们接着学习平面向量的另外一种运算——平面向量的 数量积。首先,我们来了解一下这节课的两个预备知识。 1.1.1 夹角 ? 探求——教师边叙述两个向量的夹角的概念边引导学 找到两个向量的夹角。 (多媒体显示图(1) ) 教师:要找两个向量的夹角得抓住哪些要点? 学生:将两个向量移到共同的起点,且找到他们夹的小 那个角。 教师:好,那么两个向量的夹角的范围是多少呢? 学生: ? ? [0, ? ] 教师:很好。下面我们再看第二个预备知识。 1.1.2 投影—— | b | ? cos ? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影。 (多媒体演示几种情形)
B B B

b

生平移向量

?
O
图(1)

a
于 180°的

O

b ? a

b
A O

?

a

b
A O

?
a
A

1.1.3 教师: 大家注意了, 投影是有正负的。 在物理当中我们已经学过力在位移方向做功 ? ?| F | ? | S | ? cos ? , 那么我们就可以把他写成???(同时多媒体显示图(2) ) 学生: ? ?| F | ? | S | ? cos ? ? F ? S 教师: a ? b 就等于??? 学生: a ? b ?| a | ? | b | ? cos ?
-1F

?

S

图(2)

教师:那如果 a 或 b 为 0 呢? ? 取多少? 学生:此时 ? 不定。 教师:所以我们定义平面向量的数量积为: a ? b ?| a | ? | b | ? cos ? (a ? 0, b ? 0) 1. 2 概念的建构

1.2.1 数量积的定义: a ? b ?| a | ? | b | ? cos ? (a ? 0, b ? 0) (多媒体显示) 1.2.2 教师:①“· ”不能省略也不能写成“×” ; (点积) ② a ? b 表示数量还是向量?有大小吗? 学生:表示数量,其大小与向量的模及其夹角有关。 1.2.3 简单应用(多媒体显示) 例:已知 | a |? 5, | b |? 4 , a 和 b 的夹角为 60°,求 a ? b . 学生口答: a ? b ?| a | ? | b | ? cos ? ? 5 ? 4 ? cos 60? ? 10 1. 3 性质的推导(由师生共同完成) 教师:但是关于这一块内容的应用更多地会用到由它所推导出来的一系列性质。下面大家想想由这个 原始定义可以推出哪些性质来?(学生讨论) 学生 1: a ? 0, b ? 0 ,? cos ? ?

a?b | a |?| b |

教师:很好,变形得到这个公式可以解决两个向量的夹角问题。 学生 2:令这个式子当中的 ? 分别为如下情况,可以得到一些结论: ① 当 ? ? 90? 时, a ? b ? a ? b ? 0 ② 当 ? ? 0? 时, a ? b ?| a | ? | b | ③ 当 ? ? 180? 时, a ? b ? ? | a | ? | b | 教师:那么 ? 为其他情况时呢? 学生 2: | a ? b |?| a | ? | b | 教师:刚才两位同学推导得都很好,他们分别从对式子变式以及取特殊值得到一些简洁的性质,还有 吗? 学生 3:当 a ? b 时, a ?| a | 2 教师:这也是一个很好的结论啊!而且还可以写成这样吧—— | a |? a ,那么当令 e 为与 b 同方向的 单位向量时,我们可以得到: e ? a ? a ? e ?| a | ? cos ? ;好,下面我们总结一下:
2
2

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a ? b ?| a | ? | b | ? cos ? (a ? 0, b ? 0) ? cos ? ?
2

a?b | a |?| b |

(处理求角问题)

?| a |? a (处理长度问题)

? a ? b ? a ? b ? 0 (处理垂直问题)
以及其他一些结论,那么谁能将刚才这道例题变一下,把问题改为考性质呢? 学生 4:若已知 | a |? 5, | b |? 4 , a ? b ? 10 ,求 a 与 b 的夹角? 解: cos ? ?

a?b | a |?| b |

?

10 1 ? 5? 4 2

?? ? 60?

1.3.1 变式训练,巩固应用 例 2:如图,在 ?ABC 中,记 AB ? a , AC ? b ,试判断:①当 a ? b ? 0 ,②当 a ? b ? 0 , ?ABC 各是 什么三角形? 解:① cos ?CAB ?
C

a?b | a |?| b |

? 0 ,? ?CAB 为钝角,

b
A B

∴ ?ABC 为钝角三角形 ② cos ?CAB ? 0 ,? AC ? AB ,? ?ABC 为 Rt ? 例 3:判断正误,并说明理由。 (学生口答) ①a?0?0 ②0?a ? 0 ③ | a ? b |?| a | ? | b | ④若 a ? 0 ,则对任一非零向量 b ,有 a ? b ? 0 ⑤ a 与 b 是两个单位向量,则 a ? b
2 2

a
B

B

⑥ a , b 是两个非零向量, a ? b ?| a | ? | b | 是 a , b 共线的充要条件。 ⑦若 a ? 0 , a ? b ? a ? c ,则 b ? c ⑧ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 1. 4 课堂小结 ①数量积的定义: a ? b ?| a | ? | b | ? cos ? (a ? 0, b ? 0) ②性质,特别是 | a |? a , cos ? ?
2

a?b | a |?| b |

,a ?b ? a?b ? 0
-3-

③思考:实数当中有分配律、结合律、交换律等,那么在向量的数量积当中有没有这些运算律呢?有 的话你能不能给予证明? 1. 5 课后作业 书本 P121 练习 2、3,习题 5 的第 3 题,习题 6 的第 6 题。 2. 总评——平淡无奇,催生思想 本节课有以下几点值得一提: 2. 1 教学过程平淡无奇,教学方法实实在在 从教学过程来看,这节课与传统意义下的数学教学好象没有多大的区别,也没有完全脱离老师讲授的 旧套,可谓平淡无奇,朴实无华。大家都知道,传统的教学是老师把知识嚼烂喂给学生或灌给学生,数学 知识是老师讲出来的,反正“帽子里跑出个兔子” ,学生根本不知道是怎么回事,只能靠机械记忆和盲目 模仿。但在这节课里,每一个知识,每一个发现,老师总是想方设法尽量由学生得出来,教师的作用只是 引导,在关键处导一导,推一推。从教学方法的角度看,这节课与其他老师的教法好象差别不大,也是学 生从头到尾按老师的教学设计走下去。教师设计的每一个环节和片段,基本上以教材内容为主线展开,既 没有别出心裁的插曲,也没有出人意料的场面,但这节课里老师的教学理念很明确——探究式教学。学生 在认同与体验中建构知识技能的传授和能力的培养。注重引导学生自己探究问题或自己提出解决问题的方 法。带领学生寻找解决问题的途径,体验解决问题的过程,从而提高解决问题的能力,逐步改变学生的学 习方式。 2. 2 恰当借助多媒体实施教学 多媒体辅助教学在目前数学课堂上已广泛使用,然而我们不能把多媒体技术的运用与教学的优化等同 起来,而应该以学生的实际需要和教材的内容为基础来进行合理设计。

说课稿 1
各位老师,上午好。今天我说课的内容是《平面向量的数量积》。下面我将从教材的地位与 作用、学情分析、教学目标与重难点分析、教法分析、教学过程分析、五个方面来说明我对 本节课的设计。 一、【教材的地位与作用】 本节课选自普通高中课程标准实验教科书(人教 B 版) 《数学必修 4》第二章第三节“平 面向量的数量积”的第一课时---平面向量数量积的物理背景及其含义。平面向量的数量积是 继向量的线性运算之后的又一重要运算,也是高中数学的一个重要概念,在数学、物理等学 科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第 二课时主要研究数量积的坐标运算,本节课是第一课时。 二、【学情分析】 学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的运算体系,掌握了向量的概念及其线性运算, 具备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法:但也正是这些干扰了学生 对数量积概念的理解,一方面,相对于线性运算而言,数量积的结果发生了本质的变化,两
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个有形有数的向量经过数量积运算后, 形却消失了, 学生对这一点是很难接受的; 另一方面, 由于受实数乘法运算的影响,也会造成学生对数量积理解上的偏差,特别是对性质和运算律 的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。 三、【教学目标与重难点分析】 根据新课标对本节课的教学要求, 考虑学生已有的认知结构, 我制定以下三维教学目标: (1)知识目标:平面向量数量积的定义及初步运用。 (2)能力目标:通过对平面向量数量积定义的剖析,培养学生分析问题发现问题能力,使学 生的思维能力得到训练。 (3)情感目标:通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣,体会学习的快乐。 教学重点:平面向量的数量积定义。 教学难点:平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用。 四、【教法分析】采用启发引导式与讲练相结合,并借助多媒体教学手段,使学生理解平面 向量数量积的定义,理解定义之后引导学生推导数量积的性质,通过例题和练习加深学生对 平面向量数量积定义的认识,初步掌握平面向量数量积定义的运用。 五、【教学过程分析】 课标指出:数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程,是教师和学生间互动的 过程,是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学,本节课我主要安排以下六个活动: 活动一:创设问题情景,激发学习兴趣 平面向量的数量积这一重要概念, 和向量的线性运算一样, 也有其数学背景和物理背景, 为了体现这一点,我设计以下几个问题: 问题 1:我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么? 问题 2:我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算 的? 问题 3:如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S, 问题 1 的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景,问题 2 的设计意图在于使学生在 与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序,为教学活动指明方向。问题 3 的设 计意图在于使学生了解数量积的物理背景, 活动二:探究数量积的概念 1、概念的抽象:在分析“功”的计算公式的基础上提出问题 4:你能用文字语言来表述 功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量,其结果又该如何表述? 2、 概念的明晰: 已知两个非零向量 与 , 它们的夹角为 , 我们把数量 ︱ ︱· ︱ ︱cos 叫 做 与 的数量积(或内积),记作: · ,即: · = ︱ ︱·︱ ︱cos 通过此环节不仅认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素,为下面更好地理解数 量积的性质和运算律做好铺垫。 3、探究数量积的几何意义:我首先给出给出向量投影的概念,我们把│ │cos (│ │ cos )叫做向量 在 方向上( 在 方向上)的投影,记做:OB1=│ │cos 问题 5:数量积的几何意义是什么?这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积 的概念,从中体会数量积与向量投影的关系,同时也更符合知识的连贯性,而且也节约了课 时。 4、研究数量积的物理意义:数量积的概念是由物理中功的概念引出的,学习了数量积的 概念后,学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积。 活动三:探究数量积的运算性质 (1)将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量,你能得到哪些结论?
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(2)比较︱ · ︱与︱ ︱×︱ ︱的大小,你有什么结论? 在学生讨论交流的基础上,教师进一步明晰数量积的性质,然后再由学生利用数量积的 定义给予证明,完成探究活动。 活动四:应用与提高 例 1、(师生共同完成)已知︱ ︱=6,︱ ︱=4, 与 的夹角为 60°,求 ( +2 )·( -3 ),并思考此运算过程类似于哪种运算? 例 2、(学生独立完成)对任意向量 ,b 是否有以下结论:(1)( + )2= 2+2 · + 2 (2)( + )·( - )= 2— 2 例 1 是数量积的性质和运算律的综合应用,目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上 自己猜测提出例 2 给出的两个公式,再由学生独立完成证明,一方面这并不困难,另一方面 培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。 活动五:小结提升与作业布置 1、本节课我们学习的主要内容是什么?2、平面向量数量积的两个基本应用是什么? 活动六 1、课本 P121 习题 2.4A 组 1、2、3。2、拓展与提高:已知 与 都是非零向量,且 +3 与 7 -5 垂直, -4 与 7 -2 垂直求 与 的夹角。 在这个环节中,我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求,因此安排 了一组教材中的习题,目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用,为后续学 习打好基础。其次,为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展,我又安排了一道有一 定难度的问题供学有余力的同学选做。 (七)板书设计 设计科学合理的板书(见下),一方面使学生加深对主要知识的印象,另一方面 使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系,形成知识网络。 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、 数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高 1、 概念: 例 1: 2、 概念强调 (1)记法 例 2: (2)“规定” 3、几何意义: 4、物理意义: 三、数量积的运算律 例 3:

说课稿 2
今天我说课的题目是《平面向量的数量积》。下面我将从四个方面阐述我对本节课的分析和设计。 第一部分:教学内容分析: 1、教材的地位及作用: 将平面向量引入高中课程,是现行数学教材的重要特色之一。由于向量既能体现“形”的直观位置特征, 又具有“数”的良好运算性质,是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现,平面向量的数量积功 不可没。《平面向量的数量积》是高一数学下册第五章第六节的内容。平面向量数量积是中学数学的一个 重要概念。它的性质很多,应用很广,是后面学习的重要基础。本课是第一课时,学生对概念的理解尤为 重要。 2、教学目标的设定: (1)知识目标:
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平面向量数量积的定义及初步运用。 (2)能力目标: 通过对平面向量数量积定义的剖析,培养学生分析问题发现问题能力,使学生的思维能力得到训练。 (3)情感目标: 通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣,体会学习的快乐。 3、教学重点:平面向量的数量积定义。 4、教学难点:平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用。 第二部分:教法分析: 采用启发引导式与讲练相结合,并借助多媒体教学手段,使学生理解平面向量数量积的定义,理解定 义之后引导学生推导数量积的性质,通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识,初步掌握平 面向量数量积定义的运用。

新的《数学课程标准》指出: “有效的数学学习活动不能单纯地依赖、模仿与记忆。动 手实践、自主探索与合作交流是学生数学学习的重要方式。 ”李晓郁老师在公开课《空间向量 的数量积》中很好地贯彻了上述理念。在这堂课中,她的设计思路新颖、不落俗套,突现出 以“问题驱动”及“多元互动”的教学思想和策略,针对本节课的特点,首先通过平面向量 相关知识点的复习与回顾,引导学生利用类比迁移的思想推广到空间向量,教学层次“由浅 入深,逐步深化” 。在教学过程中不断激发学生学习的积极性,充分向学生提供从事数学活动 和数学思维的机会和时间,通过有梯度的问题设计,帮助各个不同水平的学生都能在自主探 索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、技能、思想和方法。以一个“动” 字贯穿整堂课的教学,显示出指教者扎实的基本功底和驾驭教材的能力。 总之,我们认为李晓郁老师的这节公开课达到了预期的教学目标,使学生在知识与能力方 面、情感与数学观上得到了和谐、富有个性的全面发展。

-7-


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