当前位置:首页 >> 数学 >>

2015届高三数学总复习讲义 1.1 集合的概念与运算


第一章集合与常用逻辑用语 § 1.1 集合的概念与运算

1. 集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法. (4)常见数集的记法 集合 符号 2. 集合间的关系 (1)子集:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). (2)真子集:若 A?B,且 A≠B,则 A B(或 B A). (3)空集:空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即??A,? B(B≠?). (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1 个. (5)集合相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B. 3. 集合的运算 集合的并集 图形 符号 A∪B={x|x∈A 或 x∈B} A∩B={x|x∈A 且 x∈B} ?UA={x|x∈U,且 x?A} 集合的交集 集合的补集 自然数集 N 正整数集 N+ (或 N*) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

4. 集合的运算性质 并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)A={x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}. (2){1,2,3}={3,2,1}. (3)?={0}. (4)若 A∩B=A∩C,则 B=C. (5)已知集合 M={1,2,3,4},N={2,3},则 M∩N=N. (6)若全集 U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},则?UP={2}. 2. (2013· 北京)已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B 等于 A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 3. (2013· 山东)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 C.5 B.3 D.9 ) ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) )

4. (2013· 课标全国Ⅱ)已知集合 M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N 等于 ( A.{0,1,2} C.{-1,0,2,3} B.{-1,0,1,2} D.{0,1,2,3} )

5. 设集合 A={x|x2+2x-3>0},集合 B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若 A∩B 中恰含有一个 整数,则实数 a 的取值范围是________.

题型一 集合的基本概念 例1 (1)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的 ( B.6 C.8
?

个数为 A.3 D.10
?

)

b ? ? (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=________. 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限

制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;(2)集合中元素的互异性常 常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (1)已知集合 A={(x,y)|x,y∈R,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且 y=x},则 A∩B 的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

(2)若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________.

题型二 集合间的基本关系 例2 (1)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C? B 的集合 C 的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,则实数 m 的取值范围 是________. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,

否则会造成漏解;(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间 端点间的关系, 进而转化为参数所满足的关系. 常用数轴、 Venn 图来直观解决这类问题. (1)设 M 为非空的数集,M?{1,2,3},且 M 中至少含有一个奇数元素,则这 样的集合 M 共有 A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个 ( )

(2)已知集合 A={x|log2x≤2}, B=(-∞, a), 若 A?B, 则实数 a 的取值范围是(c, +∞), 其中 c=________. 题型三 集合的基本运算 例3
? 1x ? 2 (1)(2013· 湖北)已知全集为 R, 集合 A=?x|?2? ≤1?, B={x|x -6x+8≤0}, 则 A∩(?RB) ? ?

等于 A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4}

(

)

(2)(2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B =(-1,n),则 m=________,n=________. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表示;集合中的元素

若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间 的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
? ?x+1≥0,? ? ? ? ? ,B={x∈Z|x-2>0},则 A∩B=( (1)设集合 A=?x∈R|? ? ?x-3≤0 ? ? ? ?

)

A.{x|2<x≤3} C.{2,3}

B.{3} D.{x|-1≤x<2}

(2)设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?, 则 m 的值是________. 题型四 集合中的新定义问题

例4

在整数集 Z 中, 被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”, 记为[k], 即[k]={5n +k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2 014∈[4]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a, b 属于同一‘类’” 的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新 定义的特点, 把新定义所叙述的问题的本质弄清楚, 并能够应用到具体的解题过程之中, 这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题 中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 设 U 为全集,对集合 X,Y,定义运算“ ”,满足 X 对于任意集合 X,Y,Z,X A.(X∪Y)∪(?UZ) B.(X∩Y)∪(?UZ) C.[(?UX)∪(?UY)]∩Z D.(?UX)∪(?UY)∪Z (Y Z)等于 Y=(?UX)∪Y,则 ( )

遗忘空集致误 典例:(5 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a 的可取值组成 的集合为__________. 易错分析 从集合的关系看,S?P,则 S=?或 S≠?,易遗忘 S=?的情况. 解析 P={-3,2}.当 a=0 时,S=?,满足 S?P; 1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解集为 x=- , a 1 1 为满足 S?P 可使- =-3 或- =2, a a 1 1? 1 1 ? 即 a= 或 a=- .故所求集合为?0,3,-2?. 3 2 ? ? 1 1? ? 答案 ?0,3,-2?
? ?

温馨提醒

(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是

抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽 1 略对空集的讨论,如 a=0 时,S=?;二是易忽略对字母的讨论.如- 可以为-3 或 2. a

因此,在解答此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解.

方法与技巧 1. 集合中的元素的三个特征, 特别是无序性和互异性在解题时经常用到. 解题后要进行检验, 要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求 其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图.这是数形结合思想的又 一体现. 失误与防范 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进 行化简. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示 法要特别注意端点是实心还是空心. 5.要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性.

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) 一、选择题 1. (2013· 重庆)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)等于( A.{1,3,4} C.{3} 2. 下列集合中表示同一集合的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} B.M={2,3},N={3,2} D.M={2,3},N={(2,3)} ( ) B.{3,4} D.{4} ( ) )

3. 已知全集 S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},?SA={3},则实数 a 等于 A.0 或 2 B.0 C.1 或 2 D.2

4. 设集合 M={m∈Z|m≤-3 或 m≥2},N={n∈Z|-1≤n≤3},则(?ZM)∩N 等于( A.{0,1} C.{0,1,2} B.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}

)

5. 已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有 A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

(

)

6. 已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 A.A B C.A=B B.B A D.A∩B=?

(

)

7. (2013· 辽宁)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B 等于 A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2]

(

)

8.设全集 U 为整数集,集合 A={x∈N|y= 7x-x2-6},B={x∈Z|- 1<x≤3},则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 ( A.3 二、填空题 9. 已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a=__________. 10.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B= __________. 11.(2013· 天津改编)已知集合 A={x||x|≤2},B={x|x≤1},则 A∩B=________. 12. 已知集合 A={x|1≤x<5}, C={x|-a<x≤a+3}. 若 C∩A=C, 则 a 的取值范围是________. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 4 1.若集合 A={x|x2-9x<0,x∈N+},B={y| ∈N+},则 A∩B 中元素个数为 y A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ) ( ) B.4 C.7 D.8 )

2. 已知集合 M={x| A.?

x ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则 M∩N 等于( x-1 B.{x|x≥1} C.{x|x>1} D.{x|x≥1 或 x<0}

9 ? 6 3. 已知 U={x∈Z|y=ln? ?x-1?},M={x∈Z||x-4|≤1},N={x∈N|x ∈Z},则集合{4,5}等 于 A.M∩N B.M∩(?UN) C.N∩(?UM) D.(?UM)∪(?UN) ( )

1 4. 已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP=________. x 5. 已知集合 A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若 A?B,则实数 c 的取值范围是 ________. 6. 已知集合 A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集合 A∩B 只有一个 真子集,则实数 a 的取值范围是________.


相关文章:
高考数学复习第1课 集合的概念与运算
高考数学复习1集合的概念与运算_数学_高中教育_教育专区。江苏高考复习专题讲解 第1 课 集合的概念与运算 (本课时对应学生用书第 2~3 页) 自主学习 回归...
高考数学总复习(讲+练+测): 专题1.1 集合的概念及其基...
高考数学总复习(讲+练+测): 专题1.1 集合的概念及其基本运算(讲)_高考_高中教育_教育专区。数学学习,课件 专题1.1 集合的概念及其基本运算 【考纲解读】 ...
高三数学理科复习1---集合的概念及运算
高三数学理科复习1---集合的概念运算_专业资料。2013湖南长沙四县一市高三语文模拟试题及答案一、语言文字运用(12分,每小题3分) 1.下列各组句子中,没有错...
高三一轮复习1.1集合的概念与运算教案(教师版)
高三一轮复习1.1集合的概念与运算教案(教师版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§ 1.1 集合的概念与运算【2014 高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性...
高三一轮复习集合的概念与运算习题
高三一复习集合的概念与运算习题_数学_高中教育_教育专区。1.已知集合 P={y=x2+1},Q={y|y=x2+1},R={x|y=x2+1},M={(x,y)|y=x2+1},N=...
高三第一轮复习集合的概念与运算教师版
高三第复习集合的概念与运算教师版_数学_高中教育_教育专区。2016年高三数学复习 学案1 集合的概念与运算 导学目标: 1.能用自然语言、图形语言、集合...
...2014届高三数学大一轮复习-1.1集合的概念与运算教案...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习-1.1集合的概念与运算教案-理-新人教A版_数学_高中教育_教育专区。§1.1 集合的概念与运算 【2014 高考会这样考】 1.考...
...一轮复习讲义 第一章 第1讲 集合的概念与运算
2016新课标数学(理)复习讲义章 第1集合的概念与运算_数学_...(2015· 河北唐山模拟)集合 M={2, log3a}, N={a, b},若 M∩N={1}...
...届(课标卷)高三数学一轮复习 1.1集合的概念和运算(...
山西省朔州市朔城区第一中学2017(课标卷)高三数学一轮复习 1.1集合的概念和运算(导学案)_数学_高中教育_教育专区。理科数学导学案班级 姓名 学生使用时间: ...
高三一轮复习文科数学导学案1.1集合的概念与运算
高三一轮复习文科数学导学案1.1集合的概念与运算_...(2015· 天津)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,...
更多相关标签: