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解三角形(3、9)


解三角形
——正弦定理、余弦定理综合

基础知识默写
? 正弦定理
? 正弦定理的变形 ? 余弦定理 ? 余弦定理的变形 ? 三角形面积公式

1.三角形中的常见结论
(1) A ? B ? C ? ? (2)在三角形中大边对大角,大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差

小于第三边 (4)有关三角形内角的三角函数式
sin( A ? B) ? sin C ; tan( A ? B) ? ? tan C ; A? B C cos ? sin ; 2 2 cos( A ? B ) ? ? cos C ; A? B C sin ? cos ; 2 2

正余弦推论的应用
三角形解的个数的确定
求角

解 三 角 形

求三角形中基本量 判断三角形形状

求边 求面积

解三角形中的交汇问题
解三角形的实际应用

测量距离 测量高度 测量角度

已知边数 已知角数

定理选用
余弦定理

三边
两边
及其夹角 及其一边对角

余弦定理 正弦定理 余弦定理

一边

任意两角

正弦定理

正弦定理和余弦定理都可以选,哪个更好?为什么

这三个函数在自变量和函数 值个数上的对应关系有何不 同? 余弦函数、正切函数在 (0,1800)一一对应! 正弦函数在(0,1800)内二 对一 解三角形,优先用余弦定理!

作业处理

题组一.根据所给条件,判断?ABC 的形状

(1)a cos A ? b cos B
a b c ( 2) ? ? cos A cos B cosC
(3)若B ? 60?, 2b ? a ? c

判断三角形形状
判定三角形形状通常有两种途径:化边为角;化角为边 具体有如下四种方法:

①通过正弦定理实施边角转换;
②通过余弦定理实施边角转换;

③通过三角变换找出角之间的关系;
④通过三角函数符号的判断及正余弦函数有界性的 讨论 已知边之间的关系 主要题型 已知角的三角函数关系 已知边与角的关系

2.正弦定理
a b c ? ? ? 2 R(其中 R为?ABC外接圆的半径 ) sin A sinB sinC

正弦定理的变形:
(1)a ? 2 R si nA , b ? 2 R si nB , c ? 2 R si nC ;

(2). a : b : c ? si nA : si nB : si nC ;
a b c ( 3). si n A ? , si n B? , si nC ? ; 2R 2R 2R a b b c c a (4). ? , ? , ? ; si n A si nB si nB si nC si nC si n A

1 1 1 (5) S ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

3.余弦定理

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

余弦定理的变形:
b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a2 ? b2 ? c 2 cos A ? ; cosB ? ; cosC? . 2bc 2ac 2ab


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