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湖北省襄阳市第四中学届高三数学月第二周周考试题文-精


湖北省襄阳四中 2016 届五月第二周周考 数学(文科)测试
时间:120 分钟 分值 150 分 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) z 1.已知复数 z1 ? 2 ? ai (a ? R) , z 2 ? 1 ? 2i ,若 1 为纯虚数,则 | z1 |? z2 A. 2 B. 3 C.2 D. 5

r />
2.设 p : ( ) x ? 1, q : log 2 x ? 0 ,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在如图所示的程序框图中输 n ? 10 ,结果会输出 (

1 2



A.10

B.11

C.512

D.1 024
x

4. 已知函数① y ? x ? sin x, ② y ? x ? cos x , ③ y ? x ? cos x , ④ y ? x ? 2 的部分图象如下, 但顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是( )

A. ①④②③

B. ①④③② C. ④①②③
2

D. ③④②①

5.在△ABC 中,若 sinBsinC=cos ,则△ABC 是( )

1

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

4 3

B.

5 2

C.

7 3

D.

5 3
与双曲线 ) +1 D、 ) 有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的交

7.已知抛物线

点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( A、 B、 +1 C、

8.已知函数 y ? 2sin x 的定义域为 [a, b] ,值域为 [?2,1] ,则 b ? a 的值不可能是( A.

5? 6

B.π

C.

7? 6

D.2π

9.已知 a, b 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,且 a ? ? , b ? ? ,给出下列结 论: ①若 a ∥ b ,则 ? ∥ ? ; ②若 ? ∥ ? ,则 a ∥ b ; ③若 a ⊥ b ,则 ? ⊥ ? ; ④若 ? ⊥ ? ,则 a ⊥ b 其中正确结论的个数是( A.0 B.1 ) C .2 D.3

10. 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,A ? ( ) A.2 B.-2 C.

?
4

,b 2 ? a 2 ?

1 2 则 tan C ? c , 2

1 2

D. ?

1 2


11.过点(1,﹣2)的抛物线的标准方程是(

2

A.y =4x 或 x = y

2

2

B.y =4x

2

C.y =4x 或 x =﹣ y

2

2

D.x =﹣ y

2

12. 如果函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上存在 x1 , x2 (a ? x1 ? x2 ? b) , 满足 f '( x1 ) ?

f (b) ? f (a ) , b?a

f '( x2 ) ?

f (b) ? f (a ) , 则 称 函 数 f ( x ) 是 区 间 [ a, b] 上 的 “ 双 中 值 函 数 ” . 已 知 函 数 b?a


f ( x) ? x3 ? x 2 ? a 是区间 [0, a] 上的“双中值函数” ,则实数 a 的取值范围是(
A.(

1 1 , ) 3 2

B. (

3 ,3) 2

C. (

1 ,1) 2

D. (

1 ,1) 3

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分)

?2 x ? y ? 1 ? 13.若 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2 ,目标函数 z ? ?3 x ? 2 y 的最小值为 ?y?x?2 ?



14.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加 三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为_______. 15.已知 O 为 ?ABC 的外心, AB ? 4, AC ? 2, ?BAC ? 120 .若 AO ? ?1 AB ? ?2 AC ,
?

????

??? ?

????

则 2?1 ? ?2 =



? 3x , x ? [0,1] ? 16.已知函数 f ( x) ? ? 9 3 ,当 t ? [0,1] 时, f ( f (t )) ? [0,1] ,则实数 t 的取值 ? x , x ? (1,3] ? ?2 2
范围是_____. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a 2 ? 3, S 7 ? 49, n ? N * (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 bn ?

(a n ? 1) ? 2 n?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn. n

18. 如图 (1) , 等腰直角三角形 ABC 的底边 AB ? 4 , 点 D 在线段 AC 上,DE ? AB 于 E , 现将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?PDE 的位置(如图(2) ) .

3

(1)求证: PB ? DE ; (2)若 PE ? BE ,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30o ,求 PE 长. 19.一个袋中装有 8 个大小质地相同的球,其中 4 个红球、4 个白球,现从中任意取出四个 球,设 X 为取得红球的个数. (1)求 X 的分布列; (2)若摸出 4 个都是红球记 5 分,摸出 3 个红球记 4 分,否则记 2 分.求得分的期望. 20.已知两动圆 F1 : ( x ? 3) ? y ? r 和 F2 : ( x ? 3) ? y ? (4 ? r ) (0 ? r ? 4) ,把它
2 2 2 2 2 2

们的公共点的轨迹记为曲线 C ,若曲线 C 与 y 轴的正半轴的交点为 M ,且曲线 C 上的相 异两点 A, B 满足: MA?MB ? 0 . (1)求曲线 C 的方程; (2)证明直线 AB 恒经过一定点,并求此定点的坐标; (3)求 ?ABM 面积 S 的最大值. 21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

???? ????

x 2 ? 2x ? a , x ? ?1, ?? ? . x

(1)当 a ?

1 时,求函数 f ( x) 的最小值; 2

(2)若对任意 x ? ?1, ?? ? , f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图, 在直角 ?ABC 中,AB ? BC ,D 为 BC 边上异于 B, C 的一点, 以 AB 为直径作圆 O , 并分别交 AC , AD 于点 E , F .

(1)证明: C , E , F , D 四点共圆; (2)若 D 为 BC 的中点,且 AF ? 3, FD ? 1 ,求 AE 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

4

在极坐标系中,已知圆 ? ? 2 cos ? 与直线 ? 24.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a |, a ? 0 . (1) 证明: f ( x) ? f ( ? ) ? 2 ; (2)若不等式 f ( x) ? f (2 x) ?

? x ? 4t ? a, (t 为参数)相切,求实数 a 的值。 ? y ? ?3t ? a.

1 x

1 的解集非空,求 a 的取值范围 2

参考答案 1.D 【解析】 试题分析: 由于 故选择 D. 考点:复数运算 2.B 【解析】
1? 试题分析:? / q, q ? p ,所以 p 是 q 必要不充分 ? ? ? 1 ? x ? 0 , log 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,即 p ? ?2?
x

z1 2 ? ai ?2 ? ai ??1 ? 2i ? 2 ? 2a ? ?4 ? a ?i 为纯虚数,则 a ? 1 ,则 z1 ? ? ? ? z 2 1 ? 2i 5 5

5,

条件,故选 B. 考点:1.指、对数函数的性质;2.充分条件与必要条件. 3.D 【解析】 试题分析:程序在执行过程中, s, k 的值依次为 s ? 1, k ? 1 ; s ? 2, k ? 2 ; s ? 4, k ? 3 ;

s ? 8, k ? 4 ;??,依次类推, s ? 28 , k ? 9 ; s ? 29 , k ? 10 ; s ? 210 , k ? 11 ,结束循环,
输出 s ? 1024 . 考点:程序框图. 4.A 【解析】 试题分析:函数 y ? x sin x 是偶函数,所以对应图象应为第一个图象;函数 y ? x cos x 是奇函 数,且当在区间 (0, ??) 函数值有正有负,对应图象为第 3 个函数图象;函数 y ? x cos x 是奇 函数, 且当在区间 (0, ??) 函数值 y ? 0 , 所以对应图象为第 4 个图象; 当 x ? 0 时, y ? x ? 2x ? 0 , x x 当 x ? 0 时, y ? x ? 2 ? 0 ,所以函数 y ? x ? 2 的图象为第 2 个,故选 A. 考点:1.函数的奇偶性;2.函数的图象. 5.A 【解析】 试题分析:利用 cos =
2

可得

,再利用两角和差的余弦可求.

5

解:由题意

,即 sinBsinC=1﹣cosCcosB,亦即 cos(C﹣B)=1,∵C,B

∈(0,π ) ,∴C=B, 故选 A. 考点:三角形的形状判断. 6.A 【解析】 试题分析:由三视图可知,该几何体是如下图所示的组合体,其体积
V? 1 1 1 4 ? 1? 2 ? 1 ? ? ? 1? 2 ? 1 ? ,故选 A. 2 3 2 3
D

A' B'

C'

A B

C

考点:1.三视图;2.多面体的体积. 7.C 【解析】

试题分析:由

轴知点

坐标为

,代入双曲线方程中得,

,∵

双曲线与抛物线焦点相同,∴ 由 代入整理得,

,即 ,∵

,又 ,∴

,∴ ,∴ .



考点:圆锥曲线的离心率. 8.D 【解析】 试题分析:当 y ? 2sin x ? 1 时, sin x ?
?

1 ? ,所以可令 b ? ,又函数的最小值为 2 ,所以 2 6

7? ? 2? 4? ,所以选项 D 不可能,故选 D. ? a ? ? ,所以 ?b?a ? 6 2 3 3

考点:三角函数的图象与性质. 9.A 【解析】 试题分析: 若两个平面内分别有两条直线平行, 则这两个平面不一定平行, 所以命题?错误; 若两个平面平行,则两个平面内的直线可能平行或异面,所以命题?错误;若两个平面内分 别有两条直线垂直,则这两个平面不一定垂直,所以命题?错误;若两个平面垂直,则两个 平面内的直线可能平行、垂直或异面,所以命题④错误;

6

考点:直线与直线、平面与平面的平行与垂直的命题判断. 10.A 【解析】
1 试 题 分 析 : 上 余 弦 定 理 得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 2bc , 由 b 2 ? a 2 ? c 2 得 2 1 a 2 ? b2 ? c2 2

, 所 以 有

1 b 2 ? c 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc 2

, 即

3c ? 2 2b

, 所 以

3sin C ? 2 2 sin B ? 2 2 sin(

3? ? C ) ? 2 cos C ? 2sin C ,即 sin C ? 2 cos C ,所以 tan C ? 2 ,故选 4

A. 考点:1.正弦定理与余弦定理;2.三角形内角和定理;3.三角恒等变换. 11.C 【解析】 试题分析:由点 (1,?2) 在第四象限,故抛物线焦点可能在 x 轴正半轴或 y 轴负半轴,则方程 分别为 y ? 2 px , x ? ?2 py ,代入点 (1,?2) ,分别解得 2 p ? 4 , 2 p ?
2 2

1 ,故选 C. 2

考点:抛物线标准方程. 12.C 【解析】 试题分析: f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ,

f (a ) ? f (0) ? a 2 ? a ,所以函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? a 是区间 a?0 [0, a] 上的“双中值函数”等价于 f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? a 2 ? a 在区间 (0, a) 有两个不同的实数解,

即方程 3x 2 ? 2 x ? a ? a 2 ? 0 在区间 (0, a ) 有两个不同的实数解,令 g ( x) ? 3x 2 ? 2 x ? a ? a 2 ,则
? ? g (0) ? a ? a 2 ? 0 ? 问题可转化为在区间 (0, a ) 上函数 g ( x) 有两个不同的零点,所以 ? g (a ) ? 2a 2 ? a ? 0 ,解 ? 1 1 ? g ( ) ? ?a 2 ? a ? ? 0 3 ? 3

1 之得 ? a ? 1 ,故选 C. 2 考点:1.新定义问题;2.函数与方程;3.导数的运算法则. 【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数的运算法则以及学生接受鷴知识的能 力与运用新知识的能力,难题.新定义问题是命题的新视角,在解题时首先是把新定义问题 中的新的、不了解的知识通过转翻译成了解的、熟悉的知识,然后再去求解、运算. 13. ?1 【解析】

?2 x ? y ? 1 ? 试题分析:不等式组 ? x ? y ? 2 表示的可行域如图 ?ABC ,当目标函数 z ? ?3 x ? 2 y 经过 ?y?x?2 ?

A ?1,1? 有最小值,且最小值是 ?3 ?1 ? 2 ?1 ? ?1 .

7

考点:线性规划求目标函数的最值. 【方法点晴】本主要考查线性规划中已知可行域求目标函数的最值,属于容易题.本题关键 是在坐标系上画出可行域, 然后利用数形结合的方法求出目标函数的最大值, 如果可行域是 一个封闭的图形,目标函数的最值一般在交点处取得,分别把交点求出来,代入目标函数中 就可以.在直角坐标系画可行域时要注意“直线定界,点定域”的原则. 14.
1 5

【解析】 试题分析:其基本事件共有 C63 A33 ? 120 个,那么甲连续三天参加活动所包含的基本事件共有
4 A4 ? 24 ,所以那么甲连续三天参加活动的概率为 P ?

24 1 ? . 120 5

考点:1.古典概型;2.排列与组合. 【名师点睛】本题考查排列与组合、古典概型,中档题.求古典概型的基本步骤是:1.通过 列举法或排列组合知识求出所有基本事件的个数 n ; 2.求出事件 A 包含的所有基本事件的个 数 m ;3.代入公式 P( A) ? 15.3 【解析】 试题分析:以 A 为原点 AB 为 x 轴建立坐标系, ? A ? 0, 0 ? , B ? 4, 0 ? , C ?1, 3 ,设
m ,求出概率即可. n

?

?

O ? 2, y ? ? OA ? OC
?y ? 4 3

???? ??? ? ???? ? AO ? ?1 AB ? ?2 AC









?4?1 ? ?2 ? 2 ? 4 ? ? ? 2, ? ? ?1 ? 4, 0 ? ? ?2 ?1, 3 ? ? 3? ? 4 3? ? 2 ? 3 ?

?

?

? 2?1 ? ?2 ? 3
考点:1.向量的坐标运算;2.三角形外心的性质

8

7 ? ? 16. ?log 3 ,1? 3 ? ? 【解析】

试题分析:因为 t ? [0,1] ,所以 f (t ) ? 3t ? [1.3] ,所以 f ( f (t )) ? f (3t ) ? 即
7 7 ? 3t ? 3,? log 3 ? t ? 1 . 3 3

9 3 t ? ? 3 ? [0,1] , 2 2

考点:1.分段函数的表示;2.函数求值;3.指数不等式的解法. 17.(1) a n ? 2n ?1 ;(2) Tn ? 2 n?1 ? 2 【解析】 试题分析:(1)根据等差数列的性质以及 a 2 ? 3, S 7 ? 49, n ? N * 可以求出首项和公差,进而求 得数列 {a n } 的通项公式; (2)结合(1)可得 {bn } 是一个等比数列,利用等比数列求和公式 可以求得 Tn.
? ? a1 ? d ? 3 试题解析:(1)设公差为 d,则 ? 7a ? 7 ? 6 d ? 49 ? ? 1 2

3分

解得:

?1 ?a d ?2
1

∴ a n ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ?1(n ? N * ) 所以数列 ? a n ? 的通项公式为 a n ? 2n ?1(n ? N * ) ; (2)由(1)得 bn ? ∴ Tn ? 6分 9分

(a n ? 1) ? 2 n?1 (2n ?1 ? 1) ? 2 n?1 ? ? 2n , n n
12 分

b1 (1 ? q n ) 2(1 ? 2 n ) ? ? 2 n?1 ? 2(n ? N * ) . 1? q 1? 2

考点:等差数列,等比数列,通项公式,前 n 项和公式. 18. (1)见解析; (2) . 【解析】 试题分析: ( 1 ) 要 证 ? PB ? DE , 只 要 证 DE ? 平 面 PEB 即 可 , 由 已 知 可 证 (2)以 E 为坐标原点建立空间直角坐标,设 DE ? PE , DE ? EB ,可证 DE ? 平面 PEB ;
4 5

??? ? ? | PE |? a ,写出相应点的坐标,求出平面 PBC 的法向量,由? sin 30o ?| cos ? PD, n ?| ,
解方程求出 a 的值即可. 试题解析: (1) ? DE ? AB,? DE ? PE , DE ? EB . 又? PE ? BE ? E ,? DE ? 平面 PEB .

? PB ? 平面 PEB ,? PB ? DE .
9

(2)由(1)知 DE ? PE , DE ? EB ,且 PE ? BE ,所以 DE , BE , PE 两两垂直.分别以

??? ? ??? ? ??? ? ED, EB, EP 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系.

设 | PE |? a ,则 B (0, 4 ? a, 0) , D (a, 0, 0) , C (2, 2 ? a, 0) , P (0, 0, a ) ,可得

??? ? ??? ? PB ? (0, 4 ? a, ?a), BC ? (2, ?2, 0) .

? ??? ? ? ? ? n?PB ? 0 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ? ??? , ? ? ?n?BC ? 0
所以 ?

? ?(4 ? a) y ? az ? 0 4?a ,取 n ? (1,1, ). a ? 2x ? 2 y ? 0

? 直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30o ,且 PD ? (?a, 0, a ) ,

??? ?

??? ? ? ? sin 30o ?| cos ? PD, n ?|?|

a ? (4 ? a ) 2a 2 ? 2 ? (4 ? a) a2
2

|?

1 . 2

4 ,或 a ? 4 (舍去). 5 4 所以 PE 的长为 . 5
解之得 a ? 考点:1.线面垂直的判定与性质;2.空间向量的应用. 【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质与空间向量的应用,中档题.利用空间向量求 ?? ? 空间角的常见类型及策略为:1.求直线与直线所成的角:求出两直线的方向向量 m, n ,设两 直线的夹角为 ? ,则 cos ? ? cos ? m, n ? ;2.求直线和平面所成的角 ? :求出直线的方向向量
?? ? ?? ? m 与平面的法向量 n ,则 sin ? ? cos ? m, n ? ;3.求两个平面所成的角 ? :求出两个平面的法
?? ?

向量 m, n ,通过法向量的夹角求两个平面的法向量即可,但要注意结合图形判断二面角的大 小是锐角还是钝角; 或分别在两个平面内找到与棱垂直的且以垂足出发的向量, 则这两个向 量的大小就是二面角的大小. 19. (1)分布列详见解析; (2)

?? ?

5 . 2

【解析】 试题分析:本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望、古典概型等基础知识,考查

10

学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,分析题意,先写出取得红球的个数 X 的所有可能取值,利用古典概型,利用排列组合列出每一种情况的概率表达式,最后列出分 布列;第二问,利用第一问的分布列,结合第二问提到的分数列出数学期望的表达式. (1)X ? 0 ,1,2,3,4 其概率分布分别为: P ?0? ?
P ?3? ?
1 3 2 2 0 4 C4 C 4 16 C4 C4 36 C4 C4 1 , , , ? ? ? ? ? P 1 ? ? P 2 ? ? 4 4 4 C8 70 C8 70 C8 70

3 1 C4 C4 16 , C 0C 4 1 .其分布列为 ? P ?4 ? ? 4 4 4 ? 4 C8 70 C8 70

X P

0

1

2

3

4

1 70

8 35

18 35

8 35

1 70

(2) ? ? ? ? ?

1 16 5 ? 36 16 1 ? ?5 ? ? 4 ? ? ? ? ?? 2 ? . 70 70 2 ? 70 70 70 ?

(12 分)

考点:离散型随机变量的分布列和数学期望、古典概型. 20. (1) 【解析】 试题分析: (1) )设两动圆的公共点为 Q,则有 QF1 ? QF2 ? 4(? F1 F2 ) ,根据椭圆的定 义可知 Q 的轨迹为椭圆,由此求出轨迹方程; (2)先求出 M (0,1) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ) ,当 直 线 AB 斜 率 存 在 时 设 直 线 方 程 为 y ? kx ? m 与 椭 圆 方 程 联 立 , 由 韦 达 定 理 计 算
???? ???? MA ? MB ? x1 x2 ? (kx1 ? m ? 1)(kx2 ? m ? 1) ? 0 得 m ?

x2 3 64 ? y 2 ? 1 ;(2)证明见解析,定点坐标为 N (0, ? ) ; (3) . 5 25 4

?3 3 ,所以直线恒过定点 N (0, ? ) ,验证当 5 5

直线 AB 斜率不存在时也过此点即可; (3) 将三角形面积分割成两部分进行计算, 即 △ ABM 面积 S ? S ?MNA ? S ?MNB ?
1 32 25k 2 ? 4 ,令 t ? 25k ? 4 ,换元,由基本不等式 MN ? x1 ? x2 ? ? 2 25 1 ? 4k 2

即可求出面积的最大值. 试题解析: (1)设两动圆的公共点为 Q,则有 QF1 ? QF2 ? 4(? F1 F2 ) .由椭圆的定义 可知 Q 的轨迹为椭圆, a ? 2, c ? 3 .所以曲线 C 的方程是:

x2 ? y2 ? 1. 4

(2)证法一:由题意可知: M (0,1) ,设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 当 AB 的斜率不存在时, 易知满足条件 MA ? MB ? 0 的直线 AB 为:x ? 0 过定点 N (0, ? )

???? ????

3 5

11

当 AB 的斜率存在时,设直线 AB : y ? kx ? m ,联立方程组:

? x2 2 ? ? y ?1 ① 2 2 2 ,把②代入①有: (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 ?4 ? y ? kx ? m ② ?

x1 ? x2 ?

4m 2 ? 4 ?8km x ? x ? ③, ④, 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

因为 MA ? MB ? 0 ,所以有 x1 ? x2 ? (kx1 ? m ? 1)(kx2 ? m ? 1) ? 0 ,

???? ????

(1 ? k 2 ) x1 ? x2 ? k (m ? 1)( x1 ? x2 ) ? (m ? 1) 2 ? 0 ,把③④代入整理:

(1 ? k 2 )

4m 2 ? 4 ?8km ? k (m ? 1) ? (m ? 1) 2 ? 0 , (有公因式 m-1)继续化简得: 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
?3 或 m ? 1 (舍) , 5 3 5

(m ? 1)(5m ? 3) ? 0 , m ?

综合斜率不存在的情况,直线 AB 恒过定点 N (0, ? ) . 证法二: (先猜后证)由题意可知: M (0,1) ,设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 如果直线 AB 恒经过一定点,由椭圆的对称性可猜测此定点在 y 轴上,设为 N (0, m) ; 取特殊直线 MA : y ? x ? 1 ,则直线 MB 的方程为 y ? ? x ? 1 ,

? x2 2 ? ? y ?1 解方程组 ? 4 ?y ? x ?1 ?

得点 A(? , ? ) ,同理得点 B ( , ? ) ,

8 5

3 5

8 5

3 5

3 5 ???? ???? 3 下边证明点 N (0, ? ) 满足条件 MA ? MB ? 0 5 当 AB 的斜率不存在时,直线 AB 方程为: x ? 0 , ???? ???? 点 A、B 的坐标为 (0, ?1) ,满足条件 MA ? MB ? 0 ;
此时直线 AB 恒经过 y 轴上的点 N (0, ? ) 当 AB 的斜率存在时,设直线 AB : y ? kx ?

3 ,联立方程组: 5

12

? x2 ? y2 ? 1 ① ? 24k 64 ?4 2 2 ,把②代入①得: (1 ? 4k ) x ? x? ?0 ? 5 25 ? y ? kx ? 3 ② ? 5 ?

x1 ? x2 ?

24k ?64 ③, x1 ? x2 ? ④, 2 5(1 ? 4k ) 25(1 ? 4k 2 )
8 5 8 5

所以 MA ? MB ? x1 ? x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? x1 ? x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? )

???? ????

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ?

?64 8k 24k 64 8k 64 ? (1 ? k 2 ) ? ? ? ? ?0 ( x1 ? x2 ) ? 2 2 5 25 25(1 ? 4k ) 5 5(1 ? 4k ) 25

(3) △ ABM 面积 S ? S△ MNA ? S△ MNB =

1 4 MN x1 ? x2 = ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 2 5

由第(2)小题的③④代入,整理得: S ? 因 N 在椭圆内部,所以 k ? R ,可设 t ?

32 25k 2 ? 4 ? 25 1 ? 4k 2

25k 2 ? 4 ? 2 , S ?

32 32t ? (t ? 2) 2 4t ? 9 4t ? 9 t

9 25 64 64 ( k ? 0 时取到最大值) .所以 △ ABM 面积 S 的最大值为 . ? 4t ? ? ,? S ? t 2 25 25
考点:1.椭圆的定义与几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.基本不等式. 21. (1) f (1) ?

7 ; (2) a ? ?3 . 2

【解析】 试题分析: (1)分离常数,判定函数的单调性,进而求最值; (2)分析题意,研究分子恒成 立即可,再利用二次函数的单调性求最值. 试题解析: (1)当 a =

1 1 时, f ( x) ? x ? ? 2, 2x 2

因为 f ( x) 在区间 ?1,?? ? 上为增函数, 所以 f ( x) 在区间 ?1,?? ? 的最小值为 f (1) ?

7 . 2

x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立 (2)在区间 ?1,?? ? 上, f ( x) ? x

? x 2 ? 2 x ? a ? 0 恒成立.
13

设 y ? x ? 2 x ? a, x ? ?1,?? ? ,
2

y ? x 2 ? 2 x ? a ? ( x ? 1) 2 ? a ? 1 在 ?1,?? ? 递增,
∴当 x ? 1 时, y min ? 3 ? a , 于是当且仅当 y min ? 3 ? a ? 0 时,函数 f ( x) 恒成立, 故 a ? ?3 . 考点:1.函数的单调性;2.不等式恒成立问题. 22. (1)见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1)要证四点共圆,证 ?EFD ? ?C ? ? 即可,连 EF , BE ,由圆的知识及直角 三角形知识可证 ?AFE ? ?C ,这时可证 ?EFD ? ?C ? ? ; ( 2 )由切割线定理可得
6 7 . 7

DB 2 ? DF ? DA ? 4 ,求出 BD ? 2 ,由此可求出直径 AB ,又 D 是 BC 中点,求出 BC 的
长,由勾股定理及切割线定理可求 AE 的长. 试题解析: (1)连 EF , BE ,则 ?ABE ? ?AFE .? AB 是圆的直径,? AE ? BE . 又? AB ? BC ,??ABE ? ?C ,??AFE ? ?C , 即 ?EFD ? ?C ? ? ,所以 C , E , F , D 四点共圆. (2) ? AB ? BC , AB 是圆的直径,? BC 是圆的切线,

DB 2 ? DF ? DA ? 4, BD ? 2 ,所以 AB ? 2 3 .
因为 D 是 BC 的中点,所以 BC ? 4 , AC ? 由 CB 2 ? CE ? CA 得 16 ? CE ? 2 7, CE ?

42 ? (2 3) 2 ? 2 7 .

8 7 6 7 , AE ? AC ? CE ? . 7 7

考点:1.切割线定理;2.圆的性质;3.四点共圆条件. 23. ? ? 2? cos? ,圆ρ =2cosθ 的普通方程为: x ? y ? 2x, ( x ? 1) ? y ? 1 , 3 分
2 2 2 2 2

直线 ?

? x ? 4t ? a, (t 为参数)的普通方程为: 3 x ? 4 y ? a ? 0 ,???? 6 分 ? y ? ?3t ? a.

14

又圆与直线相切,所以

| 3 ?1 ? 4 ? 0 ? a | 32 ? 42

? 1, 解得: a ? 2 ,或 a ? ?8 。?? 10 分

【解析】极坐标方程化为普通方程,利用点到直线的距离公式求 a。 24. (1)见解析; (2) (?1, 0) . 【解析】
1 1 试题分析: (1)直接计算 f ( x) ? f (? ) ? x ? a ? ? a ,由绝对值不等式的性质及基本不等 x x

式证之即可; (2) f ( x) ? f (2 x) ? x ? a ? 2 x ? a ,分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可. 试题解析: (1)证明:函数 f(x)=|x﹣a|,a<0, 则 f(x)+f(﹣ )=|x﹣a|+|﹣ ﹣a|=|x﹣a|+| +a|≥|(x﹣a)+( +a)| =|x+ |=|x|+ ≥2 =2.

(2)f(x)+f(2x)=|x﹣a|+|2x﹣a|,a<0. 当 x≤a 时,f(x)=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x,则 f(x)≥﹣a; 当 a<x< 时,f(x)=x﹣a+a﹣2x=﹣x,则﹣ <f(x)<﹣a; 当x 时,f(x)=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a,则 f(x)≥﹣ .则 f(x)的值域为[﹣ ,+∞).

不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,即为 >﹣ ,解得,a>﹣1,由于 a<0, 则 a 的取值范围是 (?1, 0) . 考点:1.含绝对值不等式的证明与解法.2.基本不等式.

15


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