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试论动态特殊化方法在解高考几何题中的应用


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20 0 3年 第 4期 

中学 数 学 月 刊 

?3   5?

弧 , P 点 的轨 迹 是 EF 的 中垂 面 上 以 0 点  故

立 意 新 颖 , 利 于 培 养 综 合 运 用 多 学 科 知 识  有 的

能 力 , 有 利 于 培 养 讨 论 、 归 等 数 学 意 识  也 化
及创 新精神.  

为 心 椭 普  1 中 的 圆 +。 . 一 
上 述 两 题 以 空 间直 线 与 平 面 的位 置 关 系  为依 托 , 究 平 面 解 析 几 何 的点 的 轨 迹 问题 , 研  

试 论 动 态 特 殊 化 方 法在 解 高 考 几何 题 中 的 应 用  
蒋 文 艳  ( 州 大 学数 学科 学 学 院  2 5 O ) 苏 1 O 6 
著 名 美 籍 匈 牙 利 数 学 家 G. 利 亚 曾 在  波 《 学 与 猜 想 》 一 卷 中指 出 : 特殊 化 是 从 对  数 第 “ 象 的 一 个 给 定 集 合 , 而 考 虑 那 包 含 在 这 集  转 合 内的 较 小 的 集 合 . 使 用 特 殊 化 方 法 探 索 问  ” 题 ; 仅 有 助 学 习 者 拓 宽 解 题 思 路 , 且 有 助  不 而 人 们 提 高 解 决 问 题 的 速 度 . 者 通 过 收 集 并  笔 体 积 , 生 比 较 容  学 易 出错. 注意 到 , 若  
平 行 于 底 面 的 棱 
E  F 

EF 位 置 没 有 被 固  定 , 作 平 行移 动 , 可   当 它 平 移 到 特 殊 位 

C 

研 究 了 若 干 近 几 年 的高 考 几 何 试 题 发 现 , 动  态 特殊化方法往 往能在解题 中发挥令人耳 目  
新 的功效.  

置 — — 棱 EF 与 底 

困2  

面 AB D 同垂 直 于平 面 F C 时 ( 图 2 , C B 如 ) 图 

形 的分解 求体 积 的思路 就显得 简单 明了. 该 
多 面体变 形后 可分解成 直三棱 柱 F CB—  E GH 与 四棱 锥 E— HG 如 图 2 , 积 随  D( )体
1 C   

; 所 谓 动 态 特 殊 化 , 是 根 据 题 意 有 目的    就
地 将 有 关 几 何 图 形 作 一 些 特 殊 处 理 . : 一  如 将 般 三 角 形 变 形 为 正 三 角 形 ; 一 条 直 线 旋 转  把

或平 移 至 特 殊 位 置 等 等 , 而 将 一 般 的 、 杂  从 复

之 可 计 算 得  , 因此 选 D.  
厶 

的 图形 转 化 为特 殊 的  单 的 图形 , 且 能 使  简 并 条 件 相 对 集 中 , 而 有 助 于 较 快 地 探 索 出 解  从
题 过 程 . 面 试 举 几 例 予 以分 析 . 下  
例 1 如 图 1    , 在  多  面  体  B DEF 中 , 知  C 已
面  B CD 是 边 长  
C 

例 2 过抛物 线 y =a 。口 O 的焦 点 F x(> )  

作 一 直 线 交 抛 物 线 于 P, 两 点 , 线 段 PF Q 若  

与F 的 分 是户 ,言 寺 于 Q 长 别 ,则 + 等   q
1   1  

E 

F  

() ( 壶 () (  A2 B a   C4 D a
( 0 0年 全 国 高考数 学 试 题 第 l 20 1题 )   分析 本 题 若 不 考 虑 特 殊 情 形 , 一 般  用 方 法 求 解 会 耗 费 较 多 时 间 . 由所 给 选 项 可  但

为 3的 正 方 形 ,   A EF  
0 

/  B, F - ,} / E  ÷ ’  
厶  

以 看 出本 题 答 案 必 是 一 个 定 值 , 出 图形 后  画

会 发现 直线 P 只要 过焦 点 , Q 在任付 位 置对 
图 1  

EF 与 平 面 AC 的 

结 果 没 有 影 响 , 以 将 直 线 旋 转 至 与  轴 平  所
行 ( 图 3 , 时 PF—FQ, 如 )此 并且 等 于 点 P,   Q

距 离 为 2 则 多 面 体 的体 积 为  ,

()  () () () A 昙 ( 5 c  D  号 B  ( 6
( 9 9年 全 国高 考 数 学 文 、 第 1 , ) 19 理 O题   分析 本 题 主 要考 察 学 生 对 图形 的分 解  与组 合 能 力 . 果 用  般 的 方 法 分 解 组 合 求  如

或 焦 点 F 到 准线 的 距 离 . 根 据 抛 物 线 的 性  再
1  

质 , 知 焦 点 到 准 线 的 距 离 为  , 答 案 为  可 故


选 C.  

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中学 数 学 月 刊 
( 2 C) z—  一 0  

20 0 3年 第 4期 

Jl   

  J

( ) D . 2 z+  一 5 0 =  

{。  F }  
一  

( 0 2年 全 国 高 考 ( 课 程 卷 ) 学 理 、 20 新 数  
工、 、 类 第 1 农 医 0题 )  

尸  

/ Q  —  

D 



j 

p 

分析

由所 给 
B  JJ  , - 

选 项 可 知 , 点 轨  C
图 3  


图 4  

迹 可 能 为 圆 或 直 

例 3 _ 问 民 房 屋 顶 有 如 下 图 ( 4 所  图 )

线 . 图 6 在 纸 上‘ 如 ,  

示 三 种 不 同 的 盖 法 : 1 单 向倾 斜 ; 2 双 向倾   () () 斜 ; 3 四 向倾 斜 . 三 种 盖 法 屋 顶 的 面 积 分  () 记 别 为 P , , 。 若 屋 顶 斜 面 与水 平 面 所 成 角    P。 P .
都 是 a 则  ,
( ) > P2 P A P3 >   ( P3 P2 P  B) > 一 ( ) 一 P2 P1 ( ) 一 P2 P C P3 >   D P3 =  

画 出 直 角 坐 标 系 和 


D 

?  
图6  

B 两 点 , c 点  当

与 A 点 重合 时 , 点 

c 满 足 题 意 , = 1 一 0 当 C 点 与 B 点 重 合  a , ; 时 , c 也 满 足 题 意 , 一 0 一 1 当 c 点 与  点 a , ;
线 段 AB 的 中点 重 合 时 , C 仍 满 足 题 意 , 点  


( 0 1年 全 国 高 考 数 学试 题 第 1 题 ) 20 1  

寺,  =寺. 以从点 C 的运 动变 化 来 看 , 所  

其 轨 迹 不 可 能 为 圆 , 轨 迹 方 程 只能 为 点  , 故   B所 在 直 线 的方 程 . D. 选  
综 上 , 们 可 以看 出 动 态 特 殊 化 方 法 对  我 含 有 一 般 性 条 件 的 几 何 问 题 的 解 决 非 常 有  效 , 大 大 提 高 解 题 的速 度 , 而 为解 决 后 面  能 从

的 问 题 争 取 宝 贵 时 间 . 外 , 用 这 一 方 法  另 使
图 4  

时 , 于 它 要 求 学 习 者 能 够 想 象 出 几 何 图 形  由

分析

如 果 仅 

的 运 动 和 变 化 , 要 能 根 据 条 件 作 出 图形 , 并 用  图 形 形 象 地 揭 示 出 问 题 本 质 等 等 因 此 它 还  . 有 助 于 培 养 学 习者 的 空 间 想 象 能 力 .  
练 习 

凭 对 图 形 的 直 观 感  觉 , 们 易 得 出错  我
误 结 论 . 题 主 要  此

考 察 学 生 对 公 式 
COS

口 半 的运用    亍刚还用 
口 一

1 . 求双曲   线
的 焦 点 到 渐 近线 的 距 离 .  
图 5  

一  一  亏  

情 况 . 是 若 能 注  但

意 到 a角 的 大 小 不 影 响 结 论 , 么 , 设 将 三  那 假 种 盖 法 的 屋 顶 都 压 向水 平 面 , 口 0 则 民  即 一 ,

( 示 将 曲 平 为 号 1 ? 提 : 双 线 移  一 。 .   )
2 若 抛 物线  一口   口 0 与直 线 y=k   . z (> ) x + b愚 0 有 两 公 共 点 , 横 坐 标 分 别 为 z , (≠ ) 其   


房 的屋顶都 如图, 5所 示 , 然 P。 显 一P。 P , 一   
选 D.  

而. a T 。是 该 直 线 与 z轴 交 点 的 横 坐 标 , 则 
。, 。  

例 4 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 为 坐 标  0
原 点 , 知 两 点 / ( , ) B( 1 3 , 点 C 已 4 3 1 , 一 ,)若  

,  

间 的关 系 为 ( )   .  

( ) 一 l A  3 + 2   ( zl 3 B)   =  2 丁l +  

满 足  :a  

+ 

, 中 a ∈R, a 其 , 且 + 

一1 则 点 C 的 轨 迹 方 程 为 ( ) , .  
( ) z+ 2 A 3  一 1 — 0 1  
( B)( 一 1) +   。 y- 2) 一 5 - 。  

( ) l   C    3

2 + l    3  2

( ) z 一 l z2 D  2 3 +  

( 示 : 直 线 旋 转 至 6 .  . . 提 将 =0 )    


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