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第一章 集合与函数概念 易


集合与函数概念试题

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) 。 1.用描述法表示一元二次方程的全体,应是( A. {x|ax2+bx+c=0,a,b,c∈R} B. {x|ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,且 a≠0} C. {ax2+bx+c=0|a,b,c∈

R} D. {ax2+bx+c=0|a,b,c∈R,且 a≠0} 2.图中阴影部分所表示的集合是( A.B∩[CU(A∪C)] C.(A∪C)∩(CUB) ) )

B.(A∪B) ∪(B∪C) D.[CU(A∩C)]∪B ( )

3.设集合P={立方后等于自身的数},那么集合P的真子集个数是 A.3 B.4 C.7 D.8

4.设P={质数},Q={偶数},则P∩Q等于 A. 5.设函数 y ? B.2 C.{2} D.N





1 1 1? x

的定义域为M,值域为N,那么





A.M={x|x≠0},N={y|y≠0} B.M={x|x<0且x≠-1,或x>0 } ,N= { y|y<0,或0<y<1,或y>1 } C.M={x|x≠0},N={y|y∈R} D.M={x|x<-1,或-1<x<0,或 x>0=,N={y|y≠0} 6.已知 A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地, 在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地,把汽车离开 A 地的距离 x 表 示为时间 t(小时)的函数表达式是 ( ) A.x=60t B.x=60t+50t

?60t , (0 ? t ? 2.5) C.x= ? ?150 ? 50t , (t ? 3.5)

?60t , (0 ? t ? 2.5) ? D.x= ?150, (2.5 ? t ? 3.5) ?150 ? 50(t ? 3.5), (3.5 ? t ? 6.5) ?

1

7.已知 g(x)=1-2x,f[g(x)]= A.1 8.函数 y= 1 ? x ?
2

1 1? x2 ( x ? 0) ,则 f( )等于 2 2 x
C.15 ) C.既是奇函数又是偶函数 D.30





B.3

9 是( 1? x

A.奇函数

B.偶函数

D.非奇非偶数

9.下列四个命题 (1)f(x)= x ? 2 ? 1 ? x 有意义; (2)函数是其定义域到值域的映射; (3)函数 y=2x(x ? N )的图象是一直线; (4)函数 y= ? A.1
2 ? ?x , x ? 0 的图象是抛物线,其中正确的命题个数是 2 ? ? x , x ? 0 ?





B.2

C.3

D.4 ( )

10.设函数f (x)是(- ? ,+ ? )上的减函数,又若a? R,则 A.f (a)>f (2a) C .f (a2+a)<f (a) B .f (a2)<f (a) D.f (a2+1)<f (a)

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分). 11.设集合 A={ x ? 3 ? x ? 2 },B={x 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1 },且 A ? B,则实数 k 的取值范围 是 . . . .

12.函数 f(x)的定义域为[a,b],且 b>-a>0,则 F(x)= f(x)-f(-x)的定义域是 13.若函数 f(x)=(K-2)x2+(K-1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是 14.已知 x ? [0,1],则函数 y= x ? 2 ? 1 ? x 的值域是

2

一、 题号 答案 二、 11.

选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

填空题 12. 13. 14.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12分)已知,全集U={x|-5≤x≤3}, A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求CUA, CUB,(CUA)∩(CUB),(CUA)∪(CUB), CU(A∩B),CU(A∪B),并指出其中相关的集合.

2 16. (12 分) 集合 A={ (x,y)x ? mx ? y ? 2 ? 0 },集合 B={ (x,y)x ? y ? 1 ? 0 ,且 0 ? x ? 2 },

又 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

17. (12 分)已知 f(x)= ?

? ?3 x 3 ? 2 x ? 2
3 ?3 ? ?x ? x

x ? (??,1) x ? (1,??)

,求 f[f(0)]的值.

3

18. (12 分)如图,用长为 1 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框 架,若半圆半径为 x,求此框架围成的面积 y 与 x 的函数式 y=f (x), 并写出它的定义域.

19. (14 分) 已知 f (x)是 R 上的偶函数, 且在(0,+ ? )上单调递增, 并且 f (x)<0 对一切 x ? R 成立,试判断 ?

1 在(- ? ,0)上的单调性,并证明你的结论. f ( x)

20. (14 分)指出函数 f ( x) ? x ?

1 在 ?? ?,?1?, ?? 1,0? 上的单调性,并证明之. x

4

参考答案
一、DACCB 二、11.{ k DCBA D

?1 ? k ?

1 }; 2

12.[a,-a];

13.[0,+ ? ];

14.[

2 ? 1, 3 ]



三、15. 解: CUA={x|-1≤x≤3};CUB={x|-5≤x<-1 或 1≤x≤3};

(CUA)∩(CUB)= {x|1≤x≤3};(CUA)∪(CUB)= {x|-5≤x≤3}=U; CU(A∩B)=U;CU(A∪B)= {x|1≤x≤3}. 相等集合有(CUA)∩(CUB)= CU(A∪B);(CUA)∪(CUB)= CU(A∩B).
16. 解:由 A ? B ?

? 知方程组 ?

? x 2 ? mx ? y ? 20 在0 ? x ? 2内有解 , 消去 y, ?x ? y ? 1 ? 0

得 x +(m-1)x=0 在 0 ? x ?
2

2 内有解,

? ? (m ? 1) 2 ? 4 ? 0 即 m ? 3 或 m ? -1.

若 m ? 3,则 x1+x2=1-m<0,x1x2=1,所以方程只有负根. 若 m ? -1,x1+x2=1-m>0,x1x2=1,所以方程有两正根,且两根均为 1 或两根一个大于 1,一个小于 1, 即 至少有一根在[0,2]内.

因此{m ? ? <m ? -1}.
17.解: ∵ 0 ? (- ? ,1 ) ,

∴f(0)= 3 2 ,又? 3 2 >1,

∴ f( 3 2 )=( 3 2 )3+( 3 2 )-3=2+

1 5 5 = ,即 f[f(0)]= . 2 2 2
2

1 ? 2 x ? ?x 18.解:AB=2x, CD = ? x,于是 AD= ,

?x 因此,y=2x· 1 ? 2 x ? ?x + , 2 2
2

即 y=由?

? ?4
2

x 2 ? lx .

?2 x ? 0 1 , ,得 0<x< ?1 ? 2 x ? ?x ? ?2 ?0 ? 2 ?

函数的定义域为(0,

1 ). ? ?2
∴f(-x1)>f(-x2), ∵f (x)为偶函数, ∴f(x1)>f(x2)

19.解:设x1<x2<0, 则 - x1 > - x2 >0,

又 ? 1 ? ?? ?
f (x)

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 1 ? 1 1 ? ? ? ?0 2 ? f ( x 2 ) f ( x1 ) ? f (x ) ? f ( x 2 ) f ( x1 )

(∵f(x1)<0,f(x2)<0)∴ ? ∴?

1 1 ?? , f (x1 ) f (x 2 )

1 是( ? ,0)上的单调递减函数. f (x)

5

20.解:任取x1,x2 ? ?? ?,?1?

且x1<x2

? 1? ? 1? ? x2 ? ? ??? ? x1 ? x ? ? x f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 1 2 ? 1 ? ? ?? ? 1? x2 ? x1 x2 ? x1 x1 x2

由x1<x2 ? —1知x1x2>1, ∴ 1 ? 1 ? 0 , 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) x1 x2 ∴f(x)在 ?? ?,?1?上是增函数;当1 ? x1< x2<0时,有0< x1x2<1,得 1 ? ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴f(x)在 ?? 1,0? 上是减函数. 再利用奇偶性,给出 (0,1], (1,??) 单调性,证明略.

1 ?0 x1 x 2

6


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